1.4 充分、必要条件（精练）（解析版）

充分、必要条件（精练）

1.4充分、必要条件的判断

1.（2022•安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设Px3,q-lx3,则p是夕成立的（）1A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由x3不能推出-1v%v3,例如x=-2,但-1vxv3必有xv3,所以Px3是q-lvxv3的必要不充分条件.故选B.

2.（

2022.贵州毕节.高一期末）对于实数x,是“xv2”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性由一3cx0,能推出xv2,所以—3x0是xv2的充分条件，必要性由xv2,不能推出-3cx0,所以-3Vx0是x2的不必要条件.故选A.

3.（2022•贵州黔东南.高一期末）对于实数x,OVxVl”是“xV2”的（）条件A.充要B.既不充分也不必要C.必要不充分D.充分不必要【答案】D【解析】若0xl,则一定有x2,故充分性满足；若x2,不一定有0xl,例如x=-3,满足x2,但不满足0xl,故必要性不满足；故OVxVl”是匕V2»的充分不必要条件.故选D.

4.（2022•江西•高一期末）“加之一1”是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由m2-1可以推出机2-2,但反之不成立，故根2-1”是“根2-2”的充分不必要条件，故选:A

5.（2022・湖南邵阳•高一期末）“4=1”是“|止1”的（）代入方程or+Zx+c=0Wax2+bx-a—b=0,即x—1以+々+〃=

0.・二关于X的方程分2+hx+c=0有一个根为1;必要性:方程办2+区+C=0有一个根为1，/.Xul满足方程加+笈+0=0，/.{7xl2+Zxl+c=0,即Q+b+c=

0.故关于X的方程办2+/x+c=0有一个根是1的充要条件为4+Z+C=.

3.

2022.安徽省求证关于x的方程g2_2x+2=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0〃2g.【答案】证明见解析【解析】

①充分性因为0根，,2_.2所以方程nvC-2九+2=0的判别式A=4—4x%x20,且两根积一〉0,m所以方程如2_2九+2=0有两个同号口不相等的实根.

②必要性若方程/nr2-2x+2=0有两个同号且不相等的实根，设两根为X，%，A=4-8/710则有2八，解得加

2.2=—

0、■m综合

①②可知，方程的2-2x+2=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0〈相〈!，命题得证.

4.2021・江苏•高一单元测试已知厚0,求证是+氏］的充要条件.提示a3-^b3=a+ba2-ab^-b2【答案】证明见解析【解析】设pa3+b3+ab-a2-b2=0,qa+b=l.1充分性p=q因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以a+ba2-ah+b2-a2-ab+h2=0,即a2-ab+b2a+b-1=0,1V3因为ab丰0,a2-ab+b2=a——b+—Z20,I2J4所以a+/-1=0,即a+b=

1.2必要性qnp因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+h3+ab-a2-h2=a3+1-4z3+tz1-a-a2-1-a2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述，a+b-\的充要条件是凉+/3+Q/-Q2-/2=

0.52022•上海已知而w0,求证a，+〃3+他一々2一〃2=的充要条件是+人=].【答案】证明详见解析.【解析】证明1充分性条件=结论因为Q+h=l,/+Z3=Q+-+,a3+ab-a1-b2=ba2-ab+b1^-ab-a1-b1Q+=a2-ab^b2^-ab-a2-b2=0所以成立；2必要性结论n条件因为〃+/3^ab-a1-b2=0,且+Z;3=a-^-ba2-ab+b2,所以++—c/—Z2=+ZQ2_ab+Z~+cib—cT—b~=Q+/-14-ab-{-b2=0而a1-ab+b12ab-ab=ab,乂ab手0,所以Q+Z—1=0,所以〃+8=1,所以成立，综上a+匕3+〃/一々2-万2=0的充要条件是〃+〃=

1.

