变上限定积分竞赛试题及详细解答

变上限定积分竞赛试题及详细解答

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在[0,1]上连续，则∫0^1ft|x-t|dt等于（）（2分）A.∫0^xxftdt+∫x^1xftdtB.∫0^xxftdt-∫x^1xftdtC.∫0^xx-tftdt+∫x^1t-xftdtD.∫0^xt-xftdt-∫x^1x-tftdt【答案】C【解析】|x-t|在[0,x]上等于x-t，在[x,1]上等于t-x，故原积分等于∫0^xx-tftdt+∫x^1t-xftdt

2.设Fx=∫0^xt^2-1dt，则F0等于（）（2分）A.-1B.1C.0D.不存在【答案】B【解析】Fx=x^2-1，Fx=2x，F0=

23.函数fx在[a,b]上连续，则∫a^bfxdx的值（）（2分）A.一定大于0B.一定小于0C.可能大于0也可能小于0D.等于0【答案】C【解析】fx在[a,b]上的符号不确定，故积分值可能大于0，小于0或等于

04.若fx在[0,1]上单调递增且连续，则∫0^1fxdx与f0,f1之间的大小关系是（）（2分）A.∫0^1fxdxf0f1B.∫0^1fxdxf0f1C.∫0^1fxdxmin{f0,f1}D.∫0^1fxdxmax{f0,f1}【答案】C【解析】fx单调递增，故∫0^1fxdxmin{f0,f1}

5.设fx在[0,1]上连续，且∫0^1fxdx=1，则∫0^11-x^2fxdx等于（）（2分）A.1B.0C.1/3D.2【答案】C【解析】令x=√t，dx=1/2√tdt，则∫0^11-x^2fxdx=∫0^11-tf√t/2dt=1/2∫0^11-tf√tdt，令u=√t，则原积分=1/2∫0^11-u^2fudu=1/

36.设fx在[0,1]上连续，且fx0，则∫0^1√fxdx与∫0^1fxdx之间的大小关系是（）（2分）A.∫0^1√fxdx∫0^1fxdxB.∫0^1√fxdx∫0^1fxdxC.∫0^1√fxdx=∫0^1fxdxD.无法确定【答案】A【解析】由均值不等式，√fx≤fx，故∫0^1√fxdx≤∫0^1fxdx，又fx0，故∫0^1√fxdx0，∫0^1fxdx0，故∫0^1√fxdx∫0^1fxdx

7.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则fx在[0,1]上的最大值（）（2分）A.一定大于1B.一定小于1C.一定等于1D.无法确定【答案】D【解析】fx的值域不确定，故最大值无法确定

8.设fx在[0,1]上连续，且fx0，则∫0^1lnfxdx与∫0^1fxdx之间的大小关系是（）（2分）A.∫0^1lnfxdx∫0^1fxdxB.∫0^1lnfxdx∫0^1fxdxC.∫0^1lnfxdx=∫0^1fxdxD.无法确定【答案】B【解析】由均值不等式，lnfx≤fx-1，故∫0^1lnfxdx≤∫0^1fx-1dx=∫0^1fxdx-1，又fx0，故∫0^1lnfxdx∫0^1fxdx

9.设fx在[0,1]上连续，且∫0^1fxdx=1，则∫0^1fxdx与∫0^1fxdx^2之间的大小关系是（）（2分）A.∫0^1fxdx∫0^1fxdx^2B.∫0^1fxdx∫0^1fxdx^2C.∫0^1fxdx=∫0^1fxdx^2D.无法确定【答案】A【解析】令fx=1，则∫0^1fxdx=∫0^1fxdx^2；令fx=x，则∫0^1fxdx=1/2，∫0^1fxdx^2=1/3，故∫0^1fxdx∫0^1fxdx^

210.设fx在[0,1]上连续，且fx0，则∫0^1fxdx与∫0^1fx^2dx之间的大小关系是（）（2分）A.∫0^1fxdx∫0^1fx^2dxB.∫0^1fxdx∫0^1fx^2dxC.∫0^1fxdx=∫0^1fx^2dxD.无法确定【答案】D【解析】fx的值域不确定，故无法确定∫0^1fxdx与∫0^1fx^2dx之间的大小关系

二、多选题（每题4分，共20分）

1.设fx在[0,1]上连续，则下列说法正确的是（）（4分）A.∫0^1fxdx=∫0^1f1-xdxB.∫0^1fxdx=∫0^1fx+1dxC.∫0^1fxdx=∫0^1fxdxD.∫0^1fxdx=∫1^0fxdx【答案】A、C【解析】A选项，令t=1-x，则dx=-dt，故∫0^1f1-xdx=∫1^0ft-dt=∫0^1ftdt=∫0^1fxdx；C选项，显然成立；B选项，令t=x+1，则dx=dt，故∫0^1fx+1dx=∫1^2ftdt≠∫0^1fxdx；D选项，∫1^0fxdx=-∫0^1fxdx≠∫0^1fxdx

2.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则下列说法正确的是（）（4分）A.∫0^1√fxdx≤∫0^1fxdxB.∫0^1fxdx≤∫0^1fx^2dxC.∫0^1fxdx≥∫0^1fx^2dxD.∫0^1fxdx=∫0^1fx^2dx【答案】A、C【解析】A选项，由均值不等式，√fx≤fx，故∫0^1√fxdx≤∫0^1fxdx；C选项，若fx在[0,1]上恒为1，则∫0^1fxdx=∫0^1fx^2dx；若fx在[0,1]上不恒为1，则存在x0∈[0,1]，使得fx0≠fx0^2，不妨设fx0fx0^2，则∫0^1fxdx∫0^1fx^2dx

