20道函数面试题及精准答案

20道热门函数面试题及精准答案

一、单选题

1.下列哪个函数是偶函数？（）（1分）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=sinxD.fx=logx【答案】A【解析】偶函数满足f-x=fx，只有fx=x^2符合此条件

2.函数fx=e^x在定义域内是（）（1分）A.单调递减B.单调递增C.周期函数D.非连续函数【答案】B【解析】指数函数e^x在整个实数域内单调递增

3.函数fx=1/x在点x=0处（）（1分）A.连续B.可导C.有极限D.无定义【答案】D【解析】函数1/x在x=0处无定义

4.函数fx=|x|在x=0处的导数是（）（1分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】|x|在x=0处不可导

5.函数fx=x^3-3x的极值点是（）（1分）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=0和x=1【答案】D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，均为极值点

6.函数fx=sinx+cosx的周期是（）（1分）A.2πB.πC.π/2D.4π【答案】A【解析】sinx和cosx的周期均为2π

7.函数fx=arctanx的值域是（）（1分）A.RB.-π/2,π/2C.[0,π]D.-π/2,π/2]【答案】B【解析】arctanx的值域为-π/2,π/

28.函数fx=x^2-4x+4的顶点坐标是（）（1分）A.2,0B.2,4C.0,4D.-2,-4【答案】B【解析】顶点坐标为-b/2a,f-b/2a，即2,

09.函数fx=2^x在x→-∞时极限是（）（1分）A.0B.1C.∞D.-∞【答案】A【解析】指数函数2^x在x→-∞时趋近于

010.函数fx=tanx的间断点是（）（1分）A.x=0B.x=π/2C.x=πD.x=2π【答案】B【解析】tanx在x=π/2处无定义，为间断点

11.函数fx=x^2在[1,2]上的积分是（）（1分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】∫[1,2]x^2dx=[x^3/3]from1to2=8/3-1/3=7/

312.函数fx=lnx在x=1处的导数是（）（1分）A.1B.0C.ln1D.1/x【答案】D【解析】lnx的导数为1/x，在x=1处为

113.函数fx=sinxcosx的导数是（）（1分）A.sinx+cosxB.cosx-sinxC.sin2xD.cos2x【答案】D【解析】sinxcosx的导数为cos^2x-sin^2x=cos2x

14.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（1分）A.1+x+x^2B.1+x+x^2/2C.1-x+x^2D.1+x-x^2【答案】B【解析】e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2+...，前三项为1+x+x^2/

215.函数fx=arccosx的导数是（）（1分）A.1/xB.-1/xC.1/√1-x^2D.-1/√1-x^2【答案】D【解析】arccosx的导数为-1/√1-x^

216.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的值是（）（1分）A.1B.0C.2D.3【答案】A【解析】f1=1-4+6-4+1=

017.函数fx=x/x-1在x=1处的极限是（）（1分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】x→1时，分子分母同时趋近于0，极限不存在

18.函数fx=sinx在x=π处的值是（）（1分）A.0B.1C.-1D.π【答案】A【解析】sinπ=

019.函数fx=x^2-2x+1的判别式Δ是（）（1分）A.0B.2C.4D.6【答案】A【解析】Δ=b^2-4ac=-2^2-411=

020.函数fx=1/x^2+1的值域是（）（1分）A.0,1B.0,1]C.[0,1]D.R【答案】A【解析】1/x^2+1的值域为0,1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是周期函数？（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=x^2E.fx=arctanx【答案】A、B、C【解析】sinx、cosx和tanx是周期函数，x^2和arctanx不是

2.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=e^x【答案】A、C、D、E【解析】|x|在x=0处不可导

3.以下哪些函数是偶函数？（）A.fx=x^4B.fx=x^3C.fx=cosxD.fx=sinxE.fx=tanx【答案】A、C【解析】x^4和cosx是偶函数

4.以下哪些函数在x=1处连续？（）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=lnx【答案】A、C、D【解析】1/x在x=1处连续，lnx在x=1处连续

5.以下哪些函数是单调递增的？（）A.fx=e^xB.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=logxE.fx=x^3【答案】A、D、E【解析】e^x、logx和x^3在整个实数域内单调递增

三、填空题

1.函数fx=x^2-4x+4的顶点坐标是______（4分）【答案】2,

02.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是______（4分）【答案】2π

3.函数fx=e^x在x=0处的导数是______（4分）【答案】

14.函数fx=arctanx的值域是______（4分）【答案】-π/2,π/

25.函数fx=1/x^2+1的值域是______（4分）【答案】0,1

四、判断题

1.函数fx=x^3在x=0处可导（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2，在x=0处导数为0，可导

2.函数fx=sinx是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】sin-x=-sinx，sinx是奇函数

3.函数fx=x^2-4x+4在x=2处取得极小值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，但x=2为拐点，非极值点

4.函数fx=lnx在x=1处的导数是1（）（2分）【答案】（√）【解析】lnx的导数为1/x，在x=1处为

15.函数fx=e^x在整个实数域内单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】指数函数e^x在整个实数域内单调递增

五、简答题

1.简述函数单调性的判断方法（5分）【答案】函数单调性的判断方法主要有两种

（1）利用导数判断若fx0，则fx在区间I内单调递增；若fx0，则fx在区间I内单调递减

（2）利用定义判断若对于任意x1x2，都有fx1fx2，则fx在区间I内单调递增；若对于任意x1x2，都有fx1fx2，则fx在区间I内单调递减

2.简述函数极值的判断方法（5分）【答案】函数极值的判断方法主要有两种

（1）利用导数判断若fx在x=c处由正变负，则fx在x=c处取得极大值；若fx在x=c处由负变正，则fx在x=c处取得极小值

（2）利用二阶导数判断若fc=0且fc0，则fx在x=c处取得极小值；若fc=0且fc0，则fx在x=c处取得极大值

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-2,3]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）令fx=0得x=0和x=2，为驻点

（3）求二阶导数fx=6x-6

（4）f0=-60，故x=0处取得极大值f0=2

（5）f2=60，故x=2处取得极小值f2=-2

（6）计算端点值f-2=-8，f3=0

（7）故在[-2,3]上，最大值为f3=0，最小值为f-2=-

82.分析函数fx=sinxcosx在[0,π]上的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导数fx=cos^2x-sin^2x=cos2x

（2）令fx=0得x=π/4和x=3π/4

（3）求二阶导数fx=-2sin2x

（4）fπ/4=-√20，故x=π/4处取得极大值fπ/4=1/2

（5）f3π/4=√20，故x=3π/4处取得极小值f3π/4=-1/2

（6）在[0,π/4]上，fx0，单调递增；在[π/4,3π/4]上，fx0，单调递减；在[3π/4,π]上，fx0，单调递增

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在[0,3]上的最大值和最小值，并证明（25分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）令fx=0得x=0和x=2，为驻点

（3）计算驻点值f0=2，f2=-2

（4）计算端点值f0=2，f3=0

（5）比较所有值，最大值为f0=2，最小值为f2=-2（证明）

（1）对于x∈[0,2]，fx≤0，故fx在[0,2]上单调递减

（2）对于x∈[2,3]，fx≥0，故fx在[2,3]上单调递增

（3）故在[0,3]上，fx的最大值为f0=2，最小值为f2=-2（注由于篇幅限制，此处仅展示部分内容，完整答案请参考实际考试要求）。