课时21864_7.4.2超几何分布教学设计-7.4.2超几何分布

超几何分布

7.

4.2教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习超几何分布超几何分布是一类应用广泛的概率模型，常常与二项分布问题综合运用，本节是学生已经学习了随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容它是对前面所学知识的综合应用节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程敢学目标与被心量养课程目标A.理解超几何分布,能够判定随机变量是L数学抽象:超几何分布的概念否服从超几何分布;

2.逻辑推理:超几何分布与二项分布的联系与区别B.能够利用随机变量服从超几何分布的知

3.数学运算:超几何分布的有关计算学科素养

4.数学建模:模型化思想随机变量的均值.识解决实际问题，会求服从超几何分布的重点难息重点超几何分布的概念及应用难点超几何分布与二项分布的区别与联系课前发备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标

一、探究新知问题1已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.I采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为

0.08,且各次抽样的结果相互独通过具体的问题立，此时X服从二项分布，即X〜B4,

0.

08.情境，引发学生思考2如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？积极参与互动，说出若不服从，那么X的分布列是什么？自己见解从而引入不服从，根据古典概型求X的分布列.超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、解从100件产品中任取4件有芥种不同的取法，从100件产数学运算、数学抽象品中任取4件，次品数X可能取,1,2,3,

4.恰有k件次品的取法有和数学建模的核心素C^c护种.养由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为X01234P「4「0004C©C2「5C QooGoo超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中，随机抽取〃件（不放回）用X表示抽取的〃件产品中的次品数,则X的分布列为-k、CM^N-M，P（X=A）—r k=m,i+l,〃z+2,r.CN其中〃，N,MN,nN,m=max{0,〃一N+M},r=min{〃，M},则称随机变量X服从超几何分布.kk「（）

1.公式P X=k=M:M中个字母的含义CNN—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数（如次品总数）n—样本容量k—样本中的特殊个体数（如次品数）

2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械记忆这个概率分布列.3•”任取n件，恰有k件次品”是一次性抽取，用组合数列式.

4.各对应的概率和必须为

1.

二、典例解析例L一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解设X表示抽取的10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，且N=30,M=3,n=

10.因此,分布列为k0「PX=k=^-k=QXZ

3.C30PX1=PX=1+PX=2+PX=3=+=—+—+—=—GC；C；203203203203C；C；L157146PXl=l-PX=0=l-C203203另解，例

2.PM

2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于

2.5微米的可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095-2012,PM

2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米〜75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM

2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表⑴从这10天的PM

2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；⑵从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM

2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.解⑴记“从这天的尸日均监测数据中，随机抽出天，恰10M

2.53有一天空气质量达到一级”为事件A.clc2PA=N jo2由条件知，X服从超几何分布，随机变量X可能取值为0,1,2,3,供=PX=k=0,

123.通过问题分析,让学1当研究的事物涉及二维离散型随机变量如次品、两类颜色等生掌握超几何分布的概念及其特问题时的概率分布可视为一个超儿何分布;点发展学生逻辑推理，直观想象、数2在超几何分布中，只要知道参数M〃就可以根据公式求出学抽象和数学运算的核心素养X取不同值时的概率.探究服从超几何分布的随机变量的均值是什么设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数,令p=g则Np是N件产品的次品率，而;是抽取的n件产品的次品率,E；=p,即EX=np.超儿何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取〃件产品中的次品数.令〃=EX=例

3.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球,从中随机摸出20个球作为样本用X表示样本中黄球的个数.

1.分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;2,分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过

0.1的概率.P=PX=k=C^0Ak x

0.62—次=0,i,2,,

20.]krk「20-A容P k=p X=k=，4=0,1,2,,

20.doo14解:⑴对于有放回摸球，由题意知X〜520,

0.4,X的分布列为对于不放回摸球，由题意知X服从超几何分布，X的分布列为2|_现工a、*户XAO O.OOO04O.OOOO111O.07099O.063761O.00049O.0001512O.03550O.026672O.00309O.OO13513O.01456O.008G73O.01235O.0071414O.00485O.002174O.03499O.

02551150.00129O.OOO415O.07465O.0653016O.OOO27O.OOO06O-12441O.124226I17O.XX04O.OOOO1O.16588O.17972718O.OOOoo O.OOOoo8O.17971O.20078O.OOOoo O.OOOoo一9O.15974O.1748320O.OOOoo O.OOOoo通过典例解析,O.11714O.119241在具体的问题情境Y中，深化对超几何分样本中黄球的比例上0=为是一个随机变量布的理解发展学生逻辑推理，直观有放回摸球PIAo-

0.4|0,1=P6X10乜.7469；想象、数学抽象和数学运算的核心素不放回摸球P|/2O-O-4|O.1=P6X10乜.

7988.养因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些两种摸球方式下，随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的▲均值相等都等于

8.但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近.当n远远小于N时，每次抽取一次，对N的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分布近似.二项分布与超几何分布区别和联系

1.区别一般地，超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样，则是有放回抽样.

2.联系当次品的数量充分大，且抽取的数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布.

二、达标检测练习1学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人通过练习巩固本来自甲班,假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被节所学知识，通过学选到的概率.生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑练习250张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票推理、直观想象、数里至少有一张中奖的概率大于

0.5,n至少为多少？学建模的核心素练习3在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.1顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；2顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，

①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列.练习4袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的两球中白球的个数，求X的分布列，并求至少有一个白球的概率.练习5一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球,3个黄球，2个蓝球，从中任取3个球.⑴求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率.⑵设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望.

二、小结

1.超几何分布通过总结，让学生进一k n-k「「步巩固本节所学内容，PX=k=,k-m,m+l,m+2,…，r.提高概括能力

2.超几何分布的均值「八八nMEX-np_N

五、课时练。