圆锥曲线大题常见题型及答案解析

圆锥曲线大题常见题型及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{\sqrt{3}}{2}\，则\\frac{b}{a}\等于（）（2分）A.\\frac{1}{2}\B.\\frac{\sqrt{3}}{2}\C.\\frac{\sqrt{2}}{2}\D.\\frac{1}{\sqrt{2}}\【答案】B【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\，解得\\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\

2.抛物线\y^2=2px\的焦点到准线的距离为（）（2分）A.\p\B.\2p\C.\\frac{p}{2}\D.\\frac{1}{2p}\【答案】A【解析】抛物线\y^2=2px\的焦点到准线的距离为\p\

3.双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为（）（2分）A.\y=\pm\frac{a}{b}x\B.\y=\pm\frac{b}{a}x\C.\y=\pm\frac{a^2}{b^2}x\D.\y=\pm\frac{b^2}{a^2}x\【答案】B【解析】双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为\y=\pm\frac{b}{a}x\

4.若点\x,y\在椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\上，则\x+2y\的最大值为（）（2分）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】设\z=x+2y\，则\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\leq1\，代入拉格朗日乘数法求解得最大值为

65.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线的斜率为（）（2分）A.1B.\\sqrt{3}\C.\\frac{1}{2}\D.\\frac{\sqrt{3}}{3}\【答案】B【解析】双曲线的离心率\e=\frac{c}{a}=2\，渐近线斜率\k=\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}=\sqrt{3}\

6.抛物线\y^2=4x\的准线方程为（）（2分）A.\x=-1\B.\x=1\C.\y=-1\D.\y=1\【答案】A【解析】抛物线\y^2=4x\的准线方程为\x=-1\

7.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为（）（2分）A.\\pm5,0\B.\0,\pm5\C.\\pm\sqrt{7},0\D.\0,\pm\sqrt{7}\【答案】C【解析】椭圆的焦点坐标为\\pm\sqrt{a^2-b^2},0\，即\\pm\sqrt{16-9},0\，即\\pm\sqrt{7},0\

8.双曲线\\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\的焦点到渐近线的距离为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为\\frac{c}{\sqrt{k^2+1}}\，其中\c=\sqrt{25+16}=9\，\k=\frac{4}{5}\，即\\frac{9}{\sqrt{\frac{4}{5}^2+1}}=3\

9.若点\x,y\在抛物线\y^2=8x\上，则\x+1\的最小值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】设\z=x+1\，则\y^2=8z\，最小值为

010.椭圆\\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\的短轴长为（）（2分）A.4B.5C.8D.10【答案】A【解析】椭圆的短轴长为\2b=2\sqrt{16}=8\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些曲线是圆锥曲线？（）A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.横轴为y轴的抛物线E.横轴为x轴的双曲线【答案】A、B、C、E【解析】椭圆、抛物线、双曲线都是圆锥曲线，选项D不是圆锥曲线

2.以下哪些条件可以确定一个椭圆的标准方程？（）A.焦点坐标B.短轴长C.长轴长D.离心率E.焦距【答案】A、C、D【解析】焦点坐标、长轴长、离心率可以确定一个椭圆的标准方程

3.以下哪些条件可以确定一个双曲线的标准方程？（）A.焦点坐标B.实轴长C.虚轴长D.离心率E.渐近线方程【答案】A、B、D、E【解析】焦点坐标、实轴长、离心率、渐近线方程可以确定一个双曲线的标准方程

4.以下哪些是抛物线的性质？（）A.对称轴过焦点B.焦点在准线上C.准线与对称轴垂直D.离心率等于1E.对称轴与准线平行【答案】A、C、D【解析】抛物线的性质包括对称轴过焦点、准线与对称轴垂直、离心率等于

15.以下哪些是椭圆的性质？（）A.对称中心在原点B.离心率小于1C.焦点在长轴上D.准线与对称轴平行E.对称轴与准线垂直【答案】A、B、C【解析】椭圆的性质包括对称中心在原点、离心率小于

1、焦点在长轴上

三、填空题（每题4分，共20分）

1.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点到准线的距离为______（4分）【答案】\\frac{b^2}{a}\【解析】椭圆的焦点到准线的距离为\\frac{b^2}{a}\

