6.3.1 二项式定理 教学设计

二项式定理

6.

3.1教材分析本节课选自《人教版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主2019A本节课主要学习二项式定理二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等本课数学内容的本质多项式乘法的深化与再认识教学目标与核心素养课程目标二项式定理.数学抽象:1利用计数原理分析二项式的展开过程,A.运用组合推导二项式定理.逻辑推理:2归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理运用二项式定理解决问题.数学运算:3加以证明;在具体情境中运用二项式定理.数学建模:4学科素养会应用二项式定理求解二项展开式;B.通过经历二项式定理的探究过程，体验C.“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.重点难点重点应用二项式定理求解二项展开式难点利用计数原理分析二项式的展开式课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标

一、问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的尸展开式的问题a+b问题我们知道122学生带着问题去观a+b2=a+2ab+b,察展开式，引发思考积3223a+b3=a+3a b+3ab+b极参与互动，说出自己观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？1见解发展学生逻辑推根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？2a+b4理、数学运算、数学抽进一步地，你能写出严的展开式吗？3a+b象和数学建模的核心素养我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，a+bp=a+ba+b=aa+b+ba+b=axa+axb+bxa+bxb22=a+2ab+b可以看到，+切是个+力相乘，只要从一个中选一项选22a+b a或再从另一个中选一项选或就得到展开式的一项，于是，b,a+b a b,由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有废；a+b2xC项，而且每一项都是护的形式.22a2f fc=0,1,2我们来分析一下形如次的同类项的个数.当时，了二小，这是由个匕中都不选/得到的，因此，/c=0Q2f2Q+2出现的次数相当于从个中取个即都取的组合数即小只有个；2a+b bQ C],1当时，2k k这是由个中选另一个中选得到k=1a~b=ab,1a+b a,a+b b的，由于选定后，的选法也随之确定，因此，断出现的次数相当于从b a2个中取个的组合数废，即只有个；当时，2k k2a+b1b ab2k=2a~b=b,这是由个中选得到的，因此，22a+b bb出现的次数相当于从个中取个的组合数戏，即力只有2Q+b2b21个；这个过程让学生亲由上述分析可以得到身经历了从“繁杂计22a+bY=C^a+C^ab+C^b算之苦”到领悟“分问题仿照上述过程，你能利用计数原理，写出的展开式2a+b3,a+b4步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一吗？个内化的过程，巩固已类似幼，用同样的方法可知有思想方法，建立猜想3223二项式定理的认知基Q+b3=C^a+C1a b+C1ab+C^b础发展学生逻辑推432234a+b，=C^a+Cla b+C1ab+Cfab+C^b理，直观想象、数学抽二项式定理

1.象和数学运算的核心素养a+bf=n eN*.这个公式所表示的规律叫做二项式定理.1⑵展开式等号右边的多项式叫做〃+》〃的二项展开式，展开式中一共有项.二项式系数各项的系数…，〃}叫做二项式系数.3Z e{0,1,2,〃切C/+d h+C+…+k n-k k^_…+cC ah；H+1d二项展开式的通项公式

2.〃+〃展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作，Tk+=；n kkk+\C^a~b二项式定理形式上的特点⑴二项展开式有项,而不是项.n⑵二项式系数都是片⑷，它与二项展开式中某一项的系数不一%=0,12…定相等.⑶二项展开式中的二项式系数的和等于〃即叱+盘+鬣+...+制〃2,=

2.在排列方式上，按照字母的降幕排列，从第一项起，次数由次逐项减4a n少次直到次，同时字母按升幕排歹次数由次逐项增加次直到10b U,01次.n判断正确的打“，错误的打

1.“X”〃+份〃展开式中共有〃项.1在公式中，交换的顺序对各项没有影响.2Q,〃〃是+〃展开式中的第攵项.3C£“Y3〃一〃与+〃的二项式展开式的二项式系数相同.4［解析］义因为〃+〃〃展开式中共有〃+项.11⑵因为二项式的第项相一〃和+〃〃的展开式的第项〃X Z+1Z+1C%一名是不同的，其中的人是不能随便交换的.A2⑶因为以〃是〃+勿〃展开式中的第项.X CZ+1因为加〃与〃+勿〃的二项式展开式的二项式系数都是；；473—C.［答案］lx2x3x44

