1.2 子集、全集、补集（解析版）

1.2子集、全集、补集

（1）子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则那么集合A称为集合B定义的子集符号表示A三3（或B^_A）读法集合A包含于集合8（或集合B包含集合A）图示

（2）子集的性质

①ACA,即任何一个集合是它本身的子集.

②CA,即空集是任何集合的子集.

③若ACb BJC,则ACC,即子集具备传递性.团全集U=R,A={x|xO},B={x|x〉l},故A错误;0^4={x|x.O},B=[x\x\^故u9故选B.例2（多选）下列选项中的两个集合相等的是（）A.P二卜苗—3x+2=o1,Q={小2_3y+2=o}B.P=\x x-xC.{x x=2〃-l,〃cN*},Q={x X=2〃+1,〃£ND.2={4=x+“，Q={（x,〉）|y=x+i}【答案】AC【解析】【分析】对于A、C直接解出集合P、Q,即可判断；对于B取特殊值1,由IwP,而1任，即可判断；对于D由集合P、的类别不一样，即可判断.【详解】对于A,尸=[-3x+2=0]={l,2},Q=[y|y2_3y+2=o}={l,2},所以P和都只含有两个元素1,2,所以；故A正确；P=对于C,P=^x\x-x=O^={OA}〃wZ={01},所以；P=故C正确;对于B,1£，而1WQ,所以P；故B错误;对于D,集合尸是数集，而集合是点集，所以故选AC.例3已知集合A工{幻”,1},B={2,6},若6=A,则实数的取值范围是一【答案】【解析】【分析】由8C A可知集合B中的元素都在集合A中，即把集合B中的元素带入集合A应该满足ax\,从而得到的取值范围.【详解】解Bq A,.,.2£4且A，[2a\1|^1，解得“91故〃的取值范围是-00,^.故答案为,题型2集合之间的包含关系解题技巧

1.对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围值时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

2.两个易错点1当5包A时，应分6=0和5W0两种情况讨论；2列不等关系式时，应注意等号是否成立.例1已知集合M={x|l,4,x},N={1,Y},若NqM,则实数1组成的集合为A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}【答案】C【解析】【分析】若NjM,所以元=/或l2=4,解出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.【详解】因为NqM,所以尤=/,解得了=0,x=]或工2=4,解得x=±2,当％=0时,M={1,4,0},N={l,0},NjM,满足题意.当x=l时，M={1,4,1},不满足集合的互异性.当％=2时,M={1,4,2},N={1,4},若NqM,满足题意.当x=-2时，/={1,4,—2},N={1,4},若N=M,满足题意.故选C.例2多选题已知集合｛,以2-2工+1=｝=抄｝,则a+b的值可能为A.0B.y C.1D.2【答案】BD【解析】利用集合相等，分=0和W0两种情况求出a,b即可得出答案.【详解】由｛xax2-21+1=0｝=2｝得当=0时，b=[,2此时a+b=一；2当a w0时，△=―2——4Q=0=a=1,当a=l时，2x+l=0nx—l2=0nx=i,所以b=l,此时a+4=2；故选BD.【点睛】本题主要考查了利用集合相等求参数的值，考查了分类讨论的思想，属于较易题.例3集合A=[l,6],B=｛x\y=4I^｝,若ACS,则实数的范围是【答案】华内【解析】【分析】先求出集合再由ANB,可求出实数的范围【详解】由得X-Q2,XNQ,所以8=必,+00,因为A=[l,6],且AGB,所以,所以实数〃的范围是F1]，三.难点题型题型1补集与子集的综合应用解题技巧集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键例1设全集U={235},A={2,|a—5|},C°A={5},则的值为（）A.2B.8C.2或8D.一2或8【答案】C【解析】【分析】根据补集的性质A团（CUA）二U,再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论.【详解】全集={235},QA={5},则4={2,3},故选C【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念例2已知集合人=|工24或％-5},8=卜|〃+1«]4+3},若3三人则实数〃的取值范围【答案】{他—8或23}【解析】【分析】根据3=利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，B A A-------------------6-------------------------++13-504AAB——d----------------------------------L+-5o4q+i3要使3=只需+3—5或〃+124,解得一8或N

