北邮高等数学历年试题及答案解析

北邮高等数学历年试题及答案解析

一、单选题

1.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0x^2sin1/x=0D.limx→1x^2-1/x-1=1【答案】C【解析】A选项中，由于1/x在x→0时无界，sin1/x在-1和1之间震荡，极限不存在B选项中，limx→∞x+1/x=limx→∞1+1/x=1，不等于0C选项中，由于x^2在x→0时趋于0，sin1/x有界，所以乘积极限为0D选项中，limx→1x^2-1/x-1=limx→1x+1=2，不等于

12.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.0B.2C.8D.10【答案】D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-2=-8-6+2=-12f-1=-1+3+2=4f1=1-3+2=0f2=8-6+2=4所以最大值为

103.函数y=e^-x^2在x=0处的二阶导数是（）（2分）A.0B.-2C.-4D.-6【答案】B【解析】y=-2xe^-x^2y=-2e^-x^2+-2x-2xe^-x^2=-2e^-x^2+4x^2e^-x^2在x=0处，y=-

24.函数y=lnx^2+1的导数是（）（2分）A.2x/x^2+1B.2xC.1/x^2+1D.x/x^2+1【答案】A【解析】y=1/x^2+12x=2x/x^2+

15.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞n/2^nD.∑n=1to∞1/lnn【答案】B【解析】A选项是调和级数，发散B选项是p-级数，p=21，收敛C选项是比值测试，limn→∞n+1/2^n+12^n/n=1/21，收敛D选项是发散的，因为lnn增长慢于n

6.函数y=arctanx的导数是（）（2分）A.1/1+x^2B.x/1+x^2C.1/xD.1/1-x^2【答案】A【解析】y=1/1+x^

27.曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线斜率是（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】D【解析】y=3x^2-6x+2在x=1处，y=3-6+2=-1，所以切线斜率是-1，不等于

08.下列积分中，值等于1的是（）（2分）A.∫[0,1]e^xdxB.∫[0,1]1/xdxC.∫[0,1]sinxdxD.∫[0,1]cosxdx【答案】A【解析】A选项，∫[0,1]e^xdx=e^x[0,1]=e-1B选项，∫[0,1]1/xdx=lnx[0,1]，在0处发散C选项，∫[0,1]sinxdx=-cosx[0,1]=-cos1+cos0≠1D选项，∫[0,1]cosxdx=sinx[0,1]=sin1-sin0≠

19.函数y=sinx在区间[0,π]上的平均值是（）（2分）A.0B.1/πC.2/πD.π【答案】C【解析】平均值=1/π∫[0,π]sinxdx=1/π[-cosx][0,π]=1/π[1--1]=2/π

10.微分方程y+y=0的通解是（）（2分）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CxD.y=Csinx【答案】B【解析】对应的齐次方程y+y=0的解为y=Ce^-x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x→0时是无穷小量？（）A.x^2B.sinxC.1/xD.e^x-1E.ln1+x【答案】A、B、D、E【解析】C选项1/x在x→0时是无穷大量，不是无穷小量其他选项在x→0时都是无穷小量

2.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/2^nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞sin1/nE.∑n=1to∞1/n+1【答案】A、C【解析】A选项是几何级数，r=1/21，收敛B选项是交错级数，满足Leibniz判别法，收敛C选项是p-级数，p=31，收敛D选项，由于sin1/n~1/n，与调和级数比较，发散E选项是调和级数，发散

3.以下哪些函数在x→∞时有水平渐近线？（）A.y=1/xB.y=x^2/x^2+1C.y=e^-xD.y=lnxE.y=sinx/x【答案】A、B、C、E【解析】A选项，y=0是水平渐近线B选项，y=1是水平渐近线C选项，y=0是水平渐近线D选项，无水平渐近线E选项，y=0是水平渐近线

4.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.y=|x|B.y=x^3C.y=x^2sin1/xD.y=e^xE.y=1/x【答案】B、C、D【解析】A选项在x=0处不可导E选项在x=0处无定义，不可导

5.以下哪些是微分方程的解？（）A.y=Ce^xB.y=CxC.y=CsinxD.y-y=0E.y=Ce^-x【答案】A、D、E【解析】A和E是y-y=0的解B和C不是y-y=0的解

三、填空题

1.函数y=|x|在x=0处的导数是______（4分）【答案】

02.曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线方程是______（4分）【答案】y=-x+

23.级数∑n=1to∞1/n!的和是______（4分）【答案】e

4.函数y=sinx在区间[0,π/2]上的积分是______（4分）【答案】

15.微分方程y-y=0的特征方程是______（4分）【答案】r^2-1=

06.函数y=lnx的导数是______（4分）【答案】1/x

7.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和是______（4分）【答案】2-1/2^n-

18.函数y=e^x的麦克劳林级数展开式是______（4分）【答案】∑n=0to∞x^n/n!

