同济大学线性代数期末真题及答案解析

同济大学线性代数期末真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,1,3,5,2,5,8D.1,2,2,3,3,4【答案】B【解析】选项B中的向量组是标准单位向量组，显然线性无关其他选项中的向量组存在线性相关关系

2.矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式\\detA\等于（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】A【解析】计算行列式\\detA=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\

3.若向量\\mathbf{u}=1,2\和\\mathbf{v}=2,4\，则向量\\mathbf{u}\和\\mathbf{v}\的内积为（）（2分）A.10B.5C.6D.8【答案】B【解析】向量内积\\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot2+2\cdot4=2+8=10\

4.矩阵\A=\begin{pmatrix}101\\010\\101\end{pmatrix}\的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】通过行变换将矩阵化为行阶梯形\[\begin{pmatrix}101\\010\\101\end{pmatrix}\xrightarrow{R3-R1}\begin{pmatrix}101\\010\\000\end{pmatrix}\]秩为

25.方程\x^2+y^2=1\表示的图形是（）（2分）A.直线B.抛物线C.椭圆D.圆【答案】D【解析】方程\x^2+y^2=1\表示的是以原点为圆心，半径为1的圆

6.矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵\A^T\为（）（2分）A.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}\【答案】A【解析】转置矩阵是将原矩阵的行变成列，列变成行\[A^T=\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\]

7.若\A\和\B\都是\n\timesn\矩阵，且\AB=I\，则\B\是\A\的（）（2分）A.左逆矩阵B.右逆矩阵C.逆矩阵D.伴随矩阵【答案】C【解析】若\AB=I\，则\B\是\A\的逆矩阵

8.向量空间\R^3\的维数是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】向量空间\R^3\由三个基向量构成，维数为

39.矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值是（）（2分）A.1,2B.3,4C.5,-1D.2,-1【答案】C【解析】特征方程为\\detA-\lambdaI=0\\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得特征值\\lambda_1=5,\lambda_2=-1\

10.若\A\是\n\timesn\可逆矩阵，则\A\的逆矩阵\A^{-1}\满足（）（2分）A.\AA^{-1}\neqI\B.\A^{-1}A\neqI\C.\AA^{-1}=I\D.\A^{-1}A\neqA\【答案】C【解析】可逆矩阵的定义是\AA^{-1}=I\和\A^{-1}A=I\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性无关的向量组？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6C.1,2,3,1,3,5,2,5,8D.1,0,0,1【答案】A、D【解析】选项A中的向量组是标准单位向量组，显然线性无关选项D中的向量组是二维空间中的基向量组，也线性无关选项B和C中的向量组存在线性相关关系

2.以下哪些是矩阵的秩的性质？（）A.矩阵的秩等于其行向量组的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数D.矩阵的秩等于其零向量的个数【答案】A、B、C【解析】矩阵的秩等于其行向量组的秩，等于其列向量组的秩，等于其非零子式的最高阶数选项D错误，秩与零向量个数无关

3.以下哪些是向量空间\R^n\的性质？（）A.向量空间中的零向量是唯一的B.向量空间中的向量加法和数乘封闭C.向量空间中的任意两个向量的和仍在向量空间中D.向量空间中的向量加法满足交换律和结合律【答案】A、B、C、D【解析】这些都是向量空间的性质

4.以下哪些是特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量对应的特征值可以是复数B.非零向量不能是多个不同特征值的特征向量C.特征向量可以相互线性无关D.特征值对应的特征向量是唯一的【答案】A、C【解析】特征向量对应的特征值可以是复数，特征向量可以相互线性无关选项B和D错误

5.以下哪些是矩阵可逆的条件？（）A.矩阵的行列式不为零B.矩阵的秩等于其阶数C.矩阵存在逆矩阵D.矩阵的行向量组线性无关【答案】A、B、C、D【解析】这些都是矩阵可逆的条件