二、典例解析例.求％+/的展开式.1解根据二项式定理6/1\-16%+-I=%+X拉24=C，%6+5%-1_|_C^X4X~2+C^X3X~3+C^X X~+通过典例解析，让注-学生体会利用二项式C1%T++C6定理模型进行计算，642246感受数学模型在数学=%+6x+15x+20+15x-+6x~+x~应用中的价值发展〃〃的二项展开式有〃项，是和的形式，各项的事指数规律是各i.m++1:1学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数项的次数和等于〃.⑵字母按降幕排列，从第一项起，次数由〃逐项减a1学运算的核心素养直到字母按升幕排列，从第一项起，次数由逐项加直到机.逆用0;b012二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练⑴求的展开式;13«+.4化简:%-215+5*14+10013+10/12+5x

4.解方:1法一专二砥石尸+口.专+沁石忌433a3C

2.2℃++中醯仁尸=炉+3443+81108/54++%V%方法二白尸=苧3y+二点81^+108R+54/+12x+1原式户工+=81/+10854+355Ctx-l+C1x-l°-l=[x-l+l]-l=x-l.例求的展开式的第项的系数；

2.11+2x74求,立一壹了的展开式中/的系数.2解的展开式的第项是1+2x7473T=G xI-x2x33+13333=C7x2x x=35x8x x=280x因此，展开式第项的系数是

4280.的展开式的通项是22«-26鹰尸6k6k3k2x4x+k=c^2x^5=C^2-x-根据题意，得3—k=2,k=l,因此，的系数是x25-1x2xCi=-

192.二项式系数与项的系数的求解策略⑴二项式系数都是组合数第/£{

012.・・.},它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.⑵第项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为k+1C柒例如，在的展开式中，第项是〃=打其二项式系数1+2x74c7-32x3,是二而第项的系数是035,4©23=

280.跟踪训练求二项式代-的展开式中第项的二项式系数和第项

2.12!666的系数；2求卜・力9的展开式中X3的系数.2--0511a\17+5解由已知得二项展开式的通项为:1]=以日产.一崎卢%岑,Tk+

2.1y=26_139/.76=-12%-

2.・••第6项的二项式系数为谶=6,第项的系数为咯-・6152=

12.设展开式中的第攵+项为含炉的项，则21k气号令攵得攵即展开式中第项含总其Tk+i=C^--i=-199-2=3,=3,4系数为一玛=-

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84.

三、达标检测2n通过练习巩固本〃的展开式的项数是L+b节所学知识，通过学〃〃〃A.2B.2+l C.2/1-1D.2+l生解决问题，发展学2〃解析:易知二项式的展开式中有〃项，故展开式的项数为m+2+i生的数学运算、逻辑2/1+

1.推理、直观想象、数答案:学建模的核心素养B勿的展开式的第项是

2.2[+533332323A.2C^B.2C^Z C.23cg D.2C^/7解析:乃=髭〃釐〃%+12%2=

232.答案:B.二项式«+》的展开式中有理项共有项.36解析:根据二项式定理的通项/d\k6-3/c人+产蓝-Vx--=盛・当取有理项时，手为整数,此时左二.故共有项.0,2,4,64答案

4.如果叱+工〃的展开式中，含%2的项为第三项，则自然数4X・n-解析:八泞段，由题意知当时，誓二解得+I=C\k=2t2,X3几二答案

8.:8*m n

2.已知〃〃的展开式中的系数为求的52,£N x=l+x+l+x x19,x7系数的最小值及此时展开式中的系数.X解:由题设知〃又m+=19,m.nN,Z lm

18.2的系数为鬣+鬃=

（2）

（2）x-m-m+-n-A2-YYT-19m+

171.l22•:当或时的系数的最小值为m=91081,此时7的系数为，x Cj+C=

156..已知在（版-竟n的展开式中，第项为常数项.606⑴求%2⑵求含的项的系数；x⑶求展开式中所有的有理项.分析:先利用二项展开式的通项，求出当的次数为时〃的值,再求解第X0⑵问、第⑶问.解（）由通项知，展开式中第项为:1Z+

1、、1/11k/q kn-2k-诟）=C（），2（，x i）=（-』）,n-^^-2:•第项为常数项,攵且6♦=5,n-5x2=0,Zn=

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（2）由

（1）知乙+i=（《）・《0・％丁.令巧竺二2,则k=

2.2的系数为（**x Dx CJO=]x45=f.⑶当项为有理项时,“为整数,公且Tk+T0W10,N.令等，则上乙=z5-|z,O1\2459•:有理项为・T3=C3O2）厂丁，为偶数，从而求得当时,相应地心符合条件.,:Z z=2Q-22,5,8嗨㈢*,居=%㈢/=余76=

2.

四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力板书设计

五、课时练二项式定理二项展开式的通项公式二项式系数与项的系数教学反思这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，这样，课上的探究过程就不会卡顿了。