第02讲 立方根（解析版）2

第讲立方根02学习目标L立方根的概急—立方根的性质知识清单课程标准学习目标

1.掌握立方根的概念，能够熟练求一个数的立方根以及

①立方根的概念利用立方根对一个数开立方运算

②立方根的性质2,掌握立方根的性质，能够对其熟练应用知识点同类项

011.立方根的概念如果一个数的立方等于，那么这个数叫做〃的立方根或三次方根这就是说，如果4=Q,那么x叫做的立方根.记作—亚_其中，叫做三次根号根指数3不能省略

2.求立方根求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算【即学即练1】

1.求下面数的立方根.971-8；2—；3±125；481X

9.64【分析】直接利用立方根的意义计算得出答案即可.【解答】解1因为-23=-8,所以-8的立方根是-2,即为匚§=-2；所以每个小正方体木块的棱长是3T82故选A.A.也最大，/最小B.x最大，放最小C.%2最大，起最小D.x最大，/最小

8.若X1,则»、X,4，五这四个数中（）【分析】利用实数的大小比较来计算即可.【解答】解・・%1,/.%2XVx^/x J故选C.

9.若/=-32,/=-8,那么代数式x+y的值是A.1B.-1C.1或-1D.1或-5【分析】先由平方根与立方根定义求出x、y值，再代入计算即可.【解答】解•・•/=（-3）2=9,/.%=±3,Vy3=-8,•••y=-2,当x=3,y=-2时，x+y=3-2=l；当x--3,y=-2时，x+y=-3-2=-5；的值是1或-5,故选D.

10.实数牛丽介于力和加+1之间（〃2为整数），则加的值为（）A.1B.2C.3D.4【分析】根据立方根的定义估算出强在哪两个连续整数之间即可.【解答】解••・6499125,^64即4〈相55,则m=4,故选D.

11.-64的立方根是-

4.【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于，则的立方根是这个数进行求解.【解答】解根据立方根的意义，一个数的立方等于小则〃的立方根是这个数，可知-64的立方根为-

4.故答案为-

4.

12.如果一个正数的两个平方根是+1和2〃-22,这个正数的立方根是

4.【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，然后计算即可.【解答】解•・•一个正数的两个平方根是，+1和2-22,・1Q+1=-2a-22,解得=7,，这个正数是64,•••这个正数的立方根是4,故答案为

4.

13.已知5%-1的平方根是±3,丁-3的立方根是-2,则x+v=-

3..【分析】先根据平方根与立方根的定义求出x与y的值，再代入计算即可.【解答】解・・・5x-1的平方根是±3,-3的立方根是-2,/.5x-1=±32=9,y-3=-2-8,・・x=2,y—~5,・\x+y=-

3.故答案为-

3.

14.已知，贝4+〃一c的立方根是

2.♦【分析】根据非负数的性质列出方程求出、仄c的值，代入所求代数式计算即可.【解答】解•••,a-6b=

0.

9.a-6Z=0,c+b=O,c+l=O,即c+b=O，lc+l=Oa=6解得4b=l，,C=-la+b-c=6+l--1=8,A8的立方根是2,故答案为

2.

15.若版画I-2XT=0，则一的值为0或-1或一^.【分析】根据立方根的定义得出2x+l=l或2x+l=0或2x+l=-1即可.【解答】解由于如2x+l-2x-l=0即=2x+l,所以2x+l=1或2x4-1=0或2x+l=-1,解得x=0或x=-2或x=-1,2故答案为或-1或」.

216.计算

①相义年-

②幻343-A/-

0.1251年.

③,-需十寸【分析】

①先开立方，然后进行有理数的乘法运算即可；

②先开立方，然后进行有理数的减法运算即可；

③先开立方，然后进行有理数的加法运算即可；【解答】解

①原式=2X-142，

②原式=7--

0.5=

7.5；

③原式=一3+222=-

1.

17.求下列各式中未知数x的值.1/=一22―x+13=

250.2163【分析】1直接开立方求解.；2两边同时除2,然后开立方求出』x+1的值，然后求解x的值.3【解答】解1开立方得x=-2；62两边同时除2得，2x+l3=125,3开立方得—x+l=5,3移项得-l=4,3x系数化为1得x=

12.

18.已知2+1的一个平方根是3,1-h的立方根为-

1.1求4与的值；2求〃+2人的立方根.【分析】根据题意求出、〃的值即可得到答案.【解答】解1・・・2〃+1的一个平方根是3,・・2Q+1=9,解得a=4；9\-b的立方根为-1,.b-1=1,解得b=2；2・・=4,b=2,・・・+2h=4+22=8,/.a+2h的立方根是

2.

19.某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为16CT72,8C、m和4C、〃2,求原来每个正方体钢铁的棱长.（不计损耗）【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.【解答】解根据题意得:答原来正方体钢锭的棱长吗近

20.完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题.X•••

0.

0640.6464640064000Vx•••

0.

252980.88m

252.98n

0.

8618418.56640•••Vx

（1）表格中的〃2=80,n=

0.

4.

