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集合间的关系（精练）
1.2集合间的关系❹
1.（2022•云南德宏・高一期末）下列四个选项中正确的是（）1A.B.C.0e{O,l}D.le{0,l}【答案】D【解析】对于故错误；对于故错误；对于故错误;A{1}{091},A Ble{0,l},B C0{0,1},C对于故正确；故选D le{0,l},D D（•新疆巴音郭楞•高一期末）已知集合用=[为自然数集，则下列结论正确的是（）
2.2022y=4},NA.{2}=M B.2^M C.—2eM D.MCN【答案】C【解析】由题设，而为自然数集，则—且—/={—2,2},N2eN,2EN2,2wM,所以，故、、错误，正确.故选A B D CC（.广东珠海.高一期末）已知集合人={-下列选项正确的是（）
3.20221,2},{一A.B.{-1}OA C,—luA D.-Io A【答案】B【解析】由题设，且所以正确，、、错误.故选{T}qA TEA,B AC DB
4.（2022・全国•高一）下列五个写法，其中错误写法的个数为（）•♦
①{0}c{0,2,3}；
②0{0}；
③{0,1,2}7{1,2,0}；
④NGR；
⑤010=0；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于
①，是用于元素与集合的关系，故
①错，对于
②，是任意非空集合的真子集，故
②对，0对于
③，集合是它本身的子集，故
③对，对于
④，是用于元素与集合的关系，故
④错，对于
⑤，因为是用于集合与集合的关系的，故
⑤错，故选C.k1k2C.P={x|x=—+—,%£Z},Q={x|x=—+—«£Z}3663【答案】BD【解析】对于因为中含有而中没有，故错误;A,P1,对于因为〃所以正确;B,EZ,P=Q,D.i1—,Q={x|%=^^”Z}c
一、、丁、k112Z+1,f对于C,--------------P={x\x=--\--,k^Z]=[x\x=,k eZ,366k2一+—Q={x|x=«EZ}=X|X=63显然，故错误；QEP,,WQ C〃1+—1f对于因为D,p={x|%2—X』,=0}={0Q={x|x=:/£Z}={0,l},故八故正确.Dx+y=1（广西）（多选）下列与集合（）表示同一个集合的有（
10.2022x,yx-y-3=0故选BD.，C.M y|x=2,y=_1}D.{x=2,y=-l}【答案】AC丫一2x+y=1[，所以【解析】由M={2,—1},xr-3=解得y=~l所以根据集合的表示方法知与集合表示的是同一个集合,4C M集合｛｝的元素是和两个数，｛｝的元素是和这两个等式，与集合的元素是2,-12-1x=2,y=-11=2y=-1M有序数对（可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点）不同，故错误.故选BD AC.A.M={3,-1},P={3,-1}B.M={3,1},P={1,3}（.河南）（多选题）下列各组中尸表示不同集合的是（
11.202222C.M={y\y=x+\,x£R},P—{x\x=t+\,t^R}D.22M={y\y=x—l,x£R},P={x,y\y=x—l,x^R}【答案】ABD【解析】选项中，是由一两个元素构成的集合，而集合是由点（）构成的集合；A M3,1P3,—1选项中，（）与（）表示不同的点，故；B3,11,3MRP选项中,）2）故；C M={y|y=+L XGR}=[1,4-OO,P={x|x=r+1,/£R}=[l,+oo,M=P选项中，是二次函数的所有因变量组成的集合，而集合是二次函数工£图象上所有点组成D My=7—l,x£R P1,R的集合.故选ABD.
