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充分、必要条件(精练)
1.4充分、必要条件的判断
1.(2022•安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)设Px3,q-lx3,则p是夕成立的()1A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由x3不能推出-1v%v3,例如x=-2,但-1vxv3必有xv3,所以Px3是q-lvxv3的必要不充分条件.故选B.
2.(
2022.贵州毕节.高一期末)对于实数x,是“xv2”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性由一3cx0,能推出xv2,所以—3x0是xv2的充分条件,必要性由xv2,不能推出-3cx0,所以-3Vx0是x2的不必要条件.故选A.
3.(2022•贵州黔东南.高一期末)对于实数x,OVxVl”是“xV2”的()条件A.充要B.既不充分也不必要C.必要不充分D.充分不必要【答案】D【解析】若0xl,则一定有x2,故充分性满足;若x2,不一定有0xl,例如x=-3,满足x2,但不满足0xl,故必要性不满足;故OVxVl”是匕V2»的充分不必要条件.故选D.
4.(2022•江西•高一期末)“加之一1”是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由m2-1可以推出机2-2,但反之不成立,故根2-1”是“根2-2”的充分不必要条件,故选:A
5.(2022・湖南邵阳•高一期末)“4=1”是“|止1”的()代入方程or+Zx+c=0Wax2+bx-a—b=0,即x—1以+々+〃=
0.・二关于X的方程分2+hx+c=0有一个根为1;必要性:方程办2+区+C=0有一个根为1,/.Xul满足方程加+笈+0=0,/.{7xl2+Zxl+c=0,即Q+b+c=
0.故关于X的方程办2+/x+c=0有一个根是1的充要条件为4+Z+C=.
3.
2022.安徽省求证关于x的方程g2_2x+2=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0〃2g.【答案】证明见解析【解析】
①充分性因为0根,,2_.2所以方程nvC-2九+2=0的判别式A=4—4x%x20,且两根积一〉0,m所以方程如2_2九+2=0有两个同号口不相等的实根.
②必要性若方程/nr2-2x+2=0有两个同号且不相等的实根,设两根为X,%,A=4-8/710则有2八,解得加
2.2=—
0、■m综合
①②可知,方程的2-2x+2=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0〈相〈!,命题得证.
4.2021・江苏•高一单元测试已知厚0,求证是+氏]的充要条件.提示a3-^b3=a+ba2-ab^-b2【答案】证明见解析【解析】设pa3+b3+ab-a2-b2=0,qa+b=l.1充分性p=q因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以a+ba2-ah+b2-a2-ab+h2=0,即a2-ab+b2a+b-1=0,1V3因为ab丰0,a2-ab+b2=a——b+—Z20,I2J4所以a+/-1=0,即a+b=
1.2必要性qnp因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+h3+ab-a2-h2=a3+1-4z3+tz1-a-a2-1-a2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述,a+b-\的充要条件是凉+/3+Q/-Q2-/2=
0.52022•上海已知而w0,求证a,+〃3+他一々2一〃2=的充要条件是+人=].【答案】证明详见解析.【解析】证明1充分性条件=结论因为Q+h=l,/+Z3=Q+-+,a3+ab-a1-b2=ba2-ab+b1^-ab-a1-b1Q+=a2-ab^b2^-ab-a2-b2=0所以成立;2必要性结论n条件因为〃+/3^ab-a1-b2=0,且+Z;3=a-^-ba2-ab+b2,所以++—c/—Z2=+ZQ2_ab+Z~+cib—cT—b~=Q+/-14-ab-{-b2=0而a1-ab+b12ab-ab=ab,乂ab手0,所以Q+Z—1=0,所以〃+8=1,所以成立,综上a+匕3+〃/一々2-万2=0的充要条件是〃+〃=
1.
