4.2 对数（解析版）

对数

2.71828…自然对数InN是一个无理数对数的基本性质1负数和零没有对数.2log〃且W

1.3log^=l6z0,且

1.aW1「4lo厂=—1〃0且

1.aW5对数恒等式小喙户=以〃0,N

0.【答案】（）证明见解析•；（）123xv4y6z.【分析】

（1）令3x=4,=6z=相，利用指数式和对数式的互化求出XXZ,再利用对数的运算即可的证得结果;

（2）因为正实数x,y,z,利用作商法可证明大小关系.【详解】

（1）证明令3*=4，=6]=〃2,利用指数式和对数式的互化知x=log.3相，y=log/2,2=log m6则卜*3,1=log„,4,|=log6ffll_l_0=logm6logm3=logw2=23xv4y6z证明因为正实数x,»z,3x0,4y0,6z0,31g23x_31og m=2x詈=；log34=log3痫唱3J44y41og m41g m44lg4又病3,/.log^641,.・.3x4y34y_41og mlg4_2；lg623/74•殴=T—r=Tlog6=log V66426z61og m63lg43lg6又的2,「.log痣vl，【点睛】方法点睛:本题考查指数式和对数式的互化，对数比较大小，比较大小常用

（1）作差法，和0比较；

（2）作商法,U!.活学活用培优训练保证两个数都是正数，作商与比较，考查学生的运算能力，属于一般题.1

一、单选题已知

1.log23=m,log7=n,IJllJ log56=342mn+3m+72+3〃m+3mn+3A.----------B.--------------C.---------------D.---------------2/2+1根+〃+mn+m+l mn一6+121【答案】C【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.【详解】其中S log7=log3-log7=mn log2=—log56=log7x8=log7+log8,mn

2239742424242._1111mnlOg2~===\7=log42l+log61+log2+log3।11m/t+m+l7777|Imn n,故+3log8=3log2=——-——=-------------=-------------log56=-+-------------------------=—4242log42log6+log71+m+mn mn+m+11+m+mn mn+m+1222故选C已知实数力满足则的最小值为（）

2.e+g=eJ e“+e”A.2B.4C.2e D.6【答案】B【分析】变形给定等式，利用基本不等式中〃〃的妙用求解作答.11111b a【详解】由ea+e=e*得万+7=1,则e+e”=（e〃+e〃）（+3）=2++:之4,P当且P仅当a=b=ln2时e eee ee=，所以的最小值为e+e

4.故选B在一定条件下，将质量为（单位）的某种固体化学物质投入水中，该物质会逐渐溶于水，未溶解

3.M g物质的质量（单位）与时间/（单位）满足关系加二时一..某同学在一次化学实验中，把M g min2的该固体物质投入水中后溶液中该物质的质量分数为则，约为（取合）（）200g600gmin20%,ln

20.7A.3B.4C.5D.6【答案】c【分析】利用题里面的已知条件求出后未溶解物质的质量，与〃=加一°双联立即可求得乙/min2X【详解】设后该物质溶解的质量为由得f minxg,77^--------=20%x=150,600+x即后未溶解的质量为t min50g,/知=整理可得0200x50,=4,

00.28/=21n2^

1.4,0r«

5.故选C.（）,则的最小值是（）

4.log3a+2b=log a+2b42A.8+46B.8+273C.7+46D.7+2A/3【答案】A【分析】先由1哂（3+2与=182，石得到+=1,利用基本不等式〃1的妙用〃即可求出最小值.【详解】Slog3a+2b=\og4ab,l^tz0,/0log3tz+2Z=log V^=log V^2,4242432所以0力且3a+2b=〃b,即二十—=1,ba所以〃+2Z=〃+26x+即+竺+=26b a3a4b8+2——x——h a=8+473当且仅当当=竺时，即〃时等号成立.=26+2/=6+3b a故选A5-已知正实数a，满足等=黑=野’1’则（A.abc B.bacC.bc aD.acb【答案】B【分析】根据条件结合作商比较法可得5=黑,2=需从而可得答案・■、*刀.qln2In3__.b21n3In9/n1所以…【详解】由三=彳可得『靛＞】krIn21n5In25所以£0,1,CYQla5c In32故选B正实数满足/，陵=，则呼的取值范围是