6.2021•全国,高一课时练习已知x，y都是非零实数，且xy,求证的充要条件是冲

0.x y【答案】见解析【解析】根据充要条件的定义进行证明即可.【详解】1必要性由得,一,0,即=，又由xy,得y—x0,所以取

0.x yx yxy2充分性由冲及x,得即.综上所述，的充要条件是个.xy xyx yx yA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由=1可推出由|〃|=1,即〃=1或=一1,推不出=1,故“a=1”是T a\=1的充分不必要条件.故选:B.

6.（2022・福建三明•高一期末）若条件px2,q则〃是乡成立的（）x2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由x2不能推出例如尤=—3,但必有x2,x2x2所以〃是t7成立的必要不充分条件.故选B.

7.（

2022.北京朝阳.高一期末）“1”是“关于1的方程/-2x+l=0有实数根”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当=0时;方程的实数根为x=g,2当时，方程2—2x+l=0有实数根，则A=4—4aN0,解得则有且IWO,因此，关于x的方程*-2%+1=0有实数根等价于所以是“关于x的方程+-2x+l=0有实数根”的充分而不必要条件.故选A

8.（2022・江苏,高一）READB成立是xcA成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，不一定有xWAC9AM成立是尤£A成立的充分不必要条件.故选A.X

9.（2022・山西.临汾第一中学校高一期末）设XER,则“口1”是“「0”的（）X-1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】Ax【解析】x〉l时，xl或％—1；-------0H寸，龙〉1或尤0x-1・・・冈〉1成立时，

一、也成立，但

一、0成立时，忖1不一定成立x-l X-]...“国1是“三〉0的充分不必要条件，选项A正确故选A.4L

10.（2022•河南洛阳•高一期末）是卡—1|〉0”的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】上一1|0化简得xwl,因为时，xwl；而xwl时不一定得出xL故是“k-1|〉0”的充分不必要条件故选A充分、必要条件的选择

1.（

2022.河南.永城市苗桥乡重点中学高一期末）（多选）使x-L,成立的一个充分条件可以是（）x❹❷2A.x-\B.0x1C.—掇k1D.工,1【答案】AB12_1【解析】x——0=x------W0=0xWl或xW-l,X X故使X-L成立的一个充分条件的X的范围应该是（F,-l]U（05的子集.故选AB.X

2.（2022•福建厦门•高一期末）（多选）已知m beR,则必加的必要不充分条件可以是（）A.cTba B.8C.a2-~r D.a2-\-b22【答案】CD/、f6z0ftz0【解析】对于A由/武〃，即/人一说，即（M—所以八i或一小故充分性不成立，由[ab1[ab1ab\,若0时，则故必要性不成立，故A错误；对于B由///pg,可得必22,由22推得出21,故充分性成立，故B错误；对于C由之，■可得〃方1,所以加21或就4-1,故充分性不成立，反之当而）1口寸，可得a%3],所以/、染，故必要性成立，故C正确；对于D由/+〃22得不至1」621,如=2,人=0满足片+/22但=0,即充分性不成立，反之当abNl时可得/+/2722ab22故必要性成立，即+^222是必21的必要不充分条件，故D正确；故选CD

3.（

2022.新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）（多选）使QER,々4成立的充分不必要条件可以是（）A.a4B.同3C.-4a4D.0a3【答案】BD【解析】由114可得〃的集合是（-4,4）,A.由《4）『-co,4）,所以4是|〃|4成立的一个必要不充分条件；B.由（-3,3）「（-4,4）,所以||3是|a|4成立的一个充分不必要条件；C.由（-4,4）=（-4,4）,所以Tvqv4是||4成立的一个充要条件；D.由（0,3）（T4）,所以03是||4成立的一个充分不必要条件；故选BD.