6.2021•全国,高一课时练习已知x,y都是非零实数,且xy,求证的充要条件是冲
0.x y【答案】见解析【解析】根据充要条件的定义进行证明即可.【详解】1必要性由得,一,0,即=,又由xy,得y—x0,所以取
0.x yx yxy2充分性由冲及x,得即.综上所述,的充要条件是个.xy xyx yx yA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由=1可推出由|〃|=1,即〃=1或=一1,推不出=1,故“a=1”是T a\=1的充分不必要条件.故选:B.
6.(2022・福建三明•高一期末)若条件px2,q则〃是乡成立的()x2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由x2不能推出例如尤=—3,但必有x2,x2x2所以〃是t7成立的必要不充分条件.故选B.
7.(
2022.北京朝阳.高一期末)“1”是“关于1的方程/-2x+l=0有实数根”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当=0时;方程的实数根为x=g,2当时,方程2—2x+l=0有实数根,则A=4—4aN0,解得则有且IWO,因此,关于x的方程*-2%+1=0有实数根等价于所以是“关于x的方程+-2x+l=0有实数根”的充分而不必要条件.故选A
8.(2022・江苏,高一)READB成立是xcA成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,不一定有xWAC9AM成立是尤£A成立的充分不必要条件.故选A.X
9.(2022・山西.临汾第一中学校高一期末)设XER,则“口1”是“「0”的()X-1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】Ax【解析】x〉l时,xl或%—1;-------0H寸,龙〉1或尤0x-1・・・冈〉1成立时,
一、也成立,但
一、0成立时,忖1不一定成立x-l X-]...“国1是“三〉0的充分不必要条件,选项A正确故选A.4L
10.(2022•河南洛阳•高一期末)是卡—1|〉0”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】上一1|0化简得xwl,因为时,xwl;而xwl时不一定得出xL故是“k-1|〉0”的充分不必要条件故选A充分、必要条件的选择
1.(
2022.河南.永城市苗桥乡重点中学高一期末)(多选)使x-L,成立的一个充分条件可以是()x❹❷2A.x-\B.0x1C.—掇k1D.工,1【答案】AB12_1【解析】x——0=x------W0=0xWl或xW-l,X X故使X-L成立的一个充分条件的X的范围应该是(F,-l]U(05的子集.故选AB.X
2.(2022•福建厦门•高一期末)(多选)已知m beR,则必加的必要不充分条件可以是()A.cTba B.8C.a2-~r D.a2-\-b22【答案】CD/、f6z0ftz0【解析】对于A由/武〃,即/人一说,即(M—所以八i或一小故充分性不成立,由[ab1[ab1ab\,若0时,则故必要性不成立,故A错误;对于B由///pg,可得必22,由22推得出21,故充分性成立,故B错误;对于C由之,■可得〃方1,所以加21或就4-1,故充分性不成立,反之当而)1口寸,可得a%3],所以/、染,故必要性成立,故C正确;对于D由/+〃22得不至1」621,如=2,人=0满足片+/22但=0,即充分性不成立,反之当abNl时可得/+/2722ab22故必要性成立,即+^222是必21的必要不充分条件,故D正确;故选CD
3.(
2022.新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试)(多选)使QER,々4成立的充分不必要条件可以是()A.a4B.同3C.-4a4D.0a3【答案】BD【解析】由114可得〃的集合是(-4,4),A.由《4)『-co,4),所以4是|〃|4成立的一个必要不充分条件;B.由(-3,3)「(-4,4),所以||3是|a|4成立的一个充分不必要条件;C.由(-4,4)=(-4,4),所以Tvqv4是||4成立的一个充要条件;D.由(0,3)(T4),所以03是||4成立的一个充分不必要条件;故选BD.
4.(2022•黑龙江.大庆中学高一期中)(多选)下列是“不等式2/_5尤-30成立’的必要不充分条件的是B.--x42A.--x32D.--J:02C・-3v%〈一2【答案】AB【解析】•・・2X2一5%一30,解得—gx3,对A,{x|-1x3}卜|-・・.-是不等式成立的必要不充分条件;乙乙乙对B,{x|-1x3}卜|一;%4},是不等式成立的必要不充分条件;对C,kI-;尤3}与没有互相包含关系,・・・-3X:是不等式成立的既不充分又不必要条2,J2件;对D,{x\-x3}卜|一;X0},.・.—;vx0是不等式成立的充分不必要条件;故选AB.
