周一考试真题及答案

周一考试真题及答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（1分）A.a0B.a0C.b0D.b0【答案】B【解析】函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

2.下列命题中正确的是（）（1分）A.0是自然数但不是整数B.无理数不是实数C.任何数的平方都是正数D.实数包括有理数和无理数【答案】D【解析】实数集合包括有理数和无理数

3.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b等于（）（1分）A.4,1B.2,1C.4,3D.1,4【答案】A【解析】向量加法分量对应相加，a+b=1+3,2+-1=4,

14.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】|x-1|表示x与1的距离，在[0,2]区间内，当x=1时距离最小为

05.若方程x^2-2x+k=0有实根，则k的取值范围是（）（1分）A.k1B.k≥1C.k≤1D.k1【答案】C【解析】判别式Δ=4-4k≥0，解得k≤

16.在直角三角形中，若一个锐角为30°，则斜边上的高与斜边的比是（）（1分）A.1:2B.1:√3C.1:√2D.1:1【答案】A【解析】30°角所对边是斜边的一半，高将斜边分为两个30°-60°-90°三角形

7.若集合A={x|-1x3}，B={x|x≥2}，则A∩B等于（）（1分）A.{x|x2}B.{x|x≥-1}C.{x|2≤x3}D.{x|x3}【答案】C【解析】A和B的交集是同时满足两个条件的x值

8.若复数z=1+i，则z^2等于（）（1分）A.2B.0C.-2D.1【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

9.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（1分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】点数和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种

10.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数是（）（1分）A.0B.-2C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f1=31^2-3=

011.圆x^2+y^2=4的面积是（）（1分）A.4πB.2πC.πD.8π【答案】A【解析】半径r=2，面积A=πr^2=4π

12.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_5等于（）（1分）A.25B.30C.35D.40【答案】B【解析】a_5=S_5-S_4=5^2+5-4^2+4=

3013.若直线y=kx+b与x轴垂直，则k等于（）（1分）A.0B.1C.-1D.无穷大【答案】D【解析】垂直x轴的直线斜率不存在，即k为无穷大

14.函数fx=e^x在x=0处的切线方程是（）（1分）A.y=xB.y=eC.y=1D.y=x+1【答案】C【解析】f0=e^0=1，fx=e^x，f0=1，切线方程y-1=1x-0即y=x+

115.若三角形的三边长分别为

5、

12、13，则该三角形是（）（1分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】满足5^2+12^2=13^2，是勾股数

16.若向量u=2,3，v=-1,2，则向量u·v等于（）（1分）A.7B.-7C.1D.-1【答案】B【解析】u·v=2-1+32=-2+6=

417.函数fx=sinx在[0,π]上的最大值是（）（1分）A.0B.1C.-1D.√2【答案】B【解析】sinx在x=π/2时取最大值

118.若直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+ay+3=0平行，则a等于（）（1分）A.-2B.2C.1D.-1【答案】B【解析】平行直线斜率相同，a/1=-1/2，解得a=-

219.若概率PA=

0.6，PB=

0.7，且A与B互斥，则PA∪B等于（）（1分）A.

0.9B.

0.3C.

1.3D.

0.1【答案】A【解析】互斥事件概率和，PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

1.

320.若函数fx=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值是（）（1分）A.0B.3C.4D.5【答案】D【解析】fx在x=2处取最小值-1，在端点x=4时取最大值5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=logxD.y=sinx【答案】B、C【解析】y=2^x和y=logx在各自定义域内单调递增

2.下列命题中正确的是（）（4分）A.0是偶数B.方程x^2+1=0有实根C.任何实数的平方都是非负数D.无理数不可表示为分数【答案】A、C、D【解析】0是偶数，实数平方非负，无理数不可表示为分数

3.若向量a=1,2，b=3,-1，则下列运算正确的是（）（4分）A.a+b=4,1B.2a-b=1,5C.a·b=1D.|a|=√5【答案】A、B、D【解析】a+b=4,1，2a-b=2-3,4--1=1,5，|a|=√1^2+2^2=√

54.下列函数中，在x=0处取得极值的是（）（4分）A.y=x^3B.y=x^2C.y=|x|D.y=e^x【答案】C【解析】|x|在x=0处不可导，但取得极小值

05.下列命题中正确的是（）（4分）A.集合A⊆B，则A∩B=AB.集合A∪B=B，则A⊆BC.集合A∩B=∅，则A、B中至少有一个为空集D.任何非空集合至少有两个元素【答案】A、B【解析】A⊆B时A∩B=A，A∪B=B等价于A⊆B

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，则f2=______（4分）【答案】-1【解析】f2=2^2-42+3=-

