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第讲整式.单项式和多项式
081.理解单项式，多项式和整式的概念，并能判定单项式，多项式和整式；
2.掌握单项式，多项式的系数和次数求法；
3.经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识,数到字母的转变过程基础知识知识点单项式
11.单项式定义
（1）定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式说明单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2、单项式的系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.2说明
（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数如3/的系数是3；空的系数是1；
4.833的系数是
4.8；
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号如—4盯2的系数是—%—（2/y）的系数是—2；
（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或.1,不能认为是0,如-ah的系数是J；从的系数是1;
（4）表示圆周率的兀，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分,而不能当成字母如2nxy的系数就是
2.
3、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明【答案】-，？
68.128【解答】解根据规律可得第〃个式子是（-』）丁丫卬
7.2•••第8个式子是-
8.128故答案为-二一/
68.128考点8多项式中的规律探究例9（2021秋•峪帽区校级月考）一组按规律排列的代数式a+2b,a2-2b\cc+lb5,a-2引,……则第7个式子是/+2相
3.【答案】一+2声.【解答】解观察代数式，得到第7个式子是/+2〃
3.故答案为G+2//
3.【变式9-1］（青岛模拟）有一组多项式a-h2,〃3+以〃5一或，+川,・・・，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为》-1+（-］）啥〃.【答案】见试题解答内容【解答】解:根据题意得第〃个多项式为/〃.1+（-1）〃例,故答案为2-1+（-J）n2nb【变式9-2］（2022秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式a+b,a2-b3,办户，八人…,其中第〃（〃为正整数）个式子的次数是（）A.n B.2n-1C.3n-1D.2n【答案】B【解答】解Va+b a2-Z3,a3+h5,--巩…,9的指数依次为1,2,3,4,5,6,…,b的指数依次为1,3,5,7,•••,（2X1-1=1,2X2-1=3,2X3-1=7,•••）,••・第九（〃为正整数）个式子的次数是2及-1,故选B.］臧真题演练［|■IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII.A.3B.a D.—x2y2【答案】C【解答】解43是单项式，故本选项不符合题意;
3、是单项式，故本选项不符合题意;C、上不是单项式，故本选项符合题意;a是单项式，故本选项不符合题意;故选C.
2.（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（）B.xy D.-3x【答案】B【解答】解A.7+1是多项式，故A不合题意;B.孙是二次单项式，故3符合题意;C.fy是次数为3的单项式，故C不符合题意;D.-3x是次数为1的单项式，故不符合题意;故选B.
3.（2023•祥云县模拟）探索规律观察下面的一列单项式:、-2X
2、4X3-8%416X5,,,,根据其中X的规律得出的第9个单项式是（）A.256/B.-256/C.-512/D.512x9【答案】A【解答】解根据题意得第9个单项式是2与9=256F.故选A.（2023•沙坪坝区模拟）单项式送乂的次数是（）
4.5*cB.2-l D.1【答案】D【解答】解单项式且乂的次数是
1.5%故选D.
5.（2023•东莞市校级一模）下列说法中正确的是（）A.2不是单项式B.且W的系数是二22C.的次数是3D.多项式5/-6帅+12的次数是4【答案】B【解答】解A.2是单项式，故此选项不符合题意；B.一且区的系数是二，故此选项符合题意；22C.的次数是2,故此选项不符合题意；D.多项式5/-6〃+12的次数是2,故此选项不符合题意.故选B.
6.（2022•大理州二模）观察这一系列单项式的特点lx2y,-Ax2/,-上34,…那么第个24816单项式为（）A.-
（1）%2y8B.
（1）W C.-
（1）W D.
（1）W2222【答案】A【解答】解工？-lx2/,iy,-Ly,…那么第8个单项式为一/
8.24*816*故选:A.
7.（2022•富川县三模）单项式-2//3的系数、次数分别是（）A.2,5B・-2,5C.2,6D.-2,6【答案】D【解答】解单项式-2/冲3的系数是-2,次数是2+1+3=6,故选D.
8.（2023•江西）单顶式Tab的系数为-
5.【答案】-
5.【解答】解-5帅的系数为-5,故答案为-
5.圉过关检测1・iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniis।
1.（2023•闵行区二模）单项式4孙2的次数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解答】解单项式4盯2的次数为2=3,故选C.
22.（2022秋•昆明期末）单项式上士工的系数、次数分别是（3A.」，4次B.三，4次C.工，3次D.-1,3次3333【答案】C2【解答】解单项式,兀xv的系数、次数分别是一三，3次.33故选C.