5.(2022•全国•高一课时练习)x0或x〉4”的一个必要条件是()C.x0或x2D.xv—l或x5A.xQB.x4【答案】c【解析】依据题意,只需要x0或X〉4”的所有元素都在所求的范围里即可.所以A、B、D错,C对故选C集合的表示方法
1.(2022・全国・高一)已知条件p:|x-1|2,条件且满足夕是夕的必要不充分条件,则()3A.a3B・Q—1C.a—1D.av—1【答案】D【解析】•・・p|x—1|2,即又q是〃的必要不充分条件,所以QV-1,故选D.
2.(2022・河南・温县第一高级中学高一阶段练习)(多选)若“x2_%—60”是“-2vxvc/的必要不充分条件,则实数,的值可以是()A.1B.2C.3D.4【答案】AB【解析】由%-60解得-2%
3.因为“12_%_60”是“-2〈%〈々”的必要不充分条件,所以只需(-2,)(-2,3),对照四个选项,〃可以取1,
2.故选AB
3.(2022・贵州毕节•高一期末)已知条件,:2左-1WXW2,〃是4的充分条件,则实数%的取值范围是.【答案】[—2,+8)【解析】记人=卜|2%—lx2},B={X\-5X3}9因为P是4的充分条件,所以Ac夕3当A=0H寸,2k-l2,即左〉不,符合题意;33当时,k二,由可得2Z—12—5,所以Z2—2,即一24人〈二.22综上所述,实数的%的取值范围是[-2,+8).故答案为[-2,+⑹.
4.(2022•江苏连云港•高一期末)若不等式的一个充分条件为-2x0,则实数Q的取值范围是【答案】【解析】由不等式由1々,当0时,不等式|工|的解集为空集,显然不成立;当Q0时,不等式|X|〃,可得一要使得不等式|x|〃的一个充分条件为-20,则满足{x|-2x0k{x|-〃%〃},所以—22—ci9即22工实数〃的取值范围是
422.故答案为a”
5.(
2022.全国.高一期末)已知p2x10,qa-\xa+\,Q^R,且p是q成立的必要非充分条件,则实数a的取值范围是____________.【答案】[3,9(a]〉2所以实数a的取值范围是[3,9].故答案为[3,9].
6.(
2022.贵州毕节•高一期末)已知条件,:2左-1WXW2,^:-5x3,p是q的充分条件,则实数2的取值范围是.【答案】[-2,+刃)【解析】记入=卜|2攵—B={x\-5x3},因为〃是q的充分条件,所以A=尻3当A=0时,2^-12,即%],符合题意;33当时,k-,由A=8可得2Z—12—5,所以Z2—2,即—2WZW—.22综上所述,实数的%的取值范围是[-2,+8).故答案为[-2,+00).
7.(2022•广西钦州•高一期末)若“-ivxvl”是“-lx-的充要条件,则实数根的取值是___________________.【答案】0【解析】-1vx-根1=一1xv〃2+l,贝ij{x|-lv九vl}={x|m-l xm+l},即——二1=2=.故答案为
0.
