单招数学函数易错试题及深度答案

单招数学函数易错试题及深度答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^2-2x+3的顶点坐标是（）（2分）A.1,2B.1,-2C.-1,2D.-1,-2【答案】A【解析】顶点坐标公式为-b/2a,f-b/2a，代入得-1,4修正为1,

22.下列函数中，在定义域内单调递减的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】B【解析】二次函数y=-x^2开口向下，对称轴左侧单调递增，右侧单调递减

3.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】绝对值函数在x=1处取得最小值

14.函数y=2^x和y=log2x（）（2分）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称【答案】D【解析】指数与对数互为反函数，图像关于直线y=x对称

5.函数fx=sinx+π/2的图像（）（2分）A.向左平移π/2B.向右平移π/2C.关于x轴对称D.关于y轴对称【答案】B【解析】相位变换公式sinx+α相当于向左平移-α

6.函数y=tanx的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正切函数基本周期为π

7.函数fx=1/x-1的垂直渐近线是（）（2分）A.x=0B.x=1C.y=0D.y=1【答案】B【解析】分母为零处无定义，x=1为垂直渐近线

8.函数y=cos2x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=π

9.函数fx=x^3在区间[-1,1]上的导数fx（）（2分）A.恒为正B.恒为负C.先正后负D.先负后正【答案】A【解析】三次函数在定义域内导数恒大于

010.函数fx=e^x的导数是（）（2分）A.e^xB.x^eC.xe^xD.e^x/x【答案】A【解析】指数函数导数仍为自身

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内为奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=√xE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，√x非奇非偶

2.函数y=a^xa0,a≠1的单调性取决于（）（4分）A.a的大小B.x的取值C.a1D.0a1E.a的符号【答案】A、C、D【解析】指数函数单调性由底数a决定

3.函数y=Asinωx+φ的图像特征包括（）（4分）A.周期T=2π/ωB.振幅为AC.相位为φD.对称轴数量为ωE.对称中心数量为ω【答案】A、B、C【解析】正弦函数图像特征由A、ω、φ决定

4.函数fx=x/x^2-1的渐近线有（）（4分）A.水平渐近线y=0B.垂直渐近线x=1C.垂直渐近线x=-1D.斜渐近线y=xE.斜渐近线y=0【答案】A、B、C【解析】分式函数渐近线由分母最高次项决定

5.函数y=2^-x的图像（）（4分）A.与y=2^x关于x轴对称B.与y=2^x关于y轴对称C.与y=2^x关于原点对称D.是指数函数E.是减函数【答案】B、C、E【解析】指数函数y=a^-x与y=a^x关于y轴对称

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=|x|在x=0处的导数存在，其值为______（4分）【答案】0【解析】绝对值函数在零点处不可导，但左右导数相等

2.函数y=1/1-x的麦克劳林展开式的前三项为______（4分）【答案】1+x+x^2【解析】使用几何级数展开1/1-x=1+x+x^2+...

3.函数y=sin^2x的导数y等于______（4分）【答案】sin2x【解析】使用链式法则，y=2sinxcosx=sin2x

4.函数y=lnx^2的定义域是______（4分）【答案】-∞,0∪0,+∞【解析】对数函数要求真数大于

05.函数y=e^x^2的极值点是______（4分）【答案】x=0【解析】导数e^x^2·2x=0，唯一驻点x=

06.函数y=arctanx的导数y等于______（4分）【答案】1/1+x^2【解析】反正切函数标准导数公式

7.函数y=2^x在x=1处的切线斜率是______（4分）【答案】2【解析】指数函数导数等于自身，切线斜率即f1=

28.函数y=x^3-3x+2的拐点是______（4分）【答案】1,0【解析】二阶导数x^2-1=0，拐点为1,0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个单调递增函数的和仍是单调递增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】设fx≥gx且fx≥gx，则f+g≥

02.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx满足偶函数定义

3.函数y=1/x在x→0时极限不存在（）（2分）【答案】（√）【解析】左右极限不相等，极限不存在

4.函数y=e^x的图像经过点0,1（）（2分）【答案】（√）【解析】e^0=1，图像过0,

15.函数y=√1-x^2的定义域是[-1,1]（）（2分）【答案】（√）【解析】根号下要求1-x^2≥0，解得[-1,1]

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求函数y=3x^2-6x+5的顶点坐标和单调区间（5分）【答案】顶点1,2，单调递减区间-∞,1，单调递增区间1,+∞

2.证明函数y=lnx在0,+∞上单调递增（5分）【答案】导数y=1/x0，所以y=lnx在0,+∞上单调递增

3.求函数y=2sinx-1的最小正周期（5分）【答案】T=2π/|ω|=2π/1=2π

4.讨论函数y=x^3-3x的极值点（5分）【答案】fx=3x^2-3，驻点x=±1，f-1=2，f1=-2，x=-1为极大值点，x=1为极小值点

六、分析题（每题12分，共24分）

1.分析函数y=1/x-1的图像特征（12分）【答案】

①垂直渐近线x=1（分母为零处）

②水平渐近线y=0（x→±∞时）

③第一象限单调递减，第三象限单调递增

④不对称，非奇非偶

⑤过点2,1，-1,-1/

22.证明函数y=ex-x-1在x0时单调递增（12分）【答案】

①定义域0,+∞

②导数y=e^x-1

③当x0时e^x1，y0

④由导数正可得函数单调递增

⑤特殊值x=1时y=e-10，验证成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其极值点并画出大致图像（25分）【答案】

①求导fx=3x^2-6x

②令fx=0得x=0,2

③判断x=0时f0=2（极大值）x=2时f2=-2（极小值）

④拐点fx=6x，x=0处无拐点

⑤图像特征过0,2，2,-2在-∞,0单调递增在0,2单调递减在2,+∞单调递增拐点0,

22.求函数y=2^x+4x-3在区间[1,3]上的最值（25分）【答案】

①定义域[1,3]连续函数

②求导fx=2^x·ln2+4

③在[1,3]上fx0，函数单调递增

④最小值f1=2^1+4-3=3

⑤最大值f3=2^3+12-3=19

⑥结论最小值3，最大值19。