同底数幂相乘竞赛试题及答案解析

同底数幂相乘竞赛试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若\a^m=3\且\a^n=9\，则\a^{m+n}\等于（）（2分）A.12B.27C.36D.81【答案】B【解析】因为\a^m=3\且\a^n=9\，所以\a^n=a^m^2=3^2=9\，因此\m+n=2m\，所以\a^{m+n}=a^{2m}=a^m^2=3^2=27\

2.若\x^a=2\且\x^b=8\，则\a+b\等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为\x^b=x^a^3=2^3=8\，所以\b=3a\，因此\a+b=a+3a=4a\，所以\x^{a+b}=x^{4a}=x^a^4=2^4=16\，因此\a+b=3\

3.若\4^x=16^y\，则\\frac{x}{y}\等于（）（2分）A.1B.2C.\\frac{1}{2}\D.4【答案】C【解析】因为\4^x=2^2^x=2^{2x}\且\16^y=2^4^y=2^{4y}\，所以\2x=4y\，即\\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\

4.若\a^m=5\且\a^n=25\，则\m+n\等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】因为\a^n=a^m^2=5^2=25\，所以\n=2m\，因此\m+n=m+2m=3m\，所以\a^{m+n}=a^{3m}=a^m^3=5^3=125\，因此\m+n=2\

5.若\2^x=8^y\，则\\frac{x}{y}\等于（）（2分）A.1B.2C.\\frac{1}{2}\D.4【答案】C【解析】因为\2^x=2^3^y=2^{3y}\，所以\x=3y\，即\\frac{x}{y}=3\

6.若\3^a=81\且\3^b=27\，则\a-b\等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】因为\3^a=3^4=81\且\3^b=3^3=27\，所以\a=4\且\b=3\，因此\a-b=4-3=1\

7.若\5^x=625\且\5^y=125\，则\x-y\等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为\5^x=5^4=625\且\5^y=5^3=125\，所以\x=4\且\y=3\，因此\x-y=4-3=1\

8.若\2^a=32\且\2^b=16\，则\a+b\等于（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】因为\2^a=2^5=32\且\2^b=2^4=16\，所以\a=5\且\b=4\，因此\a+b=5+4=9\

9.若\7^x=343\且\7^y=49\，则\x-y\等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】因为\7^x=7^3=343\且\7^y=7^2=49\，所以\x=3\且\y=2\，因此\x-y=3-2=1\

10.若\6^a=1296\且\6^b=36\，则\a-b\等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】因为\6^a=6^4=1296\且\6^b=6^2=36\，所以\a=4\且\b=2\，因此\a-b=4-2=2\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些等式成立？（）A.\2^3\cdot2^4=2^7\B.\3^2\cdot3^3=3^5\C.\5^0\cdot5^2=5^2\D.\4^1\cdot4^3=4^4\E.\7^a\cdot7^b=7^{a+b}\【答案】A、B、C、D、E【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加因此以上所有等式都成立

2.以下哪些等式不成立？（）A.\2^3+2^4=2^7\B.\3^2+3^3=3^5\C.\5^0+5^2=5^2\D.\4^1+4^3=4^4\E.\7^a+7^b=7^{a+b}\【答案】A、B、C、D、E【解析】同底数幂相加，不能合并，因此以上所有等式都不成立

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若\2^x=32\，则\x\等于______【答案】5【解析】因为\2^5=32\，所以\x=5\

2.若\3^y=81\，则\y\等于______【答案】4【解析】因为\3^4=81\，所以\y=4\

3.若\4^a=256\，则\a\等于______【答案】4【解析】因为\4^4=256\，所以\a=4\

4.若\5^b=625\，则\b\等于______【答案】4【解析】因为\5^4=625\，所以\b=4\

5.若\6^c=1296\，则\c\等于______【答案】4【解析】因为\6^4=1296\，所以\c=4\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若\a^m=a^n\，则\m=n\（）（2分）【答案】（×）【解析】例如\2^3=8\且\-2^3=-8\，但\3\neq-3\，所以\m\不一定等于\n\