2.抛物线\y^2=2px\的焦点坐标为______（4分）【答案】\\frac{p}{2},0\【解析】抛物线\y^2=2px\的焦点坐标为\\frac{p}{2},0\

3.双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为______（4分）【答案】\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\【解析】双曲线的离心率为\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\

4.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点坐标为______（4分）【答案】\\pm\sqrt{5},0\【解析】椭圆的焦点坐标为\\pm\sqrt{9-4},0\，即\\pm\sqrt{5},0\

5.抛物线\y^2=8x\的准线方程为______（4分）【答案】\x=-2\【解析】抛物线\y^2=8x\的准线方程为\x=-2\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点到中心的距离为\\sqrt{a^2-b^2}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点到中心的距离为\\sqrt{a^2-b^2}\

2.抛物线\y^2=2px\的焦点到准线的距离为\p\（）（2分）【答案】（√）【解析】抛物线\y^2=2px\的焦点到准线的距离为\p\

3.双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为\y=\pm\frac{b}{a}x\（）（2分）【答案】（√）【解析】双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为\y=\pm\frac{b}{a}x\

4.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的短轴长为8（）（2分）【答案】（×）【解析】椭圆的短轴长为\2b=2\sqrt{4}=4\

5.抛物线\y^2=8x\的焦点坐标为\2,0\（）（2分）【答案】（√）【解析】抛物线\y^2=8x\的焦点坐标为\2,0\

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述椭圆的定义及其标准方程（5分）【答案】椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\

2.简述抛物线的定义及其标准方程（5分）【答案】抛物线是平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹标准方程为\y^2=2px\

3.简述双曲线的定义及其标准方程（5分）【答案】双曲线是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹标准方程为\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{\sqrt{3}}{2}\，求椭圆的焦点坐标和准线方程（10分）【答案】离心率\e=\frac{\sqrt{3}}{2}\，则\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\，解得\\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\设\a=2k\，\b=k\，则\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4k^2-k^2}=\sqrt{3}k\焦点坐标为\\pm\sqrt{3}k,0\，准线方程为\x=\pm\frac{a^2}{c}=\pm\frac{4k^2}{\sqrt{3}k}=\pm\frac{4k}{\sqrt{3}}\

2.已知双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为2，求双曲线的焦点坐标和渐近线方程（10分）【答案】离心率\e=2\，则\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=2\，解得\\frac{b}{a}=1\设\a=k\，\b=k\，则\c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}k\焦点坐标为\\pm\sqrt{2}k,0\，渐近线方程为\y=\pm\frac{b}{a}x\，即\y=\pmx\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{\sqrt{3}}{2}\，且经过点\2,1\，求椭圆的标准方程（25分）【答案】离心率\e=\frac{\sqrt{3}}{2}\，则\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\，解得\\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\设\a=2k\，\b=k\，则\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}k\椭圆经过点\2,1\，代入方程得\\frac{4}{4k^2}+\frac{1}{k^2}=1\，解得\k^2=1\，即\k=1\所以椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{4}+y^2=1\

2.已知双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为2，且渐近线方程为\y=\pm\frac{3}{4}x\，求双曲线的标准方程（25分）【答案】离心率\e=2\，则\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=2\，解得\\frac{b}{a}=1\设\a=k\，\b=3k\，则\c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}k\渐近线方程为\y=\pm\frac{b}{a}x\，即\y=\pm\frac{3}{4}x\，解得\k=4\所以双曲线的标准方程为\\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.B

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、C、D

3.A、B、D、E

4.A、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.\\frac{b^2}{a}\

2.\\frac{p}{2},0\

3.\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\

4.\\pm\sqrt{5},0\

5.\x=-2\

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\

2.抛物线是平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹标准方程为\y^2=2px\

3.双曲线是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹标准方程为\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\

六、分析题

1.焦点坐标为\\pm\sqrt{3}k,0\，准线方程为\x=\pm\frac{4k}{\sqrt{3}}\

2.焦点坐标为\\pm\sqrt{2}k,0\，渐近线方程为\y=\pmx\

七、综合应用题

1.椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{4}+y^2=1\

2.双曲线的标准方程为\\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\。