12.（2022・全国•高一）已知集合A={2,—1},集合B={m2—m,—1},且A=B,则实数m等于.【答案】2或一1##—1或2【解析】A={2,—1}，—m,-11,且A=5,・•・加之一m=2,解得m=—1,或/%=
2.故答案为-1或2已知集合关系求参数❹®
1.（2022・安徽）若0是集合M={x|£-or+l=0,〃£R}的真子集，则的取值范围是（）（）
（一）（）
（00））A.—2,2B.―8,2u2,+C.[—2,2]D.-,-2]U[2,-HX【答案】D【解析】由是集合加={娟/一以+的真子集，，得01=0M£}12即方程公—仆+=有实数解，M={x|x-ar+l=O,6zeR}^0,i・△解得一或故选..=/_420,
4222.D.（.江苏.扬州中学高一阶段练习）已知集合“=卜|工+若则实数〃
2.2022213},N={x\xa}NjM,9的取值范围为（）））A.[l,+oo B.[2,+00（一』（」）C.8D.f【答案】C【解析】•・•集合M={x|2x+lv3}={#vl},且・《1・故选:C.
3.（2022・重庆•高一期末）已知集合人={0，1},B={-1,0,〃+3},且A=则等于（）A.-3B.-2C.0D.1【答案】B【解析】因为所以+〃经验证，满足题意.故选3=1==-2,B.
4.（2022・上海市控江中学高一期末）设e是实数，集合4={%卜一41,%£氏},B={x\\x-b\3,x^R},且则的取值范围为（））））A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+8D.[4,+o【答案】D【解析】集合〃尺}4={Xk-vl,x£={X|Q-1XQ+1},=卜卜或B-43,x£/}={x[-3x/;+3}又,所以或a+l4b—3a—lNb+3即或a—b-4a—Z24,KP\a-b4所以目的取值范围为）|a-[4,y故选D（•江西.赣州市第三中学高一期中）设集合若则的取值范52022A={x[lx2},B={x\xa}AqB,9围为（）A.a2B.a\C.a\D.a2【答案】A【解析】集合,因A={x|lx2},B={x\xa}A=于是得（）因此有所以的取值范围是.故选VX£L2/VQ,22,22A（.海南海口.模拟预测）已知集合”={—，以=}，若,则实数〃=（）
6.20222,0,1},N=k+_2N=MA.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】对于集合因为所以双中有两个元素，且乘积为一M A=/+8O,2,又因为所以所以一〃=—即故选NqM,N={-2,1},2+l=—
1.4=
1.B.（.海南华侨中学模拟预测）设集合加-若则由实数组成的集合为（）
7.2022A={1,2},3=k2=0},）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2【答案】D【解析】解析由题意，当时;的值为；当属时，的值为；当寸，〃的值为故选3=00{1}23={2}01,D（•黑龙江,大庆中学）已知集合入=卜|一若三则实数的
8.2022B={x\a-\x2a-\},B A,取值范围是（）A.a\B.a\C.0tzl D.Ovavl【答案】A【解析】当时，即当时，合乎题意；a-l2a-10B=0^A9ci—12—1当时，即当时，由可得已..，解得止匕时a—1W2Q—1QNO3cA OWaWl,OWQWLZ6Z-11综上所述，故选A.
9.（
2021.广东・惠州市光正实验学校高一期中）（多选）已知集合A={x£R,-3x-=卜£叫/+火+则下列命题中正确的是（）52-270},若则若则=-A.A=B,a=-3B.3若贝或若时、则一或C.3=0,D.5UA6a—3【答案】ABC【解析】若则且〃_故正确.A={xeR|-3x6},A=8,a=—3,27=—18,A=一时，故不正确.3A-B D若则（一
（一）且〃解得故正确.A=3y+a,3+Q2_27062+6+/_270,a=—3,B当时，2
（2）解得〃或〃故正确.故选8=0^Z-46Z-270,W-626,C ABC.（.全国.高一课时练习）（多选）已知集合依=且则实数％的取值
10.20214={-2,2},5=32},5=A,可以为（A.-1B.0C.1D.2【答案】ABC【解析】依题意当％=时，满足题意；B=[212当上时，要使三则有不=一或解得03=3A,22,Z=±L综上，或或故选Z=—
11.ABC.（.上海.华师大二附中模拟预测）设集合，，若则〃的值为.【答案】
11.2022M={C/4N={1},NqM,-1【解析】由集合知，则且因={于是得解得=_],所以的值为.故答案为M/WQ,1},NjM,/=1,-1-
112.（2022・全国•高三专题练习）已知集合人={工|%或x—5},B={x\a-^-\xa+3},若B=则实数的取值范围_________.【答案】〃或{m—8023}a+1q+3【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，要使只需〃+或解得一或3—5Q+1N4,8或-5所以实数，的取值范围或心.故答案为或让83}3}
13.（2022・云南.高一阶段练习）若集合A=卜|（一I）/+4x-2=o}有且仅有两个子集,则实数a的值是【答案】±1【解析】因为集合=卜|（-）有且仅有两个子集，所以集合有个元素.4l/+4x-2=0}A1当时，{；},符合题意；a=l A={]|4%—2=0}=当今时，要使集合只有一个元素，只需（〃）（）解得〃；1A A=42—4—1x—2=0,=—1综上所述实数的值是或故答案为1-L±
1.