（2）从表格数字中可以发现开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位.请用文字表述立方根的变化规律开立方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位.

（3）若爪=

14.142,牛丽求a+b的值.（参考数据6=

1.4142,收=

4.4721,,Vo77^O.8879）【分析】

（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可；

（2）由表格中的数字变化规律得出结论；

（3）根据算术平方根、立方根的变化规律进行解答即可.【解答】解

（1）・・•8（）2=6400,/.6400的算术平方根是“6400=80,即加=80,V

0.43=

0.064,/.

0.064的立方根是=

0.4,即〃=

0.4,故答案为80,

0.4；2故答案为开立方根时，被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根的小数点随即向左或向右移动一位；3根据平方根的变化规律得7^2^

1.4142,A V200^

14.142,即〃=200,根据立方根的变化规律得•

90.8879,•••祈丽-

8.879,BP0=

8.879,・・・Q+/=200+

8.879=

208.

879.

（2）因为（旦）3=21,所以2Z的立方根是3,即:序L=3；464644V644

（3）因为（±5）3=±125,所以±125的立方根是±5,即郎±125=±5；

（4）81X9=729,因为93=729,所以729的立方根是9,即=

9.【即学即练2】

2.解下列方程

（1）1=512

（2）64一125=0

（3）（x-1）3=-

216.【分析】

（1）根据开立方，可得答案；

（2）根据移项、等式的性质，可得乘方形式，根据开方运算，可得答案；

（3）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案.【解答】解；

（1）开方，得x=8；

（2）移项、系数化为1得，x3=4^64T4

（3）开方，得x-1=-6,移项，得x=-

5.知识点立方根的性质

021.立方根的基本性质由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有1个立方根正数的立方根是正数；0的立方根是一0;负数的立方根是负数立方根等于它本身的数是.0,±

12.其他性质

①一个数的立方根的立方等于它本身即（妫

②一个数的立方的立方根等于它本身即

③一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根即-妫=胪工【即学即练1】

3.计算（相）3=5•【分析】根据，即可.【解答】解•・・，（）••^53=5,故答案为

5.【即学即练2】

4.计算=

7.【分析】根据立方根的定义进行解题即可.【解答】解=ki=-L题型精讲故答案为-

1.题型求一个数的立方根01【典例1】8的立方根为A.-2B.2C.±2D.64【分析】首先根据立方根的定义求出8的立方，然后就可以解决问题.【解答】解:2的立方是8,A8的立方根为

2.故选B.【变式1】-8的立方根是A.2B.-2C.不存在D.一」2【分析】根据立方根的定义进行解答.【解答】解•••-23=-8,，-8的立方根是-

2.故选B.【变式2】求下列各数的立方根

9710.125；2--；

3729.64【分析】根据立方根的定义逐个进行计算即可.【解答】解；

10.125的立方根是

0.5,即=

0.5；⑵-乡的立方根是即;一条644V6443729的立方根是9,即=

9.题型利用立方根解方程02【典例1】求下列各式中x的值.1=

0.027；28X-13=-

64.【分析】1先两边同时除以-1,系数化为1,再开立方法进行解答；2先两边同时除以8,系数化为1,再开立方法进行解答.【解答】解1-=

0.027,x3=-

0.027,x=-

0.3；28x-13=-64,x-13=-8,x-1=-2,x=-

1.【变式1】求下列各式中的x值.

①2=--1

②x+13=8

③3x-13-81=

0.4【分析】根据立方根的定义求解即可.【解答】解

①系数化为1得，=-看,解得x=-£■；2

②开立方得，x+l=2,解得x=\；

③移项得，3x-13=81,系数化为1得，x-13=27,解得:x=

4.【变式2】求下列各式中的x.1125=82-2+x3=-2163=-2427x+13+64=

0.【分析】题中的四小题都可用直接开立方法进行解答.【解答】解⑴••・/=磔=塔,22•/-2+x3=-216=-63,-2+x=-6,x=-

4.644x+13=273V=-2,Ax+1=-x=-

6.=-LX3题型立方根的性质03］【典例1立方根和算术平方根都等于它本身的数是（）A.0B.1,0C.0,1,-1D.0,-1【分析】首先设出这个数为X,根据立方根是它本身列式为/=%,由算术平方根是它本身列式为4=%,联立两式解得X.【解答】解设这个数为X,［根据题意可知，x=x,［Vx=x解得X=1或0,故选B.【变式1】已知，则--x的值为（）A.0或1B.0或2C.0或6D.