3.（2022秋•青秀区校级期末）下列说法中正确的是（）A.单项式的系数是一变，次数是35B.单项式机的系数是1,次数是0C.单项式2/廿0的系数是2,次数是4D.单项式的系数是一旦，次数是27【答案】4【解答】解4单项式的系数是一变，次数是3,故本小题符合题意;5B、单项式机的系数为1,次数是1,故本小题不合题意；C、2a2/2c的系数是2,次数为5,故本小题不合题意；D、单项式的系数是力，次数是3,故本小题不合题意.7故选A.
234.（2022秋•罗湖区校级期末）设单项式2xMz1的系数为次数为4则=（）3A.-4B.一
①C.4D.123【答案】A23【解答】解单项式-？xy y.的系数是一2,次数是6,33则=--,b=6,a3/.ab=--X6=-4,3故选A.
5.（2022秋•东丽区期末）多项式丁+2盯2十寸的次数是（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解答】解多项式J+2xy2+y3的次数是
3.故选B.
19.（2022秋•宜阳县期末）多项式4-2盯-y+2中的二次项是（）A.-2xy B.2xy C.x3D.-2【答案】A【解答】解:多项式『-2xy-y+2中的二次项是-2孙,故选A.
6.（2022秋•上海期末）代数式_3乂，工，x+y,,❷中是整式的有（）2x-y8A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解答】解代数式员工，x+y,,9中整式有一3x+»,9中，共4个.2X-y828故选D.
7.（2022秋•巴中期末）下列说法正确的是（）A.-的次数是6B.2是单项式aC.单项式-丁产的系数是一1D.3/-尹5孙2是二次三项式【答案】C【解答】解A、-2冗24》的次数是%说法错误，不符合题意；B、2不是单项式，说法错误，不符合题意；aC、单项式-小/的系数是一1,说法正确，符合题意；D、3/-y+5盯2是三次三项式，说法错误，不符合题意.故选C.
8.（2022秋•广州期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（）A.十次六项式B.十次三项式C.六次二项式D.四次二项式【答案】D【解答】解•••合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变，・•・一个五次三项式，加一个五次三项式，所得整式的次数不可能高于五次，故A,B,不正确，正确.故选D.
9.（2022秋•开江县校级期末）如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数（）A.都小于5B.都等于5C.都不小于5D.都不大于5【答案】D【解答】解一个多项式是五次多项式，那么它的最高次项的次数是5,则任何一项的次数都不大于5,故选D.
10.（2023•三台县校级一模）已知多项式2xy、l」（m-2）xy+l是三次三项式，则m的值为-
2.3【答案】-
2.【解答】解由题意得|m|=2,且——（IH-2）3解得fn=-
2.故答案为-
2.
11.（2022秋•滨海新区校级期末）若多项式JM+（〃L3）X+2022是关于x的三次三项式，那么根的值为
3.【答案】-
3.【解答】解:多项式是关于x的三次三项式，A|m|=3,:・m=±3,但m-3W0,即mW3,综上所述m=-
3.故答案为-
3.
12.（2022秋•平桥区期末）若2f+3y4与一2自向互为相反数，则〃=
1.m【答案】见试题解答内容【解答】解・・・2/+3y4与一212/〃互为相反数，・\772+3=2,2/2=4,••m■-—1,〃2,/.m=l,故答案为
1.
13.（2022秋•武冈市期末）已知多项式f+2一/+3_1是关于％、》的五次四项式，单项式一8x2y3z的次数为4是最小的正整数，求（a-b）+1的值.【答案】
16.【解答】解•・•多项式/，+92一4+/》一1是五次四项式，••+1=3,a=2,;单项式-8/y3z的次数为4c是最小的正整数，・・/=6,c=1,/.Qa-b）1=（2-6）I+.（-4）2=
16.，（-人）c+1的值为
16.