14.2022・全国・高一设集合A={x[—2xW5},B={x\m-^lx2m-l}.若求实数用的取值范围；1b=当时，求的非空真子集个数；2xwZ A当时，不存在元素％使与同时成立，求实数加的取值范围.3xwR AxwB【答案】{加|[%或1{m|m3}225432m4}【解析】当加一即根时，满足1m+121,23=0,当即加时，要使三成立，-1,225Afm+l-2,只需《八.-G|J2m
3.综上，当时，加的取值范围是{加|帆Bq A43}.当时,2-Z A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},/.集合的非空真子集个数为A28-2=
254.3,/xeR,^A=[x\-2x5],B=[x\m+\x2m-\\,又不存在元素使尤£与％同时成立，x A£3・••当5=0,即m+12m—1,得加2时，符合题意；当即〃得加时，Bw0,2+1422-1,22m2,fm2,或〈/72+15/[2m-1-2,综上，所求的取值范围是{加|加或加724}.
16.2021・江苏•高一专题练习已知集合A={x\0x-a^5},B={x\--x^6}.若求的取值范围；1a若求的取值范围；2a集合与能够相等？若能，求出的值，若不能，请说明理由.3A3【答案】；一双必；不能，理由见解析.1[0,1]23〃+5»
6.集合A={x\0x-c^,5}={x\axa+5},B={x\--x,,6}.A^B,.21【解析】,解a得»1,・・的取值范围是[0,1].当时,
④；B=0-y..6,-12+・
5.6当即〃〉—时，\，解得产，-万BW0126ZG0,a二的取值范围是（双――12].Q+5=6（）时，无解，3A=B a——=a2・•・集合A与3不能相等.
17.（2021・全国•高一课时练习）已知集合={41W4}.（）若={加]求实数机的取值范围；（）若=卜|相一求实数小的取值1H42m—2},NjM,26x2m—1},M jN,范围.【答案】⑴同；“3}【解析】⑴由题可知=卜|一工
①若则加加一即机；4},N=^x\mx2m-2^,N=0,22,2m2m-2
②若则—〈根,解得；NW0,12m
3、2m-24综合
①②，得实数的取值范围是篦m{W3}.⑵已知Af={x-14x4},N={x m-6x2m-lj,M jN,2m-1m-6,解得f,2m-14所以实数机的取值范围是（根加I
451.
5.（
2022.宁夏・银川一中）下面五个式子中
①〃{〃}；
②0={a}；
③{〃}£{〃，b}；
④{〃}={}；
⑤〃，〃}；正确的有（）£2c,
②④⑤②③④⑤②④①⑤A.B.C.D.【答案】A【解析】
①中，是集合{〃}中的一个元素，所以
①错误；空集是任一集合的子集，所以
②正确；{〃}是{〃㈤的子集，所以
③错误；任何集合是其本身的子集，所以
④正确；〃是抄}的元素，所以
⑤正确,故选C A.
