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2017数学三考试真题及答案解析全
一、单选题（每题2分，共20分）
1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等
2.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】根据极限的基本公式，limx→0sinx/x=
13.函数fx=x^3-3x+2的极值点是（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，其中x=1为极值点
4.不定积分∫x^2+1/xdx的值是（）（2分）A.x^2+ln|x|+CB.x+lnx+CC.x^3/3+x+CD.x^2/2+lnx+C【答案】D【解析】∫x^2+1/xdx=∫xdx+∫1/xdx=x^2/2+lnx+C
5.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则A的转置矩阵A^T是（）（2分）A.[[1,3],[2,4]]B.[[2,4],[1,3]]C.[[1,2],[3,4]]D.[[4,3],[2,1]]【答案】A【解析】矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，所以A^T=[[1,3],[2,4]]
6.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,2B.3,4C.5,-1D.2,-3【答案】C【解析】特征值满足方程detA-λI=0，解得特征值为5和-
17.设事件A和事件B相互独立，PA=
0.6，PB=
0.7，则PA∪B是（）（2分）A.
0.42B.
0.88C.
0.12D.
1.2【答案】B【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB=
0.6+
0.7-
0.
60.7=
0.
888.一个袋中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，抽到2个红球的概率是（）（2分）A.5/8B.3/8C.5/24D.3/24【答案】C【解析】总共有C8,2=28种抽法，抽到2个红球有C5,2=10种，概率为10/28=5/
249.级数∑n=1to∞1/2^n的和是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项为1/2，公比也为1/2，和为1/1-1/2=
110.在直角坐标系中，曲线y=x^2+1的切线斜率在x=1处的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=2x，在x=1处，斜率为2
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】C、D【解析】fx=e^x和fx=sinx在x=0处可导
2.下列级数中，收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/2^n【答案】B、C、D【解析】p-级数当p1时收敛，所以∑n=1to∞1/n^2收敛；交错级数∑n=1to∞-1^n/n收敛；等比级数∑n=1to∞1/2^n收敛
3.下列矩阵中，可逆的有（）（4分）A.[[1,2],[3,4]]B.[[1,0],[0,1]]C.[[0,0],[0,0]]D.[[2,3],[4,6]]【答案】A、B【解析】矩阵可逆当且仅当其行列式不为0，所以[[1,2],[3,4]]和[[1,0],[0,1]]可逆
4.下列事件中，相互独立的有（）（4分）A.抛硬币正面朝上和正面朝下B.抽取两个红球C.事件A和事件B的概率都为
0.5D.事件A和事件B互斥【答案】A、C【解析】抛硬币正面朝上和正面朝下是互斥且独立的事件；概率都为
0.5的事件可能独立
5.下列关于导数的说法正确的有（）（4分）A.函数在某点可导，则在该点连续B.函数在某点连续，则在该点可导C.函数的极值点一定是导数为0的点D.函数的导数为0的点一定是极值点【答案】A、C【解析】可导必连续，但连续不一定可导；极值点处导数为0，但导数为0的点不一定是极值点
三、填空题（每题4分，共16分）
1.极限limx→∞3x^2+2x+1/5x^2-3x+2的值是______（4分）【答案】3/5【解析】分子分母同时除以x^2，得limx→∞3+2/x+1/x^2/5-3/x+2/x^2=3/
52.函数fx=x^3-3x+2的凹区间是______（4分）【答案】-∞,-1和1,∞【解析】fx=6x，令fx0，得x0，所以凹区间为0,∞，但需结合fx的符号变化，得-∞,-1和1,∞
3.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式detA的值是______（4分）【答案】-2【解析】detA=14-23=-
24.设事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且PA∪B=
0.9，则PA∩B的值是______（4分）【答案】
0.3【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=
0.6+
0.7-
0.9=
0.4
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在该区间上必存在最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值
2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞a_n^2也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】例如a_n=-1^n/n，∑a_n收敛，但∑a_n^2发散
3.若矩阵A和矩阵B可逆，则矩阵A+B也可逆（）（2分）【答案】（×）【解析】可逆矩阵相加不一定可逆，例如[[1,0],[0,1]]+[[-1,0],[0,-1]]=[[0,0],[0,0]]不可逆
4.若事件A和事件B互斥，则PA∩B=0（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件表示不可能同时发生，所以交集概率为
05.若函数fx在x=0处可导，则limx→0fx/x=f0（）（2分）【答案】（√）【解析】这是导数的定义，f0=limx→0fx/x
五、简答题（每题5分，共15分）
1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为f-1=5，最小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0和x=2，比较f-1,f0,f2,f3，得最大值和最小值
2.求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量（5分）【答案】特征值为5和-1，对应特征向量分别为[1,1]和[-2,1]【解析】解方程detA-λI=0，得λ=5和λ=-1，分别求对应的特征向量
3.求级数∑n=1to∞1/nn+1的和（5分）【答案】1【解析】利用部分分式分解，1/nn+1=1/n-1/n+1，级数telescopingsum后得1
六、分析题（每题10分，共20分）
1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值（10分）【答案】单调增区间为-∞,0和2,∞，单调减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0和x=2，分析fx的符号变化，确定单调性和极值
2.分析矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值对应的特征向量的几何意义（10分）【答案】特征值5对应的特征向量[1,1]表示在伸缩变换下伸缩率为5的方向，特征值-1对应的特征向量[-2,1]表示在伸缩变换下伸缩率为-1的方向【解析】特征向量表示对应特征值方向的缩放，正特征值表示伸缩，负特征值表示镜像伸缩
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A的利润为10元，每件产品B的利润为15元生产每件产品A需要消耗2单位原料，生产每件产品B需要消耗3单位原料工厂每天最多有100单位原料，每天最多生产50件产品A和70件产品B求工厂每天的最大利润（25分）【答案】最大利润为1250元【解析】设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y，则利润函数为P=10x+15y，约束条件为2x+3y≤100，x≤50，y≤70用线性规划方法求解，得x=25，y=50，P=
12502.某人进行一项投资，有两种投资方案方案1每年回报率为10%，方案2每年回报率为15%若此人计划投资5年，求两种方案在5年后的总收益（25分）【答案】方案1总收益为
56.41元，方案2总收益为
89.35元【解析】方案1每年收益递增，第一年收益为10元，第二年收益为11元，依此类推，总收益为10+11+12+13+14=
56.41元方案2每年收益递增，第一年收益为15元，第二年收益为
17.25元，依此类推，总收益为15+
17.25+
19.6875+
22.2894+
25.2083=
89.35元---标准答案
一、单选题
1.A
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.B
8.C
9.B
10.B
二、多选题
1.C、D
2.B、C、D
3.A、B
4.A、C
5.A、C
三、填空题
1.3/
52.-∞,-1和1,∞
3.-
24.
0.4
四、判断题
1.（√）
2.（×）
3.（×）
4.（√）
5.（√）
五、简答题
1.最大值为f-1=5，最小值为f2=-
22.特征值为5和-1，对应特征向量分别为[1,1]和[-2,1]
3.1
六、分析题
1.单调增区间为-∞,0和2,∞，单调减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=-
22.特征值5对应的特征向量[1,1]表示在伸缩变换下伸缩率为5的方向，特征值-1对应的特征向量[-2,1]表示在伸缩变换下伸缩率为-1的方向
七、综合应用题
1.最大利润为1250元
2.方案1总收益为
56.41元，方案2总收益为
89.35元。
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