3.Q所以实数〃的取值范围8或23}.故答案为㈤一或QN3}例3已知全集U=R,集合A={x|-2WxW5},B={x|a+lWx«2a—l}且AU CUB,求实数a的取值范围.［思路点拨］首先应对B是否为空集进行讨论，得出［UB,然后再利用Ac CUB得关于a的不等式求解即可.［解］若B=0,则a+l2a—1,所以a

2.此时［UB=R,所以AG CUB；若B工0,则a+l2a—1,即a2,此时［UB={x［xa+l,或x2a—1},由于AG CUB,如图，\/X-------—▲6--6►-250+12a-1%则a+l5,所以a4,活学活用培优训练U!所以实数a的取值范围为a2或a

4.

一、单选题

1.已知集合4={幻/-3%+2=0},3={x［—1XV5,X£N},则满足A=CU5的集合的个数为（）A.4B.7C.8D.15【答案】B【解析】【分析】由题知4={1,2},B={04,2,3,4},进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】由题知A={x|f—3X+2=0}={1,2},3={x[—1XV5,X£N}={0,1,2,3,4},所以满足Al CU8的集合有{1,2},{1,2,3},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,3},{0J2,4},{1,2,3,4},故集合C的个数为7个.故选B

2.对集合人={1,2,3,…，川的每一个非空子集，定义一个唯一确定的〃交替和〃，概念如下按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果.如集合{1,2,4,7,10}的〃交替和〃为10—7+4-2+1=6,集合亿10}的〃交替和〃为10-7=3,集合{10}的“交替和〃为10,则集合A所有非空子集的〃交替和〃的总和为（）A.〃・2i B.n-TC.〃5+1）・22D.〃5+1）.2〃T【答案】A【解析】【分析】因为集合A的非空子集有（2〃-1）个，逐个计算〃交替和〃再求总和是不可能的，必须通过分析〃交替和〃的特点,寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和的规律，令〃=4,则八={1,2,3,4}的非空子集共有15个，写出它们的全部〃交替和〃如下；；{1,2,3,4}4—3+2—1=2{1,2,4}4—2+1=3{3,4}4—3=；1；{1,2}2-1=1{3}；{1,2,3}3—2+1=2；；{1,3,44—3+1=2{2,3,4}4-3+2=3{4}

4.；；{1,3}3—1=2{2,3}3-2=1；；{1,4}4—1=3{294}4-2=2；{1}1;{2}2从以上写出的〃交替和〃我们发现，除了集合{4}以外，可以把集合A的子集分成两类一类子集中包含4,另一类不包含4,并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射设4是集合A的一个不包含4的子集,则令4与集合A I｛4｝相对应，显然a与A｛4｝的〃交替和〃之和为

4.因为这样的4共有;（24-2）=7个，所以集合A的所有非空子集的〃交替和〃的总和为7x4+4=

32.【详解】解集合4=｛1,2,3,…，〃｝的非空子集中，除去集合｛〃｝,还有2〃-2个非空子集，将这2〃-2个子集分成两类第一类是包含元素〃的子集；第二类是不包含元素〃的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系A｛〃｝,其中4是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设4的〃交替和〃为3则4,｝的〃交替和〃为，2-左，这一对集合的〃交替和〃的和等于拉，所以集合的所有非空子集的交替和〃的总和为g（2〃—2）X〃+〃=〃.2J.A故选:A.

3.已知集合4=｛不々，玉，工4｝且由〈*2〈工3〈14,定义集合3=｛]|%=|七一X，,

七、马£A/、J=l、

2、

3、4｝，若3=A,给出下列说法

①斗+九4=工2+工3；

②2%2=玉+%；

③2忍=々+%4；其中所有正确序号是（）

①②①③②③①②③A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由集合的新定义结合5=4,可得刍-々=%-刍=%-由，由此即可求解【详解】因为集合4=｛4入2,为，％｝且用＜工2〈工3〈工4，若5=A,则3中也包含四个元素，即8=｛0,占一%,七一不匕一不｝，剩下的％3-入2=%-%3=尤2-%，对于

