历年考研高等数学试卷及答案解析

历年考研高等数学试卷及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.极限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$等于（）（2分）A.0B.1C.$\infty$D.不存在【答案】B【解析】利用基本极限公式$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.函数$fx=x^3-3x+2$的驻点为（）（2分）A.0B.1C.2D.1,-1【答案】D【解析】$fx=3x^2-3=0$，解得$x=\pm1$

3.设函数$fx$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{fx}{x^2}=2$，则$f0$等于（）（2分）A.0B.2C.4D.1【答案】A【解析】由连续性，$f0=\lim_{x\to0}fx=0$

4.$\int_0^1xe^x\,dx$等于（）（2分）A.$e-1$B.$e$C.$1-e$D.$1$【答案】A【解析】利用分部积分法，$\intxe^x\,dx=xe^x-\inte^x\,dx=xe^x-e^x+C$，计算定积分得$e-1$

5.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的行列式$\detA$等于（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】A【解析】$\detA=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$

6.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）（2分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】C【解析】$p$-级数，当$p1$时绝对收敛，这里$p=2$

7.曲线$y=x^3-3x^2+2$的拐点为（）（2分）A.0,2B.1,0C.2,0D.1,2【答案】D【解析】$y=6x-6=0$，解得$x=1$，$y=1^3-3\cdot1^2+2=0$

8.$\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^n$等于（）（2分）A.1B.$e$C.0D.$\infty$【答案】B【解析】这是$e$的定义

9.方程$x^2+y^2-2x+4y-1=0$表示的曲线是（）（2分）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】A【解析】完成平方，$x-1^2+y+2^2=6$，是圆的方程

10.设$z=fx,y$，$x=u+v$，$y=u-v$，则$\frac{\partialz}{\partialu}$等于（）（2分）A.$f_u+f_v$B.$f_u-f_v$C.$\frac{1}{2}f_u+f_v$D.$\frac{1}{2}f_u-f_v$【答案】A【解析】利用链式法则，$\frac{\partialz}{\partialu}=\frac{\partialf}{\partialx}\frac{\partialx}{\partialu}+\frac{\partialf}{\partialy}\frac{\partialy}{\partialu}=f_u\cdot1+f_v\cdot1=f_u+f_v$

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在$x\to0$时是无穷小量？（）A.$\sinx$B.$x^2$C.$\ln1+x$D.$\frac{1}{x}$E.$e^x-1$【答案】A、B、C、E【解析】$\sinx$、$x^2$、$\ln1+x$、$e^x-1$在$x\to0$时都是无穷小量，$\frac{1}{x}$是无穷大量

2.以下哪些级数收敛？（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}$E.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$【答案】B、C、E【解析】$p$-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$当$p1$时收敛，故B、C收敛；几何级数$\sum_{n=1}^{\infty}ar^n$当$|r|1$时收敛，故E收敛；$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}$发散

3.以下哪些函数在$x\to0$时是可导的？（）A.$fx=|x|$B.$fx=x^2$C.$fx=\sinx$D.$fx=e^x$E.$fx=\ln1+x$【答案】B、C、D、E【解析】$fx=|x|$在$x=0$处不可导

4.以下哪些矩阵是可逆的？（）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}50\\05\end{pmatrix}$E.$\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$【答案】A、C、D【解析】矩阵可逆当且仅当行列式不为零，A、C、D行列式不为零

5.以下哪些向量组线性无关？（）A.$1,0,0$B.$0,1,0$C.$0,0,1$D.$1,1,1$E.$1,2,3$【答案】A、B、C、E【解析】单位向量组线性无关，D中向量组线性相关

三、填空题（每题4分，共20分）

1.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-x}\cdot\sin\frac{1}{x}=$______（4分）【答案】0【解析】$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-x}=0$，$\sin\frac{1}{x}\to0$，故乘积为

02.函数$fx=x^3-3x^2+2$的极大值点为______（4分）【答案】1【解析】$fx=0$得驻点$x=1,2$，$f1=6\cdot1-6=0$，不是拐点，$f2=60$，故$x=1$为极大值点

3.$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx=$______（4分）【答案】$\frac{1}{2}\ln2$【解析】令$u=1+x^2$，则$du=2x\,dx$，积分变为$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|\bigg|_1^2=\frac{1}{2}\ln2$

4.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$为______（4分）【答案】$\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$【解析】$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$

5.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1^n}{n^2}$的和为______（4分）【答案】$\frac{\pi^2}{12}$【解析】交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1^n}{n^2}$收敛于$-\zeta2=-\frac{\pi^2}{6}$，但这里是$\frac{1}{n^2}$，故和为$\frac{\pi^2}{12}$

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数$fx$在$x=a$处可导，则$fx$在$x=a$处连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$也发散（）【答案】（×）【解析】如$a_n=\frac{1}{n}$，$\sum\frac{1}{n}$发散，但$\sum\frac{1}{n^2}$收敛

3.若函数$fx$在区间$a,b$内单调递增，则$fx\geq0$（）【答案】（√）【解析】单调递增的必要条件是导数非负

4.若矩阵$A$和$B$可逆，则$AB$也可逆（）【答案】（√）【解析】$AB$的行列式$\detAB=\detA\detB\neq0$

5.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$也线性无关（）【答案】（√）【解析】设$c_1\alpha_1+\alpha_2+c_2\alpha_2+\alpha_3+c_3\alpha_3+\alpha_1=0$，展开得$c_1+c_3\alpha_1+c_1+c_2\alpha_2+c_2+c_3\alpha_3=0$，由线性无关得$c_1+c_3=0$，$c_1+c_2=0$，$c_2+c_3=0$，解得$c_1=c_2=c_3=0$

