北邮高等数学补考试题及答案

北邮高等数学补考试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.下列极限正确的是（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞1/x=0C.limx→0e^x=0D.limx→1x^2-1/x-1=0【答案】B【解析】limx→∞1/x=0是正确的，其他选项分别为正确但不符合题意的极限

3.函数fx在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上（）A.必有最大值和最小值B.必有极值C.必有导数D.必有零点【答案】A【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

4.若函数fx在点x0处可导，且fx0存在，则（）A.fx在x0处必连续B.fx在x0处必可微C.fx在x0处必单调D.fx在x0处必可积【答案】A【解析】可导函数必连续，所以fx在x0处必连续

5.下列级数收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】B【解析】p-级数当p1时收敛，1/n^2是p=2的p-级数，所以收敛

6.下列积分计算正确的是（）A.∫from0to1x^2dx=1/3B.∫from0to1xdx=1/2C.∫from0to1e^xdx=eD.∫from0to11/xdx=1【答案】A【解析】∫from0to1x^2dx=1/3x^3from0to1=1/

37.下列向量组线性无关的是（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,1,1,2,2,2,3,3,3C.1,2,3,2,3,4,3,4,5D.1,0,1,0,1,0,1,1,1【答案】A【解析】标准单位向量组线性无关

8.下列矩阵可逆的是（）A.|10|B.|12|C.|10|D.|10||01||01||11||11||00||00||11||11|【答案】A【解析】只有行列式不为0的矩阵可逆，A的行列式为

19.下列方程有唯一解的是（）A.x^2+1=0B.x^2-1=0C.x^3-x=0D.x^4-x^2=0【答案】B【解析】x^2-1=x-1x+1有两个解

10.下列不等式正确的是（）A.e^xx^2B.x^2e^xC.lnxxD.xlnx【答案】D【解析】对数函数lnx增长慢于线性函数x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限存在的充分条件？（）A.左右极限存在且相等B.函数连续C.函数可导D.函数有界【答案】A、B【解析】左右极限存在且相等是极限存在的充分条件，函数连续也是

2.以下哪些是向量空间的基本性质？（）A.包含零向量B.任意两个向量的和仍在空间内C.任意数与向量的积仍在空间内D.包含单位向量【答案】A、B、C【解析】向量空间必须包含零向量，对加法和数乘封闭

3.以下哪些是可积函数的性质？（）A.连续函数B.分段连续函数C.单调函数D.有界函数【答案】A、B【解析】连续函数和分段连续函数都可积

4.以下哪些是线性方程组有解的充分条件？（）A.系数矩阵满秩B.增广矩阵满秩C.齐次方程有非零解D.非齐次方程右端向量在解空间内【答案】A、D【解析】系数矩阵满秩和非齐次方程右端向量在解空间内都是方程有解的充分条件

5.以下哪些是收敛级数的性质？（）A.收敛级数的和仍收敛B.收敛级数的项数有限C.收敛级数的通项趋于0D.收敛级数的项可以重排【答案】A、C【解析】收敛级数的和仍收敛，通项趋于0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在点x0处可导，则fx0定义为__________________【答案】limh→0[fx0+h-fx0]/h【解析】这是导数的定义式

2.级数∑n=1to∞a^n收敛的必要条件是__________________【答案】limn→∞a^n=0【解析】收敛级数的通项必须趋于

03.若函数fx在区间[a,b]上连续，则根据介值定理，对任意μ介于fa和fb之间，必存在ξ∈[a,b]，使得__________________【答案】fξ=μ【解析】介值定理的表述

4.矩阵|12|的行列式值为__________________|34|【答案】-2【解析】1×4-2×3=-

25.方程组Ax=b有解的充要条件是__________________【答案】b在矩阵A的列空间内【解析】非齐次线性方程组有解的充要条件

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导函数必连续

2.所有发散的级数都是无穷级数（）【答案】（√）【解析】发散级数定义就是无穷级数的一种

3.若向量组线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（）【答案】（√）【解析】线性相关的定义

4.所有n阶矩阵都可逆（）【答案】（×）【解析】只有行列式不为0的矩阵可逆

5.对数函数lnx在x0时单调递增（）【答案】（√）【解析】对数函数的单调性

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解释导数的几何意义【答案】导数fx0表示函数fx在点x0处的切线斜率【解析】导数的几何意义就是切线斜率，反映了函数在一点的变化率

2.解释级数收敛的定义【答案】级数∑n=1to∞a_n收敛是指其部分和数列S_n=∑k=1tona_k存在极限L【解析】级数收敛就是部分和数列收敛到某个有限值

3.解释矩阵可逆的定义【答案】n阶矩阵A可逆是指存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I_n【解析】可逆矩阵就是存在逆矩阵，使得乘法可逆

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1,1当x-1或x1时fx0，函数单调增；当-1x1时fx0，函数单调减所以x=-1处有极大值f-1=4，x=1处有极小值f1=

02.分析向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1的线性相关性【答案】设λ_11,0,0+λ_20,1,0+λ_30,0,1=0,0,0，得λ_1=λ_2=λ_3=0所以向量组线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫from0toπsin^2xdx【答案】∫from0toπsin^2xdx=∫from0toπ[1-cos2x]/2dx=1/2∫from0toπdx-1/2∫from0toπcos2xdx=1/2[x]from0toπ-1/2[sin2x/2]from0toπ=1/2π-0-1/2[sin2π/2-sin0/2]=π/2-0=π/

22.解线性方程组|12||x||1||34||y|=|2||56||z||3|【答案】增广矩阵为|12|1||34|2||56|3|行简化为|10|1||01|0||00|0|所以x=1,y=0,z任意---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C

3.A、B

4.A、D

5.A、C

三、填空题

1.limh→0[fx0+h-fx0]/h

2.limn→∞a^n=

03.fξ=μ

4.-

25.b在矩阵A的列空间内

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.导数fx0表示函数fx在点x0处的切线斜率

2.级数∑n=1to∞a_n收敛是指其部分和数列S_n=∑k=1tona_k存在极限L

3.n阶矩阵A可逆是指存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I_n

六、分析题

1.fx=3x^2-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1,1当x-1或x1时fx0，函数单调增；当-1x1时fx0，函数单调减所以x=-1处有极大值f-1=4，x=1处有极小值f1=

02.设λ_11,0,0+λ_20,1,0+λ_30,0,1=0,0,0，得λ_1=λ_2=λ_3=0所以向量组线性无关

七、综合应用题

1.∫from0toπsin^2xdx=∫from0toπ[1-cos2x]/2dx=1/2[x]from0toπ-1/2[sin2x/2]from0toπ=π/2-0=π/

22.增广矩阵为|12|1||34|2||56|3|行简化为|10|1||01|0||00|0|所以x=1,y=0,z任意。