6.（
2022.山东临沂.高一期末）已知集合4=„4},B=[X\X3S}则（）9A.-2eA B.3e3C.A=BD.A^B【答案】D【解析】由集合1={小24}={%次-2或%2},B={X\X38}={X\X}2],结合选项，可得卫反故选A D.（.湖南•高一课时练习）下列各组的个集合中，哪个集合之间具有包含关系？
7.202232（）；15={-2,—1,1,2},A={-1,1},8={—2,2}（）；2S=R,A={x\x0}B={x\x0}9（）为整数},为奇数},为偶数}3S={Rx A={x|x8={x|x【答案】（）⑵（）l AuS,Bus AuS,BuS3AuS,BuS【解析】（）由于集合中的每个元素都包含在集合中，故1A,3S AuS,8uS⑵由于集合中的每个元素都是实数，故48AuSBuS（）由奇数、偶数都属于整数，故3AuS,BuS（.湖南.高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系
8.2022（）；1A={x x=2k,k eN},B={y-4m,m eN}（）是的约数};2C={1,2,3,4},{x|x12（），）3E={X|X-32,X£N/F={1,2,3,4,
5.【答案】⑴）⑶842E F【解析】（）由题意，任取有（帆）故且史〃，故1y=2x2,2meN,y1A6e4,63A⑵由于=｛是的约数｝=｛｝故x|x121,2,3,4,6,12D⑶由于｛｝｛｝｛，｝故E=MX—3V2,XWN+=x|x V5,XG«=1,2,4E F空集❹
1.（22022・江西）如果A=｛x|♦-依+10｝=0,则实数的取值范围为（）A.0«4B.0a4C.0a4D.0tz4【答案】B【解析】｛以一双+｝=当时，；当时，需满足对应的即州一「:A=x|210,Q=o A=0QW0AWO,2440,解得综上所述，々故选04B
2.（
2021.全国.高一课时练习）若集合｛x£/|a-10烂5—2｝为空集，则实数，的取值范围是______.【答案】⑷｝2【解析】由已知，得解得心所以实数〃的取值范围是｛|｝故答案为｛｝15—2m2,
2.a\a
23.（2022・全国•高一课时练习）集合和｛0｝的关系表示正确的有.（把正确的序号都填上）
①｛｝
②｛｝
③｛｝胃
④是｛｝的真子集.0=0;0£0;0;0【答案】
④【解析】没有任何元素，而｛｝中有一个元素，显然期｛｝故
①不对；000,又是任何非空集合的真子集，故有｛｝所以
②③不对，
④正确.故答案为
④0,
4.（2022・广东）若是｛小2（々，〃£/｝的真子集，则实数的取值范围是______.【答案】［,内）【解析】若是［〃£/｝的真子集，则卜/分〃£/｝不是空集，即有实数解，故心即实数的取值范围00,是［）.故答案为:［，收）0,+
85.（2022・云南）已知集合人=同加-3工+2=0｝,若Aw0,则实数的取值范围为—.9【答案】（一°°,娟.O22【解析】当时，方程化为—解得此时人=「｝满足题意，=02—3x+2=03x+2=0,x=4,0,•J J9当时，要使贝（）解得一且4W0Aw0,|JA=—32—4ax220,Q48Q Q所以使的实数〃的取值范围为（故答案为（-8,三].AW0-8,7].O O（.江苏）若集合奴+则实数的取值范围是.
6.2022A={x|/_210}=0,【答案】[0,1]【解析】当时，不等式可化为不成立，故为空集，满足题意；=010,[”0当时，根据二次函数图像与性质可得/、/八，解得，A20417f△（幻[=-22-44Vo综上.故答案为041[0,1]（•黑龙江）已知集合口£/|〃〉-在下列条件下分别求实数机的取值范围:
7.20224=2x+l=0},（）14=0;（）恰有一个元素.2A【答案】⑴,）（）”2{0,1}【解析】⑴若则关于的方程尔没有实数解，A=0,x2_2x+l=0则加且八=所以根实数团的取值范围是（依）；W0,4—4mv0,1,1,⑵若人恰有一个元素，所以关于%的方程皿一工+恰有一个实数解，221=0讨论
①当时，%=满足题意；m=0
②当机时，所以机=综上所述，”的取值范围为w0A=4-4/n=0,
1.{0,1}.