12.若向量a=3,-2，b=1,k，且a∥b，则k=______（4分）【答案】-2/3【解析】a∥b则3k=-2，解得k=-2/

33.若圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心坐标是______，半径是______（4分）【答案】1,-2；2【解析】配方得x-1^2+y+2^2=4，圆心1,-2，半径√4=

24.函数fx=sin2x在[0,π/2]上的值域是______（4分）【答案】[-1,1]【解析】2x∈[0,π]，sin2x∈[-1,1]

5.若数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_5=10，则公差d=______（4分）【答案】2【解析】a_5=a_1+4d，10=2+4d，解得d=

26.若直线y=2x+b与圆x^2+y^2=1相交于两点，则b的取值范围是______（4分）【答案】-√5,√5【解析】联立方程得5x^2+4bx+b^2-1=0，Δ=16b^2-20b^2-10，解得-√5b√

57.若复数z=a+bi（a,b为实数）的模是√5，且z的辐角主值是π/3，则a=______，b=______（4分）【答案】√5/2；√5√3/2【解析】|z|=√5，z=re^iπ/3=√5e^iπ/3，a=√5cosπ/3=√5/2，b=√5sinπ/3=√5√3/

28.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A、B相互独立，则PA∩B=______（4分）【答案】

0.42【解析】PA∩B=PAPB=

0.6×

0.7=

0.42

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，ab但a^2b^

22.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:ax+by+c=0平行，则a/b=1（）（2分）【答案】（×）【解析】平行条件是a/b=1且c≠b，缺少c≠b的条件

3.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

4.若集合A={x|x^2=1}，则A={-1,1}（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2=1的解是x=±

15.若事件A的概率PA=

0.5，事件B的概率PB=

0.6，则PA∪B=

0.5+

0.6（）（2分）【答案】（×）【解析】若A、B不互斥，需减去PA∩B

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f-2=-8-12+2=-18，f0=0，f2=8-12+2=-2，f3=27-27+2=2最大值2，最小值-

182.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【答案】平行直线斜率相同，斜率k=3y-2=3x-1，即y=3x-

13.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求a_4（4分）【答案】a_4=S_4-S_3=4^2+4-3^2+3=20-12=

84.求函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值和最小值（4分）【答案】当x=1时|1-1|=0，最小值0当x=2时|2-1|=1，最大值

15.若复数z=1+i，求z^2的实部和虚部（4分）【答案】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i实部0，虚部2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明若函数fx在区间I上连续，且在区间I上单调递增，则fx在区间I上存在最大值和最小值（10分）【答案】证明设I为闭区间[a,b]最小值由于fx单调递增，fa≤fx≤fb，故fa为最小值最大值同理fa≤fx≤fb，故fb为最大值若I为开区间，可取极限证明存在

2.设事件A、B相互独立，PA=

0.6，PB=

0.7，求

（1）PA∪B

（2）PA∩B^c

（3）PA^c∪B）（10分）【答案】

（1）PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.6+

0.7-

0.42=

0.88

（2）PA∩B^c=PA-PAPB=

0.6-

0.42=

0.18

（3）PA^c∪B=1-PAPB^c=1-

0.6×

0.3=

0.98

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知函数fx=x^3-ax^2+bx-a，若fx在x=1处取得极值，且f1=0

（1）求a和b的值

（2）判断fx在x=1处取得极大值还是极小值

（3）求fx的单调区间（25分）【答案】

（1）f1=1-a+b-a=0，即1-2a+b=0

①fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0

②联立

①②得a=1，b=-1

（2）fx=3x^2-2x-1=3x+1x-1，x=1时fx=0fx=6x-2，f1=6×1-2=40，故x=1处取得极小值

（3）令fx0得x∈-∞,-1/3∪1,+∞，fx单调递增令fx0得x∈-1/3,1，fx单调递减单调增区间-∞,-1/3∪1,+∞单调减区间-1/3,1---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.A

4.B

5.C

6.A

7.C

8.A

9.A

10.A

11.A

12.B

13.D

14.C

15.C

16.B

17.B

18.B

19.A

20.D

二、多选题

1.B、C

2.A、C、D

3.A、B、D

4.C

5.A、B

三、填空题

1.-

12.-2/

33.1,-2；

24.-1,

15.

26.-√5,√

57.√5/2；√5√3/

28.

0.42

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值2，最小值-

182.y=3x-

13.a_4=

84.最小值0，最大值

15.实部0，虚部2

六、分析题

1.证明略

2.

（1）

0.88

（2）

0.18

（3）

0.98

七、综合应用题

（1）a=1，b=-1

（2）极小值

（3）增区间-∞,-1/3∪1,+∞，减区间-1/3,1。