①由％-无3=无2-玉得尤4+无1=尤2+工3，故

①正确；对于

②由七一%2=%2-玉得2々=石十%3，故

②正确；对于

③由七-9=七-刍得2=々+匕，故

③正确；故选D

4.同时满足

①加7{123,4,5},

②则6—的非空集合“有（A.6个B.7个C.15个D.16个【答案】B【解析】【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.【详解】々=1时，6—a=5；〃=2时、6—a=4；=3时，6—a=3；Q=4时、6—Q=2；a=5,6—4=1,团非空集合M为⑶，{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{123,4,5},共7个.故选B

二、多选题

5.已知集合A={x|以之+2X+Q=O,〃£R},若集合人有且仅有2个子集，则Q的取值有（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知集合A中仅有一个元素，由此分析方程♦+2x+a=0为一元一次方程、一元二次方程的情况,从而求解出的值.【详解】因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素，当=0时，2x=0,所以x=0,所以A={0},满足要求；当4W0时，因为集合A中仅有一个元素，所以△=4=0,所以=±1,此时4={1}或人={-1},满足要求，故选BCD.

6.已知集合4={邓2},B={x\2a-3xa-2],下列说法正确的是（）A.不存在实数〃使得A=3B.当=4时，A^BC.当0Q4时，B^AD.存在实数使得B=A【答案】AD【解析】【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由a=4得5=0,故不满足选项C、D通过假设3cA求出实数的取值范围可判定.【详解】

⑦―3=1,选项A若集合A=则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合4=3,故选项A[7-2=2,正确.选项B当a=4时，B={x|5x2|=0,不满足AL故选项B错误.若3口入，则

①当5=0时，有2a—3NQ—2,ai；a\,

②当时，有2〃-31,此方程组无实数解；-22所以若31人，则有之1,故选项C错误，选项D正确.故选AD.

三、填空题

7.若集合M={x|f+%-2=0},N={xg+l=0},且NqM,则实数的取值集合为—.【答案】卜，t[}【解析】【详解】先求出集合然后分N=0和NW0两种情况求解【点睛】由d+x-2=0,得x-lx+2=0,解得了=1或%=一2,所以M={-2},当N=0时，满足NqM,此时a=0当Nw0时，即awO,则N={-},因为NqM,所以一，£加，a所以—工=1或—2,a a解得Q=-l或〃=1,综上，〃=；，或=-1,或Q=0,所以实数a的取值集合为{，-1，；}，

8.若集合4=同（-1b2+41-2=0}有且仅有两个子集，则实数的值是—.【答案】±1【解析】【分析】分析出集合A有1个元素，对讨论方程解的情况即可.【详解】因为集合A=同（以-1*+4]-2=0}有且仅有两个子集，所以集合A有1个元素.当a=l时，A={x|4x-2=0}=j1j,符合题意；当“1时，要使集合A只有一个元素，只需A=42—4（a—1）x（—2）=，解得〃=综上所述实数a的值是1或故答案为士L

四、解答题

9.已知集合A={XCR|M-2尤+1=0},在下列条件下分别求实数机的取值范围:

（1）A=0;⑵A恰有一个元素.【答案】⑴,一）

（3）集合相等若且贝ljA=B.例1已知集合4={工|—1X3,XEN},则A的子集共有（）A.3个B.4个U8个D.16个【答案】C【解析】【分析】根据题意先求得集合A={0,1,2},再求子集的个数即可.【详解】由4={幻—1工3,不£1^},得集合A={0,l,2}所以集合A的子集有23=8个，故选C例2（多选题）已知集合人={-则下列表示正确的是（）A.0口4B.{1,2}e AC.An7V={0,1,2}D.集合A的子集个数为8【答案】AC【解析】【分析】空集是任何集合的子集，可以判断选项A；£是元素和集合之间的关系，可以判断B；交集取两个集合公共的部分，可以判断C；一个集合有〃个元素，它的子集有2〃个，即可判断D.【详解】空集是任何集合的子集，故A正确.；{1,2}=A={-1,O,1,2},故B错误；N为自然数集包含0,故C正确.；集合A中有四个元素，其子集个数为24=16个，故D错误.故选AC.例3写出下列集合的所有子集）；⑵⑶11{1}/2};{L2,3}.【答案】⑴0,{1};