6.x,1A.[-^-,100]B.0,-^-]u[100,4w乂1001c.0,\]U[10,+⑹D.[-^,10]【答案】B【解析】两边取对数可得利用基本不等式即可求出孙的取值范围.igxigy=i,【详解】正实数满足丘*=x,y1100,两边取对数可得所以21gxlgy=2,lgxlgy=l,所以至士堂丫=[即/孙1=lg xlgyWIT,4,\27L2_所以或怆外—解得肛之或◎〈击，lgpN22,1所以的取值范围是小.W0,±13100,1V A7故选B【点睛】关键点点睛本题的求解关键是两边取对数得到积为定值.igEgy

二、多选题已知正数羽丁，满足则下列说法中正确的是

7.23=4=62,111,〉A.—+—=-B.3x4y6z C.xy2z D.x+yx2y z【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】正数x,y,Z满足

3、=4，=6Z,设

3、=4y=6,=，/1,贝」I x=log1,y=log1,z=log

1.346对于A，1^=log3llog,4log,6|,故A正确;+f+==对于B,3x=31og,4y=4kgj,6z=61ogj,33x310g3/

31.1团B-=-log4l,3xv4y,4y41og r4,344y_41og z24团团故错误;=-log6l,4yv6z,3xv4yv6z,B6z610g6,4对于C,由，=」十二〉4，一2y,两边平方，可得孙〉2Z2,故C正确;z x2y V2xy对于由盯可得而亚夜故正确.D,2z,x+y223*=282[5-+z V,D故选ACD音乐是由不同频率的声音组成的，若音工的频率为力则简谱中七个音

8.do1do,2re,3mi,9814327243组成的音阶频率分别是力其中4fa,5so,6la,7si-1/,o643216128相邻两个音的频率比后一个音比前一个音的比是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为,队叫,〃称为全音，夕称为半音，则下列关系式成立的是参考数据怆

20.3010,1g3^

0.4771A.a=2/3B.a=J32C.|lg6r-lg^|

0.01D.|lgcr-21gy5|

0.01【答案】CD992569999256【分析】由题意可知,相邻两个音的频率比分别为三，从而根据题意可得=白尸=三，H mHa oo243o o o o243然后逐个计算判断即可092569999256【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，/三，，，/所以:尝,0oo243oo8o243对于、所以故错误，A,aSB A对于丰伊，所以错误，B,a B对于C,|lga—lg/|=lg|-lgf||=|lg32-lg23-lg28+lg35|=|71g3-lllg2|^

0.

02870.01,故C正确.对于D,|lg21g〃|=—=|lg32-lg23-2lg28-lg35|=|121g3-191g2|^

0.

00620.01,故D正O J确.故选CD.下列命题正确的有

9.若,则若则A.B.M=l,x+lnx=0C.若b,则D.2V=6,y=log6,则xy4a b3【答案】BD【分析】可通过反例排除、对于两边取对数即可，对于通过对数运算得到个的式子，应用基A C,B,D,本不等式即可确定.【详解】对于故错误；A,3-2,-1-3^3x-1-2x-3,A对于故正确；B,xh=l=lnx=lnl=lnx+ln/=0=x+lnx=0,B对于故错误；C,2-2=1-^,C22又寸于D,2V=6=x=log6=l+log3,y=log6=1+log2,所以肛=l+log31+log2=l+log3+log2+22332323故正确.log3-log2=2+log3+log22+2Jlog3•log2=4,D23233故选BD.

三、填空题设若优=（以严,则〃（〃）=.

10.0,9log37【答案】看【分析】结合已知条件，利用指对互化和对数的运算即可求解.【详解】因为相=（,所以log aa=log”

（9）6,即=6a log”

（9）n=log”

（9）,o从而*=9n Q=35_Z757故log

（3）=log±35）log3=—.335J1Z1Z7故答案为—.

11.已知若log/+log〃Q=一,〃=Z,则+2力=.【答案】8【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解.【详解】解由log,*+k）g/=],且log*・log/=l所以喝是方程的两根，loga,V—/+1=0解得或,log/,a=2log/,又ab\,所以log〃a=2,即〃=/,又ah=b从而=//=且〃=/,则a=2/,b=2,a=

4.所以+»=

8.故答案为

8.

12.若2V-k）g4—2曰=0,卮底」小次=-1，则『7的值是.v【答案】3【分析】根据给定条件结合指数、对数运算法则变形，指数式与对数式的互化求出即可计算作答.x,y【详解】由日=得（）即解得=乙乙2-log,4—22log4-1=0,log,4=16,t由J log、・log5；v=-l得J/logQx=-log50,整理得2log52-log5-l=0,v xx解得log“5=-!或log*.5=l舍去，则有彳=5，即工=j2人一25所以yj~~y=,25-16=

3.故答案为3

四、解答题2-2xfAP

13.1+6U7；2已知机=lg2,10〃=3,计算的值.【答案】11；2JLI【分析】

（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算作答.

