国外著名大学高等数学应考试题及答案

国外著名大学高等数学应考试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等

2.下列极限正确的是（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0e^x=0D.limx→∞1/x=∞【答案】A【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

13.下列级数收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/n^

0.5【答案】B【解析】根据p-级数判别法，p1时级数收敛，1/n^2收敛

4.下列积分等于π的是（）A.∫0toπsinxdxB.∫0toπcosxdxC.∫0toπe^xdxD.∫0toπ1dx【答案】A【解析】∫0toπsinxdx=-cosx|0toπ=-cosπ--cos0=

25.下列方程是线性微分方程的是（）A.y+y^2=0B.y+siny=0C.y+y+y=0D.y+√y=0【答案】C【解析】C选项是线性微分方程，其余选项因含有非线性项不满足线性条件

6.下列向量组线性无关的是（）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,1,3,2,2,1,3D.1,2,3,2,3,1,3,1,2【答案】B【解析】B选项为单位向量组，线性无关

7.下列矩阵可逆的是（）A.[12;24]B.[12;34]C.[01;10]D.[10;00]【答案】B【解析】B选项行列式不为0，矩阵可逆

8.下列函数的极值点是（）A.fx=x^3-3x^2+2B.fx=x^2+4x+4C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，x=0和x=2是驻点，通过二阶导数检验，x=2是极大值点

9.下列方程的通解是（）A.y=yB.y=yC.y+y=0D.y-y=0【答案】C【解析】y+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx

10.下列不等式成立的是（）A.0e^x1forx0B.0sinx1forx∈0,π/2C.0lnx1forx∈1,eD.0tanx1forx∈0,π/4【答案】B【解析】在0,π/2内，sinx取值范围为0,1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些函数在区间[-1,1]上连续？（）A.fx=1/xB.fx=sinxC.fx=|x|D.fx=e^x【答案】B、C、D【解析】fx=1/x在x=0处不连续，其余函数在[-1,1]上连续

2.下列哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞-1^n/n^2B.∑n=1to∞1/n^3C.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/2^n【答案】A、B、D【解析】C选项发散，其余选项收敛

3.下列哪些方程是可分离变量的微分方程？（）A.y=y^2B.y+y=xC.y=sinxcosyD.y=y/1+x【答案】A、C、D【解析】B选项不可分离变量

4.下列哪些向量组线性相关？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6,3,6,9C.1,1,1,1,2,3,2,3,4D.1,2,3,4,5,6,7,8,9【答案】B、D【解析】B选项第二第三个向量是第一个向量的倍数，D选项向量线性相关

5.下列哪些矩阵是可逆的？（）A.[10;01]B.[12;24]C.[21;12]D.[30;03]【答案】A、C、D【解析】B选项行列式为0，不可逆

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若fx=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，则a=______，b=______【答案】a=-2，b=3【解析】fx=2x+a，x=1时f1=0⇒a=-2；fx=20，x=1处为极小值点；f1=1+a+b=0⇒b=

32.若y=sin2x，则y=______，y=______【答案】2cos2x，-4sin2x【解析】y=2cos2x，y=-4sin2x

3.若向量u=1,2,3，v=4,5,6，则u·v=______，||u||=______【答案】32，√14【解析】u·v=1×4+2×5+3×6=32，||u||=√1^2+2^2+3^2=√

144.若矩阵A=[12;34]，则detA=______【答案】-2【解析】detA=1×4-2×3=-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上可积（）【答案】（√）【解析】根据黎曼定理，连续函数一定可积

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛是条件收敛的充分条件，但反之不成立

3.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（√）【解析】根据费马定理，可导函数在极值点处导数为

04.若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关（）【答案】（√）【解析】线性无关组的部分组自然也线性无关

5.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置矩阵也可逆

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解释什么是函数的极限【答案】函数的极限描述了当自变量x无限接近某个值c时，函数fx无限接近某个确定的值L数学定义对于任意ε0，存在δ0，当0|x-c|δ时，有|fx-L|ε，则称limx→cfx=L

2.解释什么是线性微分方程【答案】线性微分方程是指方程中未知函数及其各阶导数都是一次幂，且不存在它们的乘积项例如y+pxy+qxy=gx，其中px、qx、gx是已知函数

3.解释什么是矩阵的行列式【答案】矩阵的行列式是一个标量值，定义为方阵中所有元素按照特定规则（对角线乘积相加减）计算得到的值对于2阶矩阵[AB;CD]，行列式为AD-BC；对于3阶矩阵，可按某一行（列）展开计算

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，驻点x=0和x=2fx=6x-6，x=0时f0=-60，极大值；x=2时f2=60，极小值单调性x∈-∞,0单调增，0,2单调减，2,+∞单调增

2.分析向量组1,2,3,1,3,2,2,1,3的线性相关性【答案】设λ11,2,3+λ21,3,2+λ32,1,3=0,0,0，得方程组λ1+λ2+2λ3=0，2λ1+3λ2+λ3=0，3λ1+2λ2+3λ3=0行列式det=13×3-1×2-21×3-2×1+31×1-2×3=5-2-15=-12≠0，向量组线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.解微分方程y-2y+y=0并求满足初始条件y0=1，y0=1的特解【答案】特征方程r^2-2r+1=0⇒r-1^2=0⇒r=1（重根）通解y=C1+C2xe^x初始条件y0=C1=1；yx=C2e^x+C1+C2xe^x，y0=C2+C1=1⇒C2=0特解y=e^x

2.计算二重积分∫∫Dx^2+y^2dA，其中D是由x^2+y^2≤1围成的区域【答案】用极坐标x=rcosθ，y=rsinθ，dA=rdrdθ积分区域0≤r≤1，0≤θ≤2π∫0to2π∫0to1r^2rdrdθ=∫0to2π∫0to1r^3drdθ=∫0to2π[r^4/4]|0to1dθ=∫0to2π1/4dθ=π/2。