4.（2022•黑龙江.大庆中学高一期中）（多选）下列是“不等式2/_5尤-30成立’的必要不充分条件的是B.--x42A.--x32D.--J:02C・-3v%〈一2【答案】AB【解析】•・・2X2一5%一30,解得—gx3,对A,{x|-1x3}卜|-・・.-是不等式成立的必要不充分条件；乙乙乙对B,{x|-1x3}卜|一；%4},是不等式成立的必要不充分条件；对C,kI-；尤3}与没有互相包含关系，・・・-3X:是不等式成立的既不充分又不必要条2，J2件；对D,{x\-x3}卜|一；X0},.・.—；vx0是不等式成立的充分不必要条件；故选AB.

5.（2022•全国•高一课时练习）x0或x〉4”的一个必要条件是（）C.x0或x2D.xv—l或x5A.xQB.x4【答案】c【解析】依据题意，只需要x0或X〉4”的所有元素都在所求的范围里即可.所以A、B、D错，C对故选C集合的表示方法

1.（2022・全国・高一）已知条件p:|x-1|2,条件且满足夕是夕的必要不充分条件，则（）3A.a3B・Q—1C.a—1D.av—1【答案】D【解析】•・・p|x—1|2,即又q是〃的必要不充分条件，所以QV-1,故选D.

2.（2022・河南・温县第一高级中学高一阶段练习）（多选）若“x2_%—60”是“-2vxvc/的必要不充分条件,则实数，的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】AB【解析】由%-60解得-2%

3.因为“12_%_60”是“-2〈％〈々”的必要不充分条件，所以只需（-2,）（-2,3）,对照四个选项，〃可以取1,

2.故选AB

3.（2022・贵州毕节•高一期末）已知条件，:2左-1WXW2,〃是4的充分条件，则实数%的取值范围是.【答案】［—2,+8）【解析】记人=卜|2%—lx2},B={X\-5X3}9因为P是4的充分条件，所以Ac夕3当A=0H寸，2k-l2,即左〉不，符合题意；33当时，k二，由可得2Z—12—5,所以Z2—2,即一24人〈二.22综上所述，实数的％的取值范围是［-2,+8）.故答案为［-2,+⑹.

4.（2022•江苏连云港•高一期末）若不等式的一个充分条件为-2x0,则实数Q的取值范围是【答案】【解析】由不等式由1々,当0时，不等式|工|的解集为空集，显然不成立;当Q0时，不等式|X|〃，可得一要使得不等式|x|〃的一个充分条件为-20,则满足{x|-2x0k{x|-〃%〃},所以—22—ci9即22工实数〃的取值范围是

422.故答案为a”

5.（

2022.全国.高一期末）已知p2x10,qa-\xa+\,Q^R,且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是____________.【答案】［3,9（a］〉2所以实数a的取值范围是［3,9］.故答案为［3,9］.

6.（

2022.贵州毕节•高一期末）已知条件，:2左-1WXW2,^:-5x3,p是q的充分条件，则实数2的取值范围是.【答案】［-2,+刃）【解析】记入=卜|2攵—B={x\-5x3},因为〃是q的充分条件，所以A=尻3当A=0时，2^-12,即%］,符合题意；33当时，k-,由A=8可得2Z—12—5,所以Z2—2,即—2WZW—.22综上所述，实数的％的取值范围是［-2,+8）.故答案为［-2,+00）.

7.（2022•广西钦州•高一期末）若“-ivxvl”是“-lx-的充要条件，则实数根的取值是___________________.【答案】0【解析】-1vx-根1=一1xv〃2+l,贝ij{x|-lv九vl}={x|m-l xm+l},即——二1=2=.故答案为

0.