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个连续函数的乘积仍然是连续函数（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数的乘积仍然是连续函数

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛才推出条件收敛

3.函数y=x^2在区间[1,2]上的平均值是3（）（2分）【答案】（√）【解析】平均值=1/1∫[1,2]x^2dx=1/1[x^3/3][1,2]=8/3-1/3=7/

34.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在该区间上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值

5.微分方程y+y=0的通解是y=Ce^-x（）（2分）【答案】（√）【解析】该方程是可分离变量的微分方程，解为y=Ce^-x

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数极限的定义【答案】函数极限的定义设函数fx在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果当x无限接近于x_0时，函数fx无限接近于一个确定的常数A，那么常数A就叫做函数fx当x趋于x_0时的极限

2.简述导数的几何意义【答案】导数的几何意义函数fx在点x_0处的导数fx_0表示曲线y=fx在点x_0,fx_0处的切线的斜率

3.简述级数收敛的必要条件【答案】级数收敛的必要条件如果级数∑n=1to∞a_n收敛，则必有limn→∞a_n=0即级数收敛，则通项趋于0

六、分析题（每题12分，共24分）

1.分析函数y=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的单调性和极值【答案】首先求导y=3x^2-6x+2令y=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3在区间[-2,2]上，y的符号变化如下当x∈[-2,1-√1/3时，y0，函数单调递增当x∈1-√1/3,1+√1/3时，y0，函数单调递减当x∈1+√1/3,2]时，y0，函数单调递增极值点在x=1-√1/3处，函数取得极大值在x=1+√1/3处，函数取得极小值

2.分析级数∑n=1to∞n^2/n^3+1的收敛性【答案】考虑比值测试limn→∞[n+1^2/n+1^3+1][n^3+1/n^3]=limn→∞[n^2+2n+1/n^3+3n^2+3n+1][1+1/n^3]=1比值测试不确定，考虑比较测试由于n^2/n^3+11/n，而∑n=1to∞1/n是调和级数，发散，所以原级数发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数y=x^3-3x^2+2x，求其在区间[0,3]上的弧长【答案】弧长公式L=∫[a,b]√1+y^2dxy=3x^2-6x+2L=∫[0,3]√1+3x^2-6x+2^2dx计算积分比较复杂，可以使用数值方法或查表得到近似值

2.已知函数y=e^-x^2，求其在区间[-1,1]上的平均值【答案】平均值公式A=1/b-a∫[a,b]fxdxA=1/2∫[-1,1]e^-x^2dx该积分没有初等函数表示，可以使用误差函数erfx表示A=1/2√πerf1≈

0.7979---完整标准答案---

一、单选题

1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.A

7.D

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、C

3.A、B、C、E

4.B、C、D

5.A、D、E

三、填空题

1.

02.y=-x+

23.e

4.

15.r^2-1=

06.1/x

7.2-1/2^n-

18.∑n=0to∞x^n/n!

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.函数极限的定义设函数fx在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果当x无限接近于x_0时，函数fx无限接近于一个确定的常数A，那么常数A就叫做函数fx当x趋于x_0时的极限

2.导数的几何意义函数fx在点x_0处的导数fx_0表示曲线y=fx在点x_0,fx_0处的切线的斜率

3.级数收敛的必要条件如果级数∑n=1to∞a_n收敛，则必有limn→∞a_n=0即级数收敛，则通项趋于0

六、分析题

1.函数y=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的单调性和极值单调性在[-2,1-√1/3上单调递增，在1-√1/3,1+√1/3上单调递减，在1+√1/3,2]上单调递增极值点在x=1-√1/3处取得极大值，在x=1+√1/3处取得极小值

2.级数∑n=1to∞n^2/n^3+1的收敛性比值测试不确定，考虑比较测试由于n^2/n^3+11/n，而∑n=1to∞1/n是调和级数，发散，所以原级数发散

七、综合应用题

1.函数y=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的弧长弧长公式L=∫[0,3]√1+3x^2-6x+2^2dx，积分复杂，可以使用数值方法或查表得到近似值

2.函数y=e^-x^2在区间[-1,1]上的平均值平均值公式A=1/2∫[-1,1]e^-x^2dx=1/2√πerf1≈

0.7979。