（2）利用指数式与对数式互化求出〃，代入并结合对数运算法则求解作答.【详解】

（1）原式=[4）2/-2+4乂[4）3]2了163631=—216362216162由10〃=3得〃=怛3,而加=lg2,.1616所以,]04〃J-3〃_1041g2_31g3_101gl6Tg27_|Q g2727我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为〃声压〃用表示（单位

14.P Pa（帕））〃声压级〃（单位（分贝））表示声压的相对大小.已知它与某声音的声压尸与基准S dB声压P的比值的常用对数（以为底的对数）值或触匕”，即（攵是比例系数）.当声1=2xHPa S=-g^压级提高时，声压会变为原来的倍.S60dB P1000⑴求声压级关于声压的函数解析式；S P⑵已知两个不同的声源产生的声压尸叠加后得到的总声压夕=二孑，而一般当声压级时人类是可P/,2S45dB以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声40dB源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据）lg2=

0.3P【答案】⑴S=2°1gB⑵不会，理由见解析【分析】

（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数Z的值，从而确定解析式将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压,代入解析式可求出对应的声压2P=J/f+g级，与比较大小，判断是否会干扰学习451p Pp\1000P由题意得8g丁B+60=-ghB，-g丁=+6=攵3+lg丁B,所以弘=60丛=20,所以2x102x102x1012x10J声压级关于声压的函数解析式为S PS=201g—2x10-5⑵不会干扰我们正常的学习，理由如下p pp将S=40代入5=20但丁工得1g丁0=2,所以不工=12,解得^-10^3=2103GfJ==2x2x102x102x10所以=用二可=应［=代入.得:2xlO-3,S=201g/X1u5=201g^|^^=201gV2xl02=40+101g2«4345,所以不会干扰我们正常的学习.

15.已知/〃=logm〃+2〃£%*,我们把使乘积/⑴・/2••…/〃为整数的数〃叫做〃贺数〃，求在内的所有〃贺数〃的和.2018【答案】

2026.【分析】先由换底公式得到了⑴2…-〃=1%九+2=式得到2=〃+2,对n取1,2018一一验证,再利用分组求和法求和.【详解】设.•…/=罂x鲁x...x；g,［=lg,；l=log2〃+2=左,则=〃+

2.lg ZIgD+1g Z当〃时、；=2k=2当九时,（舍去）;=3k=log5Z2当几时,（舍去）;=4k=log6Z2当九时,（舍去）;=5k=log7Z2当〃=6时、k=log8=3；2当〃=时，；1022k=\0若攵=11,贝ij〃=2048—2=20462018,不满足题意.所以〃£1,2018内的所有〃贺数〃的和为22—2+03—2+・・・+2i-2=

2026.

16.已知x,y,z都是大于1的正数，m0,且log.”根=24,log m=40,log m=12,求logz6的值・y of2【答案】60【分析】利用换底公式可得出log〃i==，logQn』，log,〃（个z）=:,然后利用对数的运算性质可得出乙V/4JLlog,〃Z,然后利用换底公式可得出log.m的值.【详解】・.・log,m=24,log m=40,log.m=12,v・•.log x=—^―=—m log m24v1/\1同理可得iog,〃y=茄，log,〃（乎尸正，・・・log机z=log,（孙Z）—log,x-log,”y=g看一需=卷因此，log m=—i-=

60.zlog,”z例1有以下四个结论:

①lglglO=O；

②lnlge=O；

③若io=lgx,则x=10；

④若e=lnx,则…,其中正确的是A.

①②B.

②④C.

①③D.

③④【答案】A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，

①正确；

②正确；lglglO=lgl=O,lnlne=lnl=O,对

③，10=lgx=x=ly°,错误；对

④，e=lnx=x=ec,错误.故选A.例多选题下列说法正确的有2零和负数没有对数A.任何一个指数式都可以化成对数式B.以为底的对数叫做常用对数C.10以为底的对数叫做自然对数D.e【答案】ACD【分析】根据对数的定义即可判断答案.【详解】由对数的定义可知正确；ACD对当且时，才能化为对数式.B,0QW1q=N故选ACD.例已知吗+求实数的值.313#+3x=1,x【答案】X=\【分析】根据对数的性质，列出式子，求解即可.x2+3x=x+3,【详解】由对数的性质，知卜解得2+3%0,x=l.且x+30x+3w1,■知识点2对数的运算性质如果Q0,且M3N3那么,M⑴logWMAO】logJV；⑵log〃w=log”—log“N；3logJVT=£R.=lo2M+I—,I x例已知则二=1lgx+lgy=2lgx—2y,或A.4B.1C.41D.【答案】A【分析】根据对数的运算法则计算即可.【详解】由题意得[砂=怆~犷团卜呼由

①得1g2=%-24[x-2y0,x0,y02-5xy+4y2=0,[]2y

0...