8.（2022・重庆复旦中学高一开学考试）在

①AD3=3；

②x£/r是3”的充分不必要条件;

③403=0这三个条件中任选一个，补充到本题第

（2）问的横线处，求解下列问题已知集合A={x6/-1x6z+l1,B=A:2-2x-3o!1当4=2时，求AUB；2若,求实数4的取值范围.【答案】⑴Au3={x|-10XW3}⑵条件选择见解析，,-2U4,y【解析】⑴当Q=2时，集合A={x|lWxW3},B={X\-1X3}9所以Au3={x|-1Wx43}；2若选择

①AU8=8,则ARB,因为A={x|a—1X4Q+1},所以Aw0,又8={幻-1«工43},所以解得0«42,所以实数〃的取值范围是[0,2].I JL若选择

②，X£A”是“X£3”的充分不必要条件，则A B,^-1-1因为A={X|Q—1〈XWQ+1},所以AW0,又3={x|—14x43},所以解得0WQW2,4+13所以实数，的取值范围是[0,2].若选择

③，Ar[B=0,因为A={x|a—I4x〃+1},B=[x\-1x3],所以〃一13或a+lv—l,解得〃4或々一2,所以实数的取值范围是f,—2U4,y.

9.2022・江苏・高一已知命题Vx£{x|-lVxl},都有不等式f一工一根〈成立，，是真命题.1求实数〃z的取值集合5；2设不等式x-3ax-a-20的解集为A,若A是5的充分不必要条件，求实数，的取值范围.2【答案】12,+8；2[于依.一J【解析】1命题VXE{X-IWxWl},都有不等式V一工一根o成立”是真命题，得X-x—m0在一14犬1时恒成立，m%2-x,得相〉2,即3={帅722}=2,+

00.max2不等式％-3ax--2，

①当3Q2+Q,即1时，解集A={x[2+vxv3},若xwA是的充分不必要条件，则A是B的真子集,2+tz2,此时a\-

②当3〃=2+〃，即a=l时，解集A=，满足题设条件；

③当即时，解集3QQ+2,Q1A={X[3QXV2+Q},若是的充分不必要条件，则A是B的真子集，2/.3a22,此时一2av

1.2综上

①②③可得Q£[于+

810.2022•江苏•高一期末已知全集0=11,集合A={%|三|wo},B=[x\x2-2ax+a2-X01当〃=2时,求标cu3;2若A是xwB的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】1或x5}；2[3,4]【解析】1=《OoN]—20,解得2X5,即4=卜|2工5},x-21x-20当4=2时，%2-4x+30,解得1cx3,即8={x[l x3},Au3={x1x51,您4c/=uAu3={x{x4l或x5}；2x~-2^ZY+Q_-1v0=[x-Q-l][x_a+1]0,解得a-lxa+l,EPB=1x6Z-lX6Z+lj,・・・A是g的必要不充分条件，.8A,+145*，•\，解得3tz

4.[a-i2所以实数，的取值范围是[3,4].

11.

2022.河南驻马店.高一期末已知集合4=k|2，-lx3-小5={止2vx+1〈5}.⑴若AnB=，求实数，的取值范围；2若“x£是x£A”的必要不充分条件，求实数t的取值范围.4【答案】

（1），£司,+82e-l,+oo13J【解析】

（1）解由一2vx+l＜5得解一3Vx＜4,所以3={R—2＜x+l＜5}={x|-3x4},又若AD8=0,分类讨论:4当八=0,即21〉3T解得可，满足题意;4当即解得时,⑵一1243-t-34或4,4;解得1£

0.t-若满足4口3=0,则必有t-33f4综上，若403=0,则实数，的取值范围为，€，+00，|3J

（2）解由£夕是的必要不充分条件，则集合A4344若Aw0,E[J2r-l3-r,即，一,则必有〈2—1—3,解得-练上可得〉-1,3T43若A=0,IP2t-l3-t,解得―,综上所述，当£是的必要不充分条件时，/£（-i,y）即为所求.充分必要条件的证明

1.（2022・全国•高一课时练习）求关于%的方程加+（2〃+3）x+l-=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】＜0或【解析】当a＞0开口向上，1一〃＜0,所以＞1,当＜0开口向下，1一＞0,所以，＜0满足充要条件故答案为＜0或＞

1.

2.（2022・江苏）设a,b,R,求证关于光的方程+法+°=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=O.CG【答案】详见解析••【解析】充分性・.・a+b+c=O,...c=-a-b,。