（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况如单项式2/y2z的次数是字母z,y,x的指数和，即4+3+1=8,而不是7次，应注意字母z的指数是1而不是0；
（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关如单项式-24/y3z4的次数是2+3+4=9而不是13次；
（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1,如单项式m的指数是1,单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；
4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“•”或者省略不写例如100x1可以写成100•1或100%
5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.知识点多项式
21、定义几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项多项式里，不含字母的项叫做常数项.知识点整式3
（1）单项式和多项式统称为整式
（2）单项式或多项式都是整式
（3）整式不一定是单项式
（4）整式不一定是多项式
（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式C考点剖析考点1:单项式和多项式的概念
1.（2022秋•万州区期末）代数式加+6,,中，单项式有几（）个.A.2B.3C.4D.5【答案】C【解答】解代数式〃、-
12.3孙、工是单项式，共4个，2兀故选C.【变式
1.1】（2022秋•南昌期末）下列各式中，不是单项式的是（）A.2x3B.2023C.a D.x+1【答案】D【解答】解42个是单项式，故此选项不符合题意；B、2023是单项式，故此选项不符合题意；
0、是单项式，故此选项不符合题意；、x+1是多项式不是单项式，故此选项符合题意.故选D.【变式1-2］（2022秋•宁波期末）下列代数式
①1,
②乌旦，
③5,
④-2+54
⑤⑥」.其中单7a项式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解答】解
②乌旦，
③5,
⑤是单项式.7故选C.【变式1-3］（2022秋•藁城区期末）在式子」/b，，2x-y,-5中，不是单项式的是（）2A.2x-y B.2b C.D.-52【答案】4【解答】解式子」@2b一2x-y,-5中，不是单项式的是2x-y.2故选A.
2.（2022秋•增城区期末）下列整式中，属于多项式的是（）A.a-2b B.-lab C.2+3D.aa【答案】A【解答】解根据单项式定义可知，B,两个选项中的式子都是单项式，选项的式子不是整式，也就不是多项式，只有A中的式子是多项式,故选故【变式2」】（223龙川县校级开学）在下列代♦数式鼻,，/++1,3M x3+x2-3,71+2,红2中,x y5x多项式有（）A・2个B・3个C.4个D.5个【答案】C【解答】解Lib,,,x3+x2-3,TT+2,3a+2中,2x y5x多项式有，〃/+b+i,丁+/一3,冗+2有4个.故选C.【变式2-2］（2022秋•天河区校级期末）代数式2x-y,ab,,肛也，工中，多项式的个数有（）2x+1个.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解答】解多项式有空里，共2个.2故选B.考点2直接确定单项式的系数与次数例
3.（2022秋•大连期末）单项式-7a3b4c的系数和次数分别是（）A.-7,7B.-7,8C.
7.7D.7,8【答案】B【解答】解单项式-7〃3/c的系数是一7,次数是3+4+1=
8.故选B.【变式3-1］（2022秋•泗阳县期末）代数式-415）2的系数与次数分别是（）A.-4m3B.-4m4C.-4,3D.-4,4【答案】4【解答】解代数式-4KX），2的系数是-4m次数是1+2=
3.故选A.【变式3-2］（2023春•长沙月考）单项式5〃2b的次数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解答】解5/匕的次数为2+1=3；故选:B.【变式3-3]（2023春•惠阳区校级月考）下面说法正确的是（）A.2口，的系数是』B.▲孙2的次数是2333C.-5/的系数是5D.3/的次数是2【答案】D【解答]解人的系数是2互，故此选项不合题意；33B、当产的次数是3,故此选项不合题意；
3.C、-的系数是-5,故此选项不合题意；、3/的次数是2,符合题意.故选D.考点3根据单项式的次数求参数
4.（2022秋•开江县校级期末）若/54与-2小多和仍为一个单项式，则（〃_m222的值是【解答】解由题意得+2=3,2b=4,解得a=\,b=2,则（a-b）2022=（一2）2022=
（7）2022=].故答案为
1.【变式4-1]（2022秋•东莞市校级期末）已知单项式-2-『的次数为5,求的值3m【答案】
3.【解答】解•・•单项式-2/产的次数为5,/.m+2=5,故答案为