②解得日=或不满足

②，舍去，；0—-5—+4=0,42=10—=4⑴yy故选A.例多选题下列各式正确的有2A.lnlgl0=0B.Ig2+lg5=lC.若10=lgx,则x=10D.log x~~则x=525【答案】ABD【分析】利用对数的运算性质判断、根据指对数的关系求判断、A B,x CD.【详解】Alnlgl0=lnl=0,正确;BIg2+lg5=lg2x5=l,正确；D由25脸5]=255=5即％=5,正确;故选ABD例计算37Ilgl4-21g-+lg7-lgl8；J/2lg52+31g2+21g5+lg2xlg5；3log22+log32+3log2x|^log啊-|log266666【答案】102331c由nV=io味即x=iy°,错误;【分析】利用对数相加相减的运算法则求解即可；1提公因式，逐步化简即可求解；2逐步将原式化成只含匿和形式.3162log

631、一7]4x7方法一直接运算原式=+怆所」lgl4Tg§77gl8=3L=lg O.-xl8方法二拆项后运算JM^=lg2x7-2lg7-lg3+lg7-lg32x2=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7—21g3—lg2=

0.2原式=lg5xlg5+lg2+2lg2+lg5+lg2=lg5xlgl0+21gl0+lg2=2+lg5+lg2=

3.33/1o原式=log622+log32+31og2x log崇666=log6+log32+3log2X log我666『=log2+log32+2log2x log36666=log2+log32=

1.66知识点3对数的换底公式若0且c0,cWl,则有log〃N=^；lOgcUN3例1若10g23xl0g36〃2X10g96=J,则实数加的值为A.4B.6C.9D.12【答案】A【分析】由换底公式对原式变型即可求解.【详解】01og3xlog/nxlog6^2369lg2lg36lg9lg3Igm lg6lg/711,1=-^―x——x——=———=—log.m=—lg221g621g341g24-2,01ogm=2,0m=

4.2故选A.例（多选题）下列运算中正确的是（）2log8——313A-际目海•病=病°5B.（11I v,og27若+一|=贝」〃〃-耳=（）C.14,15+3D.—+In Ine=7【答案】BD【分析】根据换底公式判断将根式化成分数指数累，再根据累的运算法则计算根据指数累的运算法则判A,B,断根据对数的性质判断C,D.【详解】解对于选项由换底公式可得警|=故不正确；A,log58,A嚏53______232313对于选项行.必=*.后=尸=病，故正确；B,B对于选项设两边分别平方可得+=产，因为〃+所以故C,1+2/=14,r=16,Cl yLI-47_^故不正确；J Cci Ici-r4/]、一脸7对于选项D,|-4-ln（lne）=2k,g27+lnl=7+0=7,故D正确.故选BD.例3

（1）求值我6+9」x8J+lg5OO—lgO.5；（0x32（）设求一+一的值.22=31=72,%y【答案】

（1）87；

（2）

1.【分析】

（1）利用分数指数事的运算性质和对数的运算性质求解即可，32

（2）依题意有x=log272,y=log372,然后代入一+一中利用对数的运算性质求解即可.x y_[26【详解】

（1）（72x^3）+92x8^4-lg500-lg

0.5a o500=23x32+3x4+lg-^=72+12+3=87,

0.5（）依题意有2x=log72,y=log72,-=log2,-=log3,x y23727232所以一+-=310g2+210g3=log

（89）=

1.727272xx y二.典型题型题型对数运算性质的应用1解题技巧对数式化简与求值的原则和方法

（1）基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

（2）两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；

②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.例酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定血液中酒精含量在之间为酒后1100mL20〜80mg驾车，及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了且在80mg

2.4mg/mL,停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至20%少需经过的小时数约为（）（参考数据怛馆）

20.3,

30.48A.12B.11C.10D.9【答案】B【分析】由题意（丫.应用对数的运算性质求，的范围，即可得结果.

