华科矩阵论阶段测试试题及答案

华科矩阵论阶段测试试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零选项B的行列式为\3\times2=6\neq0\，所以可逆

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵是（）A.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\41\end{pmatrix}\【答案】A【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

3.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的迹是（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】矩阵的迹是其主对角线元素之和，即\1+4=5\

4.下列哪个向量是矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征向量？（）A.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\【答案】B【解析】特征向量满足\\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\，经过计算，\\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\是特征向量

5.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵是（）A.\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}2-1\\-

1.

50.5\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-12\\3-4\end{pmatrix}\【答案】A【解析】逆矩阵的计算公式为\\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\text{adj}\mathbf{A}\

6.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】C【解析】正交矩阵的列向量是两两正交的单位向量

7.矩阵\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\的特征值是（）A.1,3B.0,4C.1,1D.2,2【答案】A【解析】特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，解得特征值为1和

38.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，该矩阵的秩为

29.下列哪个矩阵是单位矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}\【答案】A【解析】单位矩阵的主对角线元素为1，其余元素为

010.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式是（）A.-2B.2C.-5D.5【答案】D【解析】行列式计算为\1\times4-2\times3=4-6=-2\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的性质？（）A.乘法交换律B.乘法结合律C.加法交换律D.加法结合律E.分配律【答案】B、C、D、E【解析】矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律、分配律和加法的交换律与结合律

2.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}30\\04\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\E.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\【答案】A、C、E【解析】矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，选项B的行列式为零，不可逆

3.以下哪些是正交矩阵的性质？（）A.列向量是单位向量B.列向量两两正交C.行向量是单位向量D.行向量两两正交E.逆矩阵等于转置矩阵【答案】A、B、C、D、E【解析】正交矩阵的列向量是单位向量且两两正交，行向量也具有相同性质，且逆矩阵等于转置矩阵

4.以下哪些是特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量是非零向量B.特征值可以是零C.不同特征值对应的特征向量线性无关D.特征值之和等于矩阵的迹E.特征值的平方是矩阵的特征值【答案】A、C、D【解析】特征向量非零，不同特征值对应特征向量线性无关，特征值之和等于矩阵的迹，特征值的平方不一定是特征值

5.以下哪些是矩阵的秩的性质？（）A.秩等于矩阵的行数B.秩等于矩阵的列数C.秩等于矩阵中非零子式的最高阶数D.秩等于矩阵的列向量组的秩E.秩等于矩阵的行向量组的秩【答案】C、D、E【解析】矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，以及列向量组和行向量组的秩

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵是______【答案】\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵是______【答案】\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\【解析】逆矩阵的计算公式为\\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\text{adj}\mathbf{A}\

3.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值是______和______【答案】1,3【解析】特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，解得特征值为1和

34.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式是______【答案】-2【解析】行列式计算为\1\times4-2\times3=4-6=-2\

5.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩是______【答案】2【解析】矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，该矩阵的秩为2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵（）【答案】（√）【解析】两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵

2.矩阵的特征向量是唯一的（）【答案】（×）【解析】矩阵的特征向量不是唯一的，同一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量

3.单位矩阵的逆矩阵是其本身（）【答案】（√）【解析】单位矩阵的逆矩阵是其本身

4.正交矩阵的行列式一定是1（）【答案】（×）【解析】正交矩阵的行列式可以是1或-

15.矩阵的秩等于其行数或列数中的较小者（）【答案】（×）【解析】矩阵的秩等于其行数或列数中的较大者

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵可逆的充要条件【答案】矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，且其秩等于其阶数

2.简述正交矩阵的性质【答案】正交矩阵的列向量是单位向量且两两正交，行向量也具有相同性质，且逆矩阵等于转置矩阵

3.简述特征值和特征向量的定义【答案】特征值和特征向量定义对于矩阵\\mathbf{A}\和向量\\mathbf{v}\，如果存在标量\\lambda\使得\\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\，则\\lambda\称为矩阵\\mathbf{A}\的特征值，\\mathbf{v}\称为对应的特征向量

4.简述矩阵的秩的定义【答案】矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，也等于矩阵的列向量组的秩或行向量组的秩

5.简述矩阵乘法的性质【答案】矩阵乘法满足结合律、分配律，但不满足交换律

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量【答案】特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，即\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得\\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\对应于\\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_1\对应于\\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_2\

2.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\[\det\mathbf{A}=1\times4-2\times3=4-6=-2\]伴随矩阵\\text{adj}\mathbf{A}\为\[\text{adj}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\]逆矩阵为\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\text{adj}\mathbf{A}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知矩阵\\mathbf{A}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\和\\mathbf{B}=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\，求\\mathbf{A}+\mathbf{B}\、\\mathbf{A}-\mathbf{B}\、\\mathbf{A}\mathbf{B}\和\\mathbf{B}\mathbf{A}\【答案】\[\mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\44\end{pmatrix}\]\[\mathbf{A}-\mathbf{B}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\24\end{pmatrix}\]\[\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\43\end{pmatrix}\]\[\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}34\\12\end{pmatrix}\]

2.已知矩阵\\mathbf{A}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求\\mathbf{A}\的特征值和特征向量【答案】特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，即\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得\\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\对应于\\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_1\对应于\\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_2\---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.C

9.A

10.D

二、多选题

1.B、C、D、E

2.A、C、E

3.A、B、C、D、E

4.A、C、D

5.C、D、E

三、填空题

1.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

2.\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

3.1,

34.-

25.2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，且其秩等于其阶数

2.正交矩阵的列向量是单位向量且两两正交，行向量也具有相同性质，且逆矩阵等于转置矩阵

3.特征值和特征向量定义对于矩阵\\mathbf{A}\和向量\\mathbf{v}\，如果存在标量\\lambda\使得\\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\，则\\lambda\称为矩阵\\mathbf{A}\的特征值，\\mathbf{v}\称为对应的特征向量

4.矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，也等于矩阵的列向量组的秩或行向量组的秩

5.矩阵乘法满足结合律、分配律，但不满足交换律

六、分析题

1.特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，即\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得\\lambda=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\对应于\\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_1\对应于\\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_2\

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为\[\det\mathbf{A}=1\times4-2\times3=4-6=-2\]伴随矩阵\\text{adj}\mathbf{A}\为\[\text{adj}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\]逆矩阵为\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\text{adj}\mathbf{A}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]

七、综合应用题

1.\\mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}13\\44\end{pmatrix}\\\mathbf{A}-\mathbf{B}=\begin{pmatrix}11\\24\end{pmatrix}\\\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}21\\43\end{pmatrix}\\\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}34\\12\end{pmatrix}\

2.特征值满足\\det\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=0\，即\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得\\lambda=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\对应于\\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_1\对应于\\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\，解方程组\\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}\mathbf{v}=0\，得到特征向量\\mathbf{v}_2\。