五、简答题（每题4分，共20分）

1.解释什么是极限$\lim_{x\toa}fx=A$（4分）【答案】当$x$无限接近$a$时，$fx$无限接近$A$，且可以任意接近$A$【解析】极限的定义对于任意$\epsilon0$，存在$\delta0$，当$0|x-a|\delta$时，$|fx-A|\epsilon$

2.解释什么是导数$fa$（4分）【答案】导数是函数在某一点的瞬时变化率【解析】$fa=\lim_{h\to0}\frac{fa+h-fa}{h}$，表示函数在$a$点的变化率

3.解释什么是定积分$\int_a^bfx\,dx$（4分）【答案】定积分是函数在区间$[a,b]$上的面积或累积效应【解析】$\int_a^bfx\,dx$表示函数$fx$在区间$[a,b]$上的黎曼和的极限

4.解释什么是矩阵的逆矩阵（4分）【答案】矩阵的逆矩阵是使得$AB=I$的矩阵$B$【解析】$A^{-1}$是矩阵$A$的逆矩阵，满足$AA^{-1}=I$，其中$I$是单位矩阵

5.解释什么是线性无关的向量组（4分）【答案】向量组中任意一个向量都不能由其他向量线性表示【解析】若$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$线性无关，则对于任意常数$c_1,c_2,\ldots,c_n$，$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\ldots+c_n\alpha_n=0$当且仅当$c_1=c_2=\ldots=c_n=0$

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数$fx=x^3-3x^2+2$的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导$fx=3x^2-6x=3xx-2$，驻点$x=0,2$

（2）二阶导$fx=6x-6$，$f0=-60$，$f2=60$

（3）单调性$fx0$时，$x2$或$x0$，单调递增；$fx0$时，$0x2$，单调递减

（4）极值$x=0$为极大值点，极大值为$f0=2$；$x=2$为极小值点，极小值为$f2=0$

2.分析级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1^n}{n}$的性质（10分）【答案】

（1）这是交错级数，形式为$\sum_{n=1}^{\infty}-1^na_n$，其中$a_n=\frac{1}{n}$

（2）$a_n=\frac{1}{n}$单调递减且$\lim_{n\to\infty}a_n=0$

（3）根据莱布尼茨判别法，交错级数收敛

（4）但不绝对收敛，因为$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{-1^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分$\int_0^2\frac{x^2}{x^2+1}\,dx$，并求其值（25分）【答案】

（1）分解积分$\int_0^2\frac{x^2}{x^2+1}\,dx=\int_0^2\left1-\frac{1}{x^2+1}\right\,dx=\int_0^21\,dx-\int_0^2\frac{1}{x^2+1}\,dx$

（2）计算第一个积分$\int_0^21\,dx=x\bigg|_0^2=2$

（3）计算第二个积分$\int_0^2\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx\bigg|_0^2=\arctan2-\arctan0=\arctan2$

（4）结果$2-\arctan2$

2.计算矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的幂$A^3$（25分）【答案】

（1）计算$A^2$$A^2=A\cdotA=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot31\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot33\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}710\\1522\end{pmatrix}$

（2）计算$A^3$$A^3=A^2\cdotA=\begin{pmatrix}710\\1522\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\cdot1+10\cdot37\cdot2+10\cdot4\\15\cdot1+22\cdot315\cdot2+22\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3754\\6998\end{pmatrix}$---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.A

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、E

2.B、C、E

3.B、C、D、E

4.A、C、D

5.A、B、C、E

三、填空题

1.

02.

13.$\frac{1}{2}\ln2$

4.$\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$

5.$\frac{\pi^2}{12}$

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.当$x$无限接近$a$时，$fx$无限接近$A$，且可以任意接近$A$

2.导数是函数在某一点的瞬时变化率

3.定积分是函数在区间$[a,b]$上的面积或累积效应

4.矩阵的逆矩阵是使得$AB=I$的矩阵$B$

5.向量组中任意一个向量都不能由其他向量线性表示

六、分析题

1.

（1）求导$fx=3x^2-6x=3xx-2$，驻点$x=0,2$

（2）二阶导$fx=6x-6$，$f0=-60$，$f2=60$

（3）单调性$fx0$时，$x2$或$x0$，单调递增；$fx0$时，$0x2$，单调递减

（4）极值$x=0$为极大值点，极大值为$f0=2$；$x=2$为极小值点，极小值为$f2=0$

2.

（1）这是交错级数，形式为$\sum_{n=1}^{\infty}-1^na_n$，其中$a_n=\frac{1}{n}$

（2）$a_n=\frac{1}{n}$单调递减且$\lim_{n\to\infty}a_n=0$

（3）根据莱布尼茨判别法，交错级数收敛

（4）但不绝对收敛，因为$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{-1^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散

七、综合应用题

1.

（1）分解积分$\int_0^2\frac{x^2}{x^2+1}\,dx=\int_0^2\left1-\frac{1}{x^2+1}\right\,dx=\int_0^21\,dx-\int_0^2\frac{1}{x^2+1}\,dx$

（2）计算第一个积分$\int_0^21\,dx=x\bigg|_0^2=2$

（3）计算第二个积分$\int_0^2\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx\bigg|_0^2=\arctan2-\arctan0=\arctan2$

（4）结果$2-\arctan2$

2.

（1）计算$A^2$$A^2=A\cdotA=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot31\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot33\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}710\\1522\end{pmatrix}$

（2）计算$A^3$$A^3=A^2\cdotA=\begin{pmatrix}710\\1522\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\cdot1+10\cdot37\cdot2+10\cdot4\\15\cdot1+22\cdot315\cdot2+22\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3754\\6998\end{pmatrix}$。