2.41-20%2,【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于

0.2mg/mL,、1Jgl2=21g2+lg

30.6+

0.48令/小时后，（则/〉用一记一］一一,,小时，

2.41-20%y

0.2,g1—31g2=

0.9所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为小时.11故选B例（多选题）已知〉人且次则下列式子正确的有（）20,7=1,A.log6z+log/l B.log6z-log/02222C.2+24D.Z2--0a【答案】BC【分析】对根据对数的运算判断即可；对根据基本不等式判断即可；对根据人=,结合二次函AB,C,D,a数的性质判断即可.【详解】已知〃〉匕且人=故且匕0,1,对故错误；A,log a+log Z=\og ab=log l=01,A222212对故正确；B,log4z-log,/=log,tz-log-=-log.tz0,B a99对C,2a+2/2^12a-2h=2\l2a+b2722^=27=4J当且仅当Q=b=l时取等号，因为1,故成立，故正确；2+284C对D,因为人=，且81,^b2--=b2-b=bb-]0,故D错误；a a故选BC例3设x，yz均为正数，且

3、=4=

6.⑴试求之间的关系.xy,z⑵求使成立，且与〃最近的正整数即求与〃的差的绝对值最小的整数.2x=py⑶比较的大小.3x,4y,6z【答案】⑴,—=:z x2y2333%4y6z【分析】1令3=4，=6z=/,利用指对数互化求出x、V、z,由对数的运算性质求出,、,、1,由对1yz数的运算性质化简2-,与,，即可得到关系值；z x y由换底公式求出〃，由对数函数的性质判断〃的取值范围，找出与它最接近的个整数，利用对数的22运算性质化简与这个整数的差，即可得到答案；P2由得、、由于个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，313x4y6z,3从而得到这个数大小关系.31设3=4=62=，，由X、、z均为正数得el.故取以/为底的对数，可得xlog,3=ylog,4=zlog,6=

1.111回x=-----,y=----------,z=---------log,3log,4log,6---=log/6-log3=log,2=[log,4=1，zz x22y回工、、之间的关系为‘一一=，一.y zz x2y2〃=2=7^・log/4=2・log34=log

316.V log,3由得从而91627,log39vlog316vkg327,2p

3.]627而/-2=log16-log9=log—,3-p=log27-log16=log—.3333339161627256…1627由一+—=——矢口一—,1916243916…16।27c0^-2=log ylog—=3-

7.33从而所求正整数为

3.3g3x-4y=31og/-41ogJ=3lg3lg4=怛t=厂鲁工og43-ig

34.Ig31g4Ig3*lg4而lg/0,lg30,lg40,lg43lg34,03x4y.21g£_31g£=21gf21g6—31g4=21gWgG—Igd又回4y-6z=22log J-3log/=26Ig4・lg6Ig4-lg6lg4lg6而lg/〉0,lg40,lg60,lg62lg43,04y6z.故有3x4y6z.三.难点题型题型换底公式及其应用1解题技巧

1.换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明.换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定.

2.换底公式推导出的两个恒等式nlloga/^=—log.z2kg〃4=1,要注意熟练应用.Dlogb；NIII/4x+8y例1若

2、=33=IT1,则的取值范围是2+-------孙A.[1,4]B.[l,+oo C.2/^,+oo D.[4,+oo【答案】D【解析】首先利用指对互化，得到变形生电后，利用基本不等式求最值.2+=’,z+x y z xy^【详解】设所以即=左2=3=12=—1,log20,y=log k0z=log k039129所以_+—=—=log^2,—=log^3,4=log%12,xyz%yz「、124I~4所以当且仅当时，等号成立.z+4-+-=z+-2Jz.-=4,z=2X Z\Z故选D211一—i—=得到丁工，再变形已知式子后就【点睛】关键点点睛本题的关键是利用指对互化，以及换底公式,x可以使用基本不等式求最值.A.lgab=1g a+1g8lg^}=iga-\gbB.例多选题若必且必则下列等式中不正确的是20,W1,*伽丫,二垣:a31g-2\bC.【答案】AB【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假.【详解】对于力时，但是馆名〃无意义，该等式不正确;A,00ab0,1g对于时，加但是怛兄怛〃无意义，该等式不正确；B,0/070,对于必=/按照对数的运算法则，该等式正确；C,0,blogz,x ab1对于由换底公式得，怆1——京，该等式正确.D,必而log1°110故选AB.【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用.L_L__L求证:1zx2y例3已知正实数x,y,z满足

3、=4，=

6.比较的大小.23x,4y,6z。