（2）0,{1},{2},{1,2}；

（3）0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3）.【解析】【分析】22{0,1}【解析】【分析】1若A=0,则关于x的方程如之一2工+1=o没有实数解，则且A=4—4mv，由此能求出实数加的取值范围.2若A恰有一个元素，所以关于x的方程如2一21+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数机的取值范围.⑴若A=0,则关于龙的方程g2_2x+l=0没有实数解，贝ij加w0,且A=4-4m0,所以加1,实数机的取值范围是1,+8；⑵若A恰有一个元素，所以关于%的方程如2一2工+1=0恰有一个实数解，讨论

①当m=0时，入=1,满足题意；2

②当相时，△=4一4根=0,所以m=

1.综上所述，机的取值范围为{0,1}.

10.已知［集合4=卜/+41=0,工£/},B=^x x2+2a+lx+/_i=O,XER},若3三A,求实数的取值范围.【答案】{*-1或=1}【解析】【分析】分析得出3=求得A={-4,0},对方程++计算得出△:8〃+1,分△=、/

0、△0三种情况讨论，在△=、/0的前题下，验证3=A成立，在△时:可得出3=A,可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为A={X%2+4X=0,X£H}={_4,01,对于方程*+2々+11+片—1=，A=4Q+12—4Q2—1=84+

1.当△=时，a=-l,则3={x Y=0}={0}口A,合乎题意；当/0时，々—I,此时B=0qA,合乎题意；当△时，即当Q—1时，则B=A,所以，解得a=l.=0综上所述，实数的取值范围是{|-1或=1}.

11.已知集合A={x|l〈x3},3={九|1%〈力.1若A是求实数Q的取值范围；2若8三4,求实数的取值范围.【答案】1艮小2-0,3【解析】【分析】1根据A呈3,结合集合的包含关系，即可求得的取值范围.2根据3n结合集合的包含关系，即可求得的取值范围.【详解】1由题意，集合A={邓x3},B={X|1X6/,又由A是5,可得所以实数的取值范围是[3,y；2由集合A={x|l〈x3},B={X[1X〈Q},又由3=当B=0H寸，〃1,满足题意；[al当时，\…3所以14”3,综上可知3,即实数的取值范围是—,

3.根据所给集合列出相应子集即可.【详解】解10,{1}.⑵0,{1},{2},{1,2}.⑶0,律，{2},”{L2},{1,3},{2,3},{1,2,3}知识点2真子集的概念与性质

1.元素与集合的表示1真子集的概念如果AU3,并且AW8,那么集合A称为集合8的真子集，记为查里或姓A，读作“A真包含于B”或“6真包含A”.2性质

①是任一非空集合的真子集.

②若BC,则A基C.例1设集合M={XGZ||2-%|2},则集合M的真子集个数为A.16B.15C.8D.7【答案】D【解析】【分析】求出集合〃中的元素，再由子集的定义求解.【详解】由题意M={XEZ|O vxv4}={1,2,3},因此其真子集个数为23—1=

7.故选D.例2多选题已知集合户=同尤2=4},N为自然数集，则下列表示正确的是A.2eP B.P={-2,2}C.{0}o PD.N【答案】AB【解析】算出集合夕，从而可判断各项的正误.【详解】p=｛%,=4｝=｛—2,2｝,故2,故A正确且B正确，不是P中的元素，故｛0｝口2错误，故C错误.因为—2N,故PUN错误，故D错误.故选AB.【点睛】本题集合的计算、元素与集合、集合与集合的关系判断，此类问题，根据定义判断即可，本题属于基础题.例3

（1）写出集合｛0,1,2｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；

（2）填写下表，并回答问题集合集合的子集子集的个数0㈤{〃,可{a.b.c}由此猜想含〃个元素的集合｛%，…，，〃｝的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？【答案】

（1）答案见解析；

（2）表格答案见解析，含n个元素的集合｛%的，…，/｝的所有子集的个数是2，真子集的个数是2〃-L非空真子集的个数是2〃-2【解析】【分析】

（1）利用子集的概念，按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.