8.（2021・全国•高一专题练习）已知集合4={成*+2工+1=0,Q£R},（）若只有一个元素，试求〃的值，并求出这个元素；1A（）若是空集，求的取值范围；2A a（）若中至多有一个元素，求的取值范围.3A【答案】（）详见解析；（）；（）=或12al3021【解析】（）若中只有一个元素，则方程〃/+有且只有一个实根，1A2x+l=0当折时，方程为一元一次方程，满足条件，此时户0-g,当〃邦，此时△解得,此时产-=4-4a=0,a-\1,（）若是空集，2A则方程〃无解，X2+2X+1=0此时△解得=4-4VO,al.（）若中至多只有一个元素，3A则为空集，或有且只有一个元素，A由（）（）得满足条件的的取值范围是折或壮1,
201.集合的（真）子集个数（.河南洛阳,高一期末）集合的真子集的个数是（
1.2022A={0,l,2,3}❹❹3A.16B.15C.8D.7【答案】B【解析】集合的元素个数为故集合的真子集个数为.故选A4,A24-1=15B.
2.（2022・河南.原阳一中高一阶段练习）已知集合A满足U}qAU{l,2,3,4},这样的集合人有（）个A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】由题得集合{集合故选:A=2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}.C（.黑龙江齐齐哈尔）设集合则集合的真子集个数为（）
3.2022M={x£Z||2-x|v2},MA.16B.15C.8D.7【答案】D【解析】由题意〃因此其真子集个数为一故选={X£Z|0VXV4}={1,2,3},21=
7.D.（•海南中学）已知集合{工|-则的子集共有（）
4.20224=1X3,XEN},4个个个个A.3B.4C.8D.16【答案】C【解析】由{工|-得集合所以集合的子集有个，故选4=1%3,]£1^},A={OJ2}A23=8C（.湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知集合=非空集合满
5.20223={2,3,4,5},{-2,-1,4,5},A足则符合条件的集合的个数为（）AqB,AoC,AA.3B.4C.7D.8【答案】A【解析】由题意可知，满足条件的非空集合有、、共个.故选A{4}{5}{4,5},3A.
6.2022・上海・同济大学第二附属中学若集合A={x[4-1/+3%-2=,XER}有且仅有两个不同的子集,则实数二【答案】-石或・1O【解析】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素,A A1当〃—IwO时、A=232-4^-
1.-2=0,所以Q=—此时方程解为x=，即A83,满足要求;,满足要求,当时，,所以a—1=0x A所以或故答案为或1,
1.O O集合相等
1.
2021.黑龙江・齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习下列各组集合表示同一集合的是A.M={3,2},N={2,3}B.M={x,y|x+y=l},N={^x+y=1}C.M={4,5},TV={5,4}D.M={1,2},TV={1,2}【答案】C【解析】对于集合/表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，A={3,2}3,27={2,3}2,3故错误；A对于集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故错误；B Mx+y=l N=H B对于集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故正确；C VN4,5C对于集合表示的是数集，集合为点集，故错误；D M N D故选C.内蒙古赤峰.高三阶段练习文下列各式中，与表示同一集合的是
2.2021A3A.A={1,2},3={2,1}B.A={1,2},3={2,1}{邓=/+“C*A={O},5=0D.A={y[y=Y+1},3=【答案】B【解析】表示点的集合，表示点的集合，故错误；A.A={1,2}1,28={2,1}2/的元素是的元素是故正确;B.A={L2}1,2,3={2,1}1,2,的元素是没有元素，故错误；C.A={o}0,B=0因为{%|丁=丁+=,故错误；故选D.A={y|y=V+1}={y21},3=R B（.全国•高一课时练习）下列各组集合中两个集合相等的是（）
3.2021（）（）A.M={3,2},TV={2,3}B.M={2,3},N={3,2}（）C.M={2,3},N={x=2,y=3}D.M={2,3},N={2,3}【答案】B【解析】对于〃={（）与（）是两个点集，两个点的坐标分别为（）、（）所表示的点A3,2}N={2,3}3,22,3,不同，故不是相等集合，故选项不正确；A对于集合中的元素具有无序性，所以是相等集合，故选项正确；B={2,3},N={3,2},B对于集合的元素为实数和集合中的元素为两个等式和所以不是相等集合，C M={2,3}23,N x=2y=3,故选项不正确；C对于集合的元素为实数和（）的元素是点（）所以不是相等集合，故选不正确；D M={2,3}23,N={2,3}2,3,D故选B.