0、2或6【分析】根据立方根等于本身的数有0,±1,求出x的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案.【解答】解•••立方根等于本身的数有0,±1,Ax-1=0或x-1=土1,解得尤=1或或2,的值为0或

2.故选B.【典例2］（-4）3的立方根是（）A.4B.-4C.2D.-2【分析】根据题意可得（-4）3=-64,再根据立方根的性质，即可求解.【解答】解•••（-4）3=-64,，（-4）3的立方根是石瓦故选B.【变式1】若0,则化简以一卬？-2）3的结果为（）A.2B.-2C.2-2a D.2a-2【分析】结合已知条件，根据算术平方根及立方根的定义化简即可.【解答】解・・・40,・二原式=~ci-（-2）=-a-+2=2-2a,故选C.【变式2】若斗（5-k）3=『5,则%的值为

5.【分析】根据立方根的定义即可求得答案.【解答】解・・・R（5_k）3=5—-，:・k=5,故答案为

5.］【典例3如果，那么尤与y的关系是（）A.x=y=O B.x=y C.x+y=O D.xy=1【分析】如果一个数的立方等于，，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果/=〃，那么x叫做的立方根.记作，由此即可得到答案.【解答】解:，Vx__Vy=Vy-y,x+y=

0.故选C.题型算术平方根、平方根以及立方根综合应用04【典例1】一个正数b的平方根为+1和2a-7,则9a+b的立方根是（）A.2B.3C.9D.±3【分析】根据平方根的性质正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0即可求解.【解答】解・••正数人的平方根为4+1和2〃-7,.••4+1+2-7=0,4=2,4+1=2+1=3,•••6=32=9,.•.9^=9X24-9=27,的立方根是3,故选B.【变式11若2+1的平方根是±3,3b-1的立方根是2,则a+h的值是

7.【分析】根据平方根及立方根的定义分别求得，人的值，然后将其代入+匕中计算即可.【解答】解・.・24+1的平方根是±3,3-1的立方根是2,・・・2+1=9,3b-1=8,解得a=4,b=3,则ci+b—4+3—79故答案为

7.］【变式2已知2-1的平方根是±3,3a^b-1的算术平方根是4,求〃++1的立方根

2.【分析】根据平方根及算术平方根的定义求得m匕的值后代入++1中计算，然后利用立方根的定义即可求得答案.【解答】解1的平方根是±3,3〃+6-1的算术平方根是4,.\2a-1=9,3〃+/-1=16,・・〃=5,b=2,・*•a+b+1=5+2+1=8,那么〃++1的立方根为2,故答案为

2.【变式3】已知+1的平方根是±2,2〃+b-2的立方根是2,则2+供的算术平方根是

5.【分析】根据平方根及立方根的定义求得，b的值，然后将其代入屋+庐中计算，再利用算术平方根的定义即可求得答案.【解答】解・.,〃+1的平方根是±2,2〃+匕-2的立方根是2,・•Q+I=4,2a+b-2=8,・.Q=3,/=4,则oW=32+42=9+16=25,那么原式的算术平方根是5,故答案为

5.强化训练

1.-士的立方根为（）D-l27【分析】直接根据立方根的定义解答即可.【解答】解•••（-2）3=-±,327，-士的立方根为273故选A.

2.下列各式中，正确的是（）A.±V9=±3B.-（施）2=4C.=-3D・7-22=-2【分析】依据平方根、平方根立方根、算术平方根的定义和性质求解即可.【解答】解A、±V9=±3,故A正确；B、-（V2）2=-2,故5错误；、年0£-3,故错误；D、d（—2）2=y=2,故Q错误.故选A.

3.下列结论正确的是（）A.64的立方根是±4B.1的平方根是1C.算术平方根等于它本身的数只有0D-=-V27【分析】直接根据立方根，平方根，算术平方根的概念解答即可.【解答】解A64的立方根是4,不正确，不符合题意；A1的平方根为±1,不正确，不符合题意；C.算术平方根等于它本身的数只有1和0,不正确，不符合题意;D=-3,-^27=-3,故=-际正确，符合题意.故选D.

4.甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论甲当＞0时，底二乙:〃＜0时，A.只有甲、乙正确B.只有甲、丙正确-爪^二.a；丙当＞0时，0-瑞，则下列说法正确的是（）C.甲、乙、丙都正确D.甲、乙、丙都不正确【分析】利用平方根，算术平方根和立方根的性质对甲，乙，丙进行逐一判断即可得出结论.【解答】解:当〃0时，值」，•・甲的说法正确；•「aVO时，-^^=一（-〃）=〃，•，乙的说法不正确；・,当〃0时，V-a=-Va••・丙的说法正确.•故选B.

5.已知而=，则如

0.007+S000的值是（）A.QAa B.a C.\Aa D.\OAa【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案.【解答】解・・・^二a，3_2^_，切0007+即7000=如OOOX7=+弘000X^7=^10a=

10.la.V100°V100010故选D.

6.若a,人为实数，且后J+（9-b）2=0,则的值为（）A.-2B.2C.±2D.3【分析】根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出a、b的值，然后代入求解,最后求数的立方根即可【解答】解■立互+（9—b）2=o，・・.Q+1=0,9-Z=0,解得:a=-1,b=9,划a+b=弘1+9=我=2，故选B.

7.一个正方体木块的体积是27°毋，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（）3993A・—cir B・—cir C・—CR D・—RC2424【分析】由题意可知每个小正方体木块的体积为久5？，再根据立方根的定义即可求出个小正方体木块8的棱长.【解答】解一个正方体木块的体积是27小,将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的体积为2工〃产，。