（2）由特殊到一般，归纳得出结果.【详解】

（1）不含任何元素的子集为团；含有一个元素的子集为｛0｝,｛1｝,｛2｝；含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2}；含有三个元素的子集为{0,1,2）.故集合{0,1,2}的所有子集为回，{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2）.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.

（2）填表结果如下集合集合的子集子集的个数001{Q}0，H2{回0,{〃},{〃},{a,耳4{a.b.c}0,{〃},{b},{c},{ab},{a,c},依c},{a.b.c}89由此猜想含〃个元素的集合{%生，…，%}的所有子集的个数是2〃，真子集的个数是2〃-1，非空真子集的个数是2〃-2【点睛】本题考查集合的子集的求解，以及子集个数的计算，属简单题.知识点3补集

（1）定义设ACS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为[sA（读作“A在S中的补集”）.

（2）符号表示[sA=3图形表不4补集的性质

①[/=$,

②]sS=g,

③[s[sA=A.例1设全集=2,3,4,5},集合M满足e”={1,3},则（）B.3eAf C.D.【答案】A【解析】【分析】先写出集合”，然后逐项验证即可【详解】由题知M={2,4,5}，对比选项知，A正确,BCD错误故选:A例2（多选题）设=民用是一个集合，下列关系成立的是（）A.M={M}；B.M^{M}C.M E{M}D.疫（M【答案】CD【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系判断A,B,C即可，利用补集的性质判断D【详解】解因为{加}表示集合中有一个元素/，所以所以AB错误，C正确；因为=R,M是一个集合，所以疫=所以D正确，故选CD例3把R看成全集，用区间形式写出下列各集合的补集（）（）；1A=2,+oo⑵（）；3=-00,1闭=[1,笆）・【答案】⑴（—8,2]；⑵口M）;【解析】【分析】利用补集的概念即得.⑴0A=2,-+w,；0^A=-GO,2J⑵回B=-oo/，0^B=[l,+oo;30C=[1,-HX,0^C=-oo,l.知识点4全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的历有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.例1如图，全集U=N,4={1,2,3,4,5},B={xeN\x3},则阴影部分表示的集合为A.{0,1,2}B.{0,4,5}C.{1,2}D.{1,2,3}【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的定义即可求解.【详解】由图示可知，阴影部分可表示为B,GA0/1B={4,5},%A3={1,2,3},故选D.例2多选题已知集合4=卜|/—1—220且xcZ},则

①A中的元素是A.0B.2C.1D.-2【答案】AC【解析】【分析】解不等式/_1_220有4={划122或且XEZ},即可得务4【详解】由集合A={x|x一工一22且XGZ}角窣得A={x\x2^-mx^Z}x・・.dA={OA}z故选AC【点睛】本题考查了补集，解一元二次不等式求解集，再运用补集运算确定补集的元素例3已知集合Af={x|xO,x£R},N={xka,x£R}.⑴若MqN,求实数4的取值范围；⑵若A1=N,求实数的取值范围；⑶若韧求实数的取值范围.WURN,Q【答案】⑴4,0⑵〃・.0⑶Q0【解析】【分析】1由〃与N,以及M为N的子集，确定出的范围即可；2由〃与N,以及N为的子集，确定出的范围即可；3分别求出与N的补集，根据补集为N补集的真子集，确定出的范围即可.0aM nN,6Z..0；⑶0adM={x|x,,0,xe7},^N={x|x,a,xe7},且N,.\a0R R二.典型题型题型1集合关系的判断解题技巧判断集合关系的方法1观察法一一列举观察.2元素特征法首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法利用数轴或Venn图.提醒若AC5和同时成立，则AE3更能准确表达集合A,8之间的关系.例1若全集U=R,A={x|x0},3={x[%l},则（）A.A^B B.Bq

①4C.D.Be A【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合补集的定义逐一判断即可.【详解】。