2.若\a^m=b^m\，则\a=b\（）（2分）【答案】（×）【解析】例如\2^3=8\且\-2^3=-8\，但\2\neq-2\，所以\a\不一定等于\b\

3.若\a^0=b^0\，则\a=b\（）（2分）【答案】（×）【解析】任何非零数的0次幂都是1，所以\a\和\b\可以是任何非零数，不一定相等

4.若\a^m=a^n\，则\m=n\或\a=1\（）（2分）【答案】（√）【解析】如果\a\neq0\，则\m=n\；如果\a=1\，则任何指数的1都等于1，所以\m\和\n\可以不相等

5.若\a^m=b^n\，则\a=b\且\m=n\（）（2分）【答案】（×）【解析】例如\2^3=8\且\4^1=4\，但\2\neq4\且\3\neq1\，所以\a\和\b\不一定相等，\m\和\n\也不一定相等

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解释同底数幂相乘的法则【答案】同底数幂相乘的法则是指底数相同的幂相乘时，底数保持不变，指数相加即\a^m\cdota^n=a^{m+n}\【解析】这是指数运算的基本法则之一，适用于任何非零底数的幂相乘

2.举例说明同底数幂相乘的法则【答案】例如\2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128\【解析】通过具体例子可以直观地理解同底数幂相乘的法则

3.解释为什么\a^m=a^n\不一定意味着\m=n\【答案】因为存在负数的情况，例如\2^3=8\且\-2^3=-8\，但\3\neq-3\，所以\a^m=a^n\不一定意味着\m=n\【解析】通过负数的例子可以说明同底数幂相乘时，指数不一定相等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析同底数幂相乘法则在解决实际问题中的应用【答案】同底数幂相乘法则在解决实际问题中有很多应用，例如在科学计算中，可以简化复杂的计算过程例如，在计算放射性物质的衰变时，可以使用同底数幂相乘法则来简化指数运算【解析】通过具体应用场景可以说明同底数幂相乘法则的实际意义

2.分析同底数幂相乘法则在几何问题中的应用【答案】同底数幂相乘法则在几何问题中也有应用，例如在计算面积和体积时，可以使用同底数幂相乘法则来简化计算例如，在计算长方体的体积时，可以使用同底数幂相乘法则来简化长方体体积的计算【解析】通过几何问题的例子可以说明同底数幂相乘法则的应用价值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.若\a^m=16\且\a^n=64\，求\a^{m+n}\的值【答案】因为\a^n=a^m^2=16^2=64\，所以\n=2m\，因此\m+n=3m\，所以\a^{m+n}=a^{3m}=a^m^3=16^3=4096\【解析】通过同底数幂相乘法则和指数运算，可以求解\a^{m+n}\的值

2.若\2^x=32\且\3^y=81\，求\2^x\cdot3^y\的值【答案】因为\2^x=2^5=32\且\3^y=3^4=81\，所以\2^x\cdot3^y=32\cdot81=2592\【解析】通过同底数幂相乘法则和指数运算，可以求解\2^x\cdot3^y\的值标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C、D、E

三、填空题

1.

52.

43.

44.

45.4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.同底数幂相乘的法则是指底数相同的幂相乘时，底数保持不变，指数相加即\a^m\cdota^n=a^{m+n}\

2.例如\2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128\

3.因为存在负数的情况，例如\2^3=8\且\-2^3=-8\，但\3\neq-3\，所以\a^m=a^n\不一定意味着\m=n\

六、分析题

1.同底数幂相乘法则在解决实际问题中有很多应用，例如在科学计算中，可以简化复杂的计算过程例如，在计算放射性物质的衰变时，可以使用同底数幂相乘法则来简化指数运算

2.同底数幂相乘法则在几何问题中也有应用，例如在计算面积和体积时，可以使用同底数幂相乘法则来简化计算例如，在计算长方体的体积时，可以使用同底数幂相乘法则来简化长方体体积的计算

七、综合应用题

1.因为\a^n=a^m^2=16^2=64\，所以\n=2m\，因此\m+n=3m\，所以\a^{m+n}=a^{3m}=a^m^3=16^3=4096\

2.因为\2^x=2^5=32\且\3^y=3^4=81\，所以\2^x\cdot3^y=32\cdot81=2592\。