4.（2021・贵州・六盘水市第四中学高一阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（）（）（）A.M={3,2},N={2,3}B.M={32},N={2,3}9（）C.M={x,y|x+y=l},N={y|x+y=l}（）D.M={3,2},N={3,2}【答案】B【解析】对于都是点集，（）与（）是不同的点则是不同的集合，故不符合；4M,N2,33,2N对于都是数集，都表示两个数，是同一个集合，复合要求；B M,N2,3对于是点集，表示直线，上所有的点，而是数集，表示函数％的值域，则是不同的集合，C M%+=1N+y=l N故不符合；对于是数集，表示两个数，是点集，则是不同的集合，故不符合；故选M1,2N NB.（•河北）（多选）下面说法中，正确的为（）
5.2022（）A.{x[x+y=1}={y[x+y=1}B.{x,y|x+y=2}={x[x+y=2}C.{x\x2]={y\y2]D.{1,2}={2,1}【答案】ACD【解析】方程中的取值范围为凡所以同理{小所以正确；x+y=i x{x|x+y=i}=R,+y=i}=R,A{（九,）表示直线上点的集合，而{小+所以（）{小+所y|x+y=2}x+y=2y=2}=R,{x,y|x+y=2}w y=2},以错误；B集合〉都表示大于的实数构成的集合，所以正确；{x|x2},{y|y2}2C由于集合的元素具有无序性，所以所以正确.{1,2}={2,1},D故选ACD.（.全国.高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（）
6.2021A.B.P=\x22P=jxx-3x+2=0,Q=\y y-3y-^2=0C.D.={x|y=x+l},Q={x,y|y=x+1}卜{，所以产和都只含有两个元【解析】对于31+2=01,2}2={j|/-3y+2=0}={l,2},A,P=素所以故正确;b2,P=Q;A对于而所以故错误;B,leP,PwQ;B【答案】AC!±HT对于C,P=1%--x=}={0,1},Q=x=,neZ^={0,l},所以P=Q；故C正确;2对于集合是数集，而集合是点集，所以D,故选AC.（•江西•丰城九中高一阶段练习）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（）72021A.M={3,2},TV={2,3}={小+=B.M={x,y|x+y=l},N1}C.M={4,5},N={5,4}（）D.M={1,2},N={1,2}【答案】ABD【解析】对于加={（）中元素为点（）双={（）种元素为点（）所以不是同一集合；A3,2}3,2,2,3}2,3,对于（）的元素为直线上的点，的元素为全体实数，所以不是同一集合；B M={x»|x+y=1}x+y=l N={^x+y=l}对于集合中元素是无序的，所以〃是同一集合；C={4,5},N={5,4}对于的元素为（）的元素为点（）所以不是同一集合，D M={1,2}1,2,N={1,2}1,2,故选ABD.（.广东）（多选）下列各组中的两个集合和表示同一集合的是（）
8.2022M N,A.M={TT}N={
3.14159}9（））B.M={2,3},TV={2,3C.MN={1}上百D.N=,l J}【答案】CD【解析】选项中两个集合中的元素互不相等，不正确；A选项中两个集合，一个是数集，一个是点集，不正确；B选项中集合正确；C M={1}=N,选项中集合正确.D M=p,G/}=N,所以选项是正确的.CD故选CD
9.（2022・广东）下列各组中的两个集合相等的是（）=〃A.P={x|x=£N*},{x|x=2+£N*}尸=〃〃九一〃B,{x|x=4+l,w Z},Q={x|x=43,cZ}。
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