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若向量\\mathbf{u}=1,2\和\\mathbf{v}=2,4\，则向量\\mathbf{u}\和\\mathbf{v}\的外积为______（4分）【答案】\1\cdot4-2\cdot2,2\cdot2-1\cdot4,1\cdot4-2\cdot2\或简化为\0,0,0\

2.矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的伴随矩阵\\text{adj}A\为______（4分）【答案】\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\

3.方程\x^2+y^2=1\表示的图形是______（4分）【答案】圆

4.若向量\\mathbf{u}=1,2\和\\mathbf{v}=2,4\，则向量\\mathbf{u}\和\\mathbf{v}\的夹角余弦为______（4分）【答案】

15.矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值为______（4分）【答案】5,-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个线性无关的向量组一定可以张成\R^2\（）（2分）【答案】（×）【解析】两个线性无关的向量组可以张成\R^2\，但不一定，需要两个向量

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）（2分）【答案】（√）

3.向量空间的零向量是唯一的（）（2分）【答案】（√）

4.特征向量对应的特征值可以是复数（）（2分）【答案】（√）

5.矩阵的行向量组线性无关当且仅当矩阵可逆（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述线性无关的定义【答案】向量组\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\线性无关是指不存在不全为零的数\c_1,c_2,\ldots,c_n\使得\c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\

2.简述矩阵的秩的定义【答案】矩阵的秩是指矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数

3.简述特征值和特征向量的定义【答案】对于矩阵\A\，如果存在数\\lambda\和非零向量\\mathbf{v}\使得\A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\，则\\lambda\称为\A\的特征值，\\mathbf{v}\称为\A\对应于\\lambda\的特征向量

4.简述矩阵可逆的定义【答案】矩阵\A\可逆是指存在矩阵\B\使得\AB=BA=I\，其中\I\是单位矩阵，\B\称为\A\的逆矩阵

5.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间的基本性质包括零向量存在且唯一，向量加法和数乘封闭，加法交换律和结合律，数乘结合律，分配律等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量【答案】特征方程为\\detA-\lambdaI=0\\[\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\]解得特征值\\lambda_1=5,\lambda_2=-1\对于\\lambda_1=5\\[A-5I\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]解得特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\对于\\lambda_2=-1\\[A+I\mathbf{v}=\begin{pmatrix}22\\35\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]解得特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\

2.分析向量空间\R^3\的基和维数【答案】向量空间\R^3\的基是\\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}\，维数为3任意向量\\mathbf{u}=x,y,z\都可以表示为基向量的线性组合\[\mathbf{u}=x1,0,0+y0,1,0+z0,0,1\]

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\和\B=\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\，求\A+B\和\AB\【答案】\[A+B=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}68\\1012\end{pmatrix}\]\[AB=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot71\cdot6+2\cdot8\\3\cdot5+4\cdot73\cdot6+4\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\]---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.C

9.C

10.C

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C

3.A、B、C、D

4.A、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.\0,0,0\

2.\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\

3.圆

4.

15.5,-1

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.向量组\\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\线性无关是指不存在不全为零的数\c_1,c_2,\ldots,c_n\使得\c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\

2.矩阵的秩是指矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数

3.对于矩阵\A\，如果存在数\\lambda\和非零向量\\mathbf{v}\使得\A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\，则\\lambda\称为\A\的特征值，\\mathbf{v}\称为\A\对应于\\lambda\的特征向量

4.矩阵\A\可逆是指存在矩阵\B\使得\AB=BA=I\，其中\I\是单位矩阵，\B\称为\A\的逆矩阵

5.向量空间的基本性质包括零向量存在且唯一，向量加法和数乘封闭，加法交换律和结合律，数乘结合律，分配律等

六、分析题

1.特征值\\lambda_1=5\，特征向量\\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\；特征值\\lambda_2=-1\，特征向量\\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\

2.基是\\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}\，维数为3

七、综合应用题

1.\A+B=\begin{pmatrix}68\\1012\end{pmatrix}\，\AB=\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\。