3.【变式4-21（2022秋•新兴县期末）若-1兀软2mbm是一个六次单项式，那么这单项式的系数为_兀22m的值是
2.【答案】兀，
2.2【解答】WV」兀a2mbm是一个六次单项式，2，单项式的系数为二兀，2加+%2=6,2，单项式的系数为一L兀，m=2,2故答案为二兀；
2.2考点4直接确定多项式的项与次数例5（2022秋•衡南县期末）多项式3孙3_2的次数和项数分别为（）A.5,3B.5,2C.2,3D.3,3【答案】A【解答】解多项式/『一3盯3_2的次数是5,项数是3,故选:A.【变式5-1］（2022秋•甘井子区校级期末）在多项式-3/-5%2/+孙中，次数最高的项的系数为（）A.3B.5C.-5D.1【答案】C【解答】解多项式-3--5/2+孙中，最高次项是-5fy2,其系数是-
5.故选C.【变式5-2］（2022秋•淮南期末）下列关于多项式5〃/-2/*-1的说法中，正确的是（）A.它是三次三项式B.它是二次四项式C.它的最高次项是-2/儿D.它的常数项是1【答案】C【解答】解•••多项式5加1的次数为:2+1+1=4,，多项式5ab2-2晨历-1是四次三项式，二•A、5不符合题意.•/多项式5ab2-2bc-1的最高次项为-2/反，常数项为-1,2a符合题意，不符合题意.故选C.考点5根据多项式的项与次数求参数
6.（2022秋•孝昌县期末）已知（加-2）x严什1是关于x,y的四次单项式，则机的值是-2【答案】-
2.【解答】解m-2孙川+1是关于％,y的四次单项式，.I m|+1=4•1m-2卢0解得m=-
2.故答案为-
2.【变式6-2]2020•绵阳若多项式xp厂,”+〃-2，，2+]是关于x,y的三次多项式，则〃m=0或
8.【答案】见试题解答内容【解答】解•・•多项式孙加川+〃-2是关于羽y的三次多项式，/.n-2=0,14-|m-川=3,•・〃=2,\ni-川=2,Am-〃=2或〃一加=2,•••根=4或m=0,.\mn=Q或
8.故答案为或
8.【变式6-2]2023•东丽区一模若二J-3y2+x2y2是五次多项式，则根的值为」9【答案】
6.【解答】解由题意可知机-3+2=5,••根=6,故答案为
6.【变式6-3]2022秋•礼泉县期末若关于小y的多项式x5,n+5j2-2x2+3的次数是3,则式子m2-3m的值为-2・【答案】-
2.【解答】解由题意可知5-772=3,••22,当m=2时,原式=4-3义2=4-6=-2,故答案为-
2.考点6单项式与多项式的综合运用Y产
7.（2022秋•梁山县期末）已知小y互为相反数，小〃互为倒数，是单项式-3儿的系数，求/-4（x+y+2〃）的值.【答案】
1.・・X+=0,/7Z/2=1a=-3,【解答】解・・・x、y互为相反数，〃
2、〃互为倒数，是单项式-3历的系数，・・・/-4（x+y+2//m）=（-3）2-4X（0+2X1）=9-8=
1.【变式
7.1】（2022秋•松原期末）单项式-〃力的次数与多项式/+2/一i的次数相同，则根的值为3【答案】
3.【解答】解・••单项式-4%的次数与多项式/+2/-1的次数相同，.••2+1=4,故答案为
3.【变式7-2］（2022秋•绥德县期末）下列说法中，错误的是（）A.多项式2-丁+3%2是三次三项式多项式_3%2/一2%二的一次项为-2x45多项式3/y+5x-2的次数是3n3单项式二^上的系数为-2【答案】D【解答】解A、多项式2-丁+3/是三次三项式，原说法正确，故此选项不符合题意;C、多项式3/），+51-2的次数是3,原说法正确，故此选项不符合题意;3D、单项式上上的系数为-2,原说法错误，故此选项符合题意，33故选D.【变式7-3］（2022秋•鹤壁期末）下列说法错误的是（）A.22-3xy-1是二次三项式B.〃是单项式C.一亭兀乂/的系数是一^兀D.-22m层的次数是6【答案】D【解答】解A、2--3孙-1是二次三项式，原说法正确，故此选项不符合题意；B.是单项式，原说法正确，故此选项不符合题意；c、的系数是一2口，原说法正确，故此选项不符合题意；
33、-22网房的次数是4,原说法错误，故此选项符合题意，故选D.考点7单项式中的规律探究例
8.（2022秋•金华期末）观察下面的一列单项式x,-2,4x3,-8d,16户…根据你发现的规律，第7个单项式为64/.【答案】64x
7.【解答】解由题意得，各单项式的系数依次是1,-2,4,-8,…，・•・单项式系数的变化规律是（-2）厂I次数依次是1,2,3…，・•・次数变化的规律是〃，・•・可以推出第〃个式子是（-2）・・.第7个单项式为（-2）7-1/=64/.故答案为64/.【变式8-1]（2022秋•香洲区期末）按一定规律排列的单项式3x,-5,7,-9x4,…，则第8个单项式为-17/.【答案】-17十・【解答】解设单项式有〃个，符号的规律为（-1）田，系数的绝对值的规律为2〃+1,字母的规律为/，那么第8个单项式为（2X8+1）（-1）8+8=-17/.故答案为-17/.【变式8-2]（2022秋•郸城县期末）给出一列式子/y,_l42,l63,-l84,观察上式的x yx yx y规律，这一列式子中的第8个式子是-，半啊
8..—128。
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