3.设fx在[0,1]上连续，且fx0，则下列说法正确的是（）（4分）A.∫0^1fxdx=∫0^1f1/xdxB.∫0^1fxdx=∫1^0f1/xdxC.∫0^1fxdx=∫1^1f1/xdxD.∫0^1fxdx=∫1^1fxdx【答案】A、C【解析】A选项，令t=1/x，则dx=-1/t^2dt，故∫0^1f1/xdx=∫∞^1ft-1/t^2dt=∫1^∞ft/t^2dt≠∫0^1fxdx；B选项，令t=1/x，则dx=-1/t^2dt，故∫1^0f1/xdx=∫∞^1ft-1/t^2dt=∫1^∞ft/t^2dt≠∫0^1fxdx；C选项，令t=1/x，则dx=-1/t^2dt，故∫1^1f1/xdx=∫1^1ft-1/t^2dt=∫1^1ft/t^2dt=∫0^1fxdx；D选项，显然不成立

4.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则下列说法正确的是（）（4分）A.∫0^1fxdx=∫0^1fxdxB.∫0^1fxdx=∫1^0-fxdxC.∫0^1fxdx=∫0^1f-xdxD.∫0^1fxdx=∫1^0fxdx【答案】A、B【解析】A选项，显然成立；B选项，∫1^0-fxdx=-∫0^1fxdx=∫0^1-fxdx=∫0^1fxdx；C选项，若fx为偶函数，则∫0^1fxdx=∫0^1f-xdx，否则不成立；D选项，∫1^0fxdx=-∫0^1fxdx≠∫0^1fxdx

5.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则下列说法正确的是（）（4分）A.∫0^1fxdx=∫0^1fx+1dxB.∫0^1fxdx=∫1^0fxdxC.∫0^1fxdx=∫0^1fxdxD.∫0^1fxdx=∫1^1fxdx【答案】C、D【解析】C选项，显然成立；D选项，∫1^1fxdx=∫0^1fxdx=∫1^0-fxdx=∫0^1fxdx；A选项，令t=x+1，则dx=dt，故∫0^1fx+1dx=∫1^2ftdt≠∫0^1fxdx；B选项，∫1^0fxdx=-∫0^1fxdx≠∫0^1fxdx

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则fx在[0,1]上的平均值是______【答案】1【解析】fx在[0,1]上的平均值是∫0^1fxdx/1=

12.设fx在[0,1]上连续，且fx0，则∫0^1lnfxdx=______【答案】-∫0^1fxdx【解析】由分部积分，∫0^1lnfxdx=[lnfxfx]0^1-∫0^1fxlnfxdx=0-∫0^1fxlnfxdx=-∫0^1fxlnfxdx=-∫0^1lnfxdx，故∫0^1lnfxdx=-∫0^1fxdx

3.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则∫0^1fx^2dx______（填、或=）∫0^1fxdx【答案】≤【解析】由均值不等式，fx^2≤fx，故∫0^1fx^2dx≤∫0^1fxdx

4.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则∫0^1fx^3dx______（填、或=）∫0^1fxdx【答案】≤【解析】由均值不等式，fx^3≤fx，故∫0^1fx^3dx≤∫0^1fxdx

5.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则∫0^1fx^4dx______（填、或=）∫0^1fxdx【答案】≤【解析】由均值不等式，fx^4≤fx，故∫0^1fx^4dx≤∫0^1fxdx

四、判断题（每题2分，共10分）

1.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则∫0^1fxdx=∫0^1fx+1dx（）（2分）【答案】（×）【解析】令t=x+1，则dx=dt，故∫0^1fx+1dx=∫1^2ftdt≠∫0^1fxdx

2.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则∫0^1fxdx=∫1^0fxdx（）（2分）【答案】（×）【解析】∫1^0fxdx=-∫0^1fxdx≠∫0^1fxdx

3.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则∫0^1fxdx=∫0^1f-xdx（）（2分）【答案】（×）【解析】若fx为偶函数，则∫0^1fxdx=∫0^1f-xdx，否则不成立

4.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则∫0^1fxdx=∫0^1fxdx（）（2分）【答案】（√）【解析】显然成立

5.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，则∫0^1fxdx=∫1^0fxdx（）（2分）【答案】（×）【解析】∫1^0fxdx=-∫0^1fxdx≠∫0^1fxdx

五、简答题（每题4分，共12分）

1.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则fx在[0,1]上的平均值是多少？请说明理由【答案】fx在[0,1]上的平均值是∫0^1fxdx/1=1因为平均值就是函数在区间上的积分除以区间长度

2.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则∫0^1fx^2dx与∫0^1fxdx之间的大小关系是什么？请说明理由【答案】∫0^1fx^2dx≤∫0^1fxdx因为由均值不等式，fx^2≤fx，故∫0^1fx^2dx≤∫0^1fxdx

3.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，则∫0^1fx^3dx与∫0^1fxdx之间的大小关系是什么？请说明理由【答案】∫0^1fx^3dx≤∫0^1fxdx因为由均值不等式，fx^3≤fx，故∫0^1fx^3dx≤∫0^1fxdx

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，证明∫0^1fx^2dx≤1【证明】由均值不等式，fx^2≤fx，故∫0^1fx^2dx≤∫0^1fxdx=

12.设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，证明∫0^1fx^3dx≤1【证明】由均值不等式，fx^3≤fx，故∫0^1fx^3dx≤∫0^1fxdx=1

七、综合应用题（每题20分，共20分）设fx在[0,1]上连续，且fx≥0，若∫0^1fxdx=1，证明∫0^1fx^4dx≤1【证明】由均值不等式，fx^4≤fx，故∫0^1fx^4dx≤∫0^1fxdx=1。