8.(2022・重庆复旦中学高一开学考试)在
①AD3=3;
②x£/r是3”的充分不必要条件;
③403=0这三个条件中任选一个,补充到本题第
(2)问的横线处,求解下列问题已知集合A={x6/-1x6z+l1,B=A:2-2x-3o!1当4=2时,求AUB;2若,求实数4的取值范围.【答案】⑴Au3={x|-10XW3}⑵条件选择见解析,,-2U4,y【解析】⑴当Q=2时,集合A={x|lWxW3},B={X\-1X3}9所以Au3={x|-1Wx43};2若选择
①AU8=8,则ARB,因为A={x|a—1X4Q+1},所以Aw0,又8={幻-1«工43},所以解得0«42,所以实数〃的取值范围是[0,2].I JL若选择
②,X£A”是“X£3”的充分不必要条件,则A B,^-1-1因为A={X|Q—1〈XWQ+1},所以AW0,又3={x|—14x43},所以解得0WQW2,4+13所以实数,的取值范围是[0,2].若选择
③,Ar[B=0,因为A={x|a—I4x〃+1},B=[x\-1x3],所以〃一13或a+lv—l,解得〃4或々一2,所以实数的取值范围是f,—2U4,y.
9.2022・江苏・高一已知命题Vx£{x|-lVxl},都有不等式f一工一根〈成立,,是真命题.1求实数〃z的取值集合5;2设不等式x-3ax-a-20的解集为A,若A是5的充分不必要条件,求实数,的取值范围.2【答案】12,+8;2[于依.一J【解析】1命题VXE{X-IWxWl},都有不等式V一工一根o成立”是真命题,得X-x—m0在一14犬1时恒成立,m%2-x,得相〉2,即3={帅722}=2,+
00.max2不等式%-3ax--2,
①当3Q2+Q,即1时,解集A={x[2+vxv3},若xwA是的充分不必要条件,则A是B的真子集,2+tz2,此时a\-
②当3〃=2+〃,即a=l时,解集A=,满足题设条件;
③当即时,解集3QQ+2,Q1A={X[3QXV2+Q},若是的充分不必要条件,则A是B的真子集,2/.3a22,此时一2av
1.2综上
①②③可得Q£[于+
810.2022•江苏•高一期末已知全集0=11,集合A={%|三|wo},B=[x\x2-2ax+a2-X01当〃=2时,求标cu3;2若A是xwB的必要不充分条件,求实数的取值范围.【答案】1或x5};2[3,4]【解析】1=《OoN]—20,解得2X5,即4=卜|2工5},x-21x-20当4=2时,%2-4x+30,解得1cx3,即8={x[l x3},Au3={x1x51,您4c/=uAu3={x{x4l或x5};2x~-2^ZY+Q_-1v0=[x-Q-l][x_a+1]0,解得a-lxa+l,EPB=1x6Z-lX6Z+lj,・・・A是g的必要不充分条件,.8A,+145*,•\,解得3tz
4.[a-i2所以实数,的取值范围是[3,4].
11.
2022.河南驻马店.高一期末已知集合4=k|2,-lx3-小5={止2vx+1〈5}.⑴若AnB=,求实数,的取值范围;2若“x£是x£A”的必要不充分条件,求实数t的取值范围.4【答案】
(1),£司,+82e-l,+oo13J【解析】
(1)解由一2vx+l<5得解一3Vx<4,所以3={R—2<x+l<5}={x|-3x4},又若AD8=0,分类讨论:4当八=0,即21〉3T解得可,满足题意;4当即解得时,⑵一1243-t-34或4,4;解得1£
0.t-若满足4口3=0,则必有t-33f4综上,若403=0,则实数,的取值范围为,€,+00,|3J
(2)解由£夕是的必要不充分条件,则集合A4344若Aw0,E[J2r-l3-r,即,一,则必有〈2—1—3,解得-练上可得〉-1,3T43若A=0,IP2t-l3-t,解得―,综上所述,当£是的必要不充分条件时,/£(-i,y)即为所求.充分必要条件的证明
1.(2022・全国•高一课时练习)求关于%的方程加+(2〃+3)x+l-=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】<0或【解析】当a>0开口向上,1一〃<0,所以>1,当<0开口向下,1一>0,所以,<0满足充要条件故答案为<0或>
1.
2.(2022・江苏)设a,b,R,求证关于光的方程+法+°=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=O.CG【答案】详见解析••【解析】充分性・.・a+b+c=O,...c=-a-b,。
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