第1章 集合 章末小结（解析版）

第1章集合章末小结

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）已知集合{+可£则集合（）

1.A={-l,0,l},3=A},3=A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,—1,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】D【解析】【分析】木艮据求解B={a^b\a A.b A}即可A={-1,0,1}e e【详解】由题，当〃时最小为

（一）（）最大为且可得

（一）Q+人1+—1=—2,1+1=2,1+0=—1,0+0=0,0+1=1,故集合3={-2,-1,012}故选D定义集合的一种运算A®B={x\x=a2-b,aeA,beB}若则八

③中的

2.484={-1,0},3={1,2},B9元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为A=={x|%=6£5},1-1,01,3={1,2},所以A

（8）B={0,—1,—2},故集合中的元素个数为3,故选C.下列四个选项中正确的是（

3.

四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知集合,求集合中元素的个数.

17.4={0,1,2,3,4},5=Ay wAx+y A}3【答案】9【解析】【分析】理解集合中元素的特点，可以列举出它的所有元素.B【详解】A={0,1,2,3,4},xcA,—・・・3={0,0,QI,2,21,0,2,0,2,1,3,0X3J,4,0,共9个元素.

18.已知关于x的方程/nr+4=3x—〃加、〃cR.⑴求方程的解集4⑵若〃关于上述方程仅有正整数解，求机的所有取值组成的集合员=4,【答案】⑴答案见解析⑵3=5}【解析】【分析】1分，〃；m=3,〃=T；m=3,三种情况讨论即可求解；由题意及问结论知，，〃=且尤=从而即可求解.213,_§_£N*,3-m1解由题意，可得篦3-/x=4+〃3-774+〃，

①当，时，解集为34=

②当根=3,〃=-4时，解集为4=#；

③当相时，解集为=3,4=

0.⑵解由题意及问结论知，，»且尤=13,4-£N”,3-m所以3-〃2=1或2或4或8,所以3={2,1,-1,-5}.

19.已知集合A={x|2〃},B={x\-lxs},求满足A=B的实数的取值范围.【答案】-；，+8【解析】【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意，集合4={X|2〃VXV4+1},B={X|-1%5},因为若则解得符合题意；AN,4=0,2QQ+1,+2a1若工则,解得一40,22—1a+l

220.设集合B={x\m-\x2m+\],且A={x[-1%6},3cA.⑴求实数加的取值范围；⑵当时，求集合的子集的个数.XGN A【答案】根一或根1{42|20W乙2128【解析】【分析】按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；15确定集合中元素个数，然后可得子集个数.2A1当加一即一时，符合题意；12m+1m23=0,m-\2m+1当时，有加一,解得根*.12—1042m、+16综上实数用的取值范围是{川“-或”於%；2当时，所以集合的子集个数为个.xcN A={,123,4,5,6},A2,=

12821.已知集合A={x|x+2x-5V},B=1x|m+lx2m-l}.1当=3时,求集合做ACI3；若=求实数机的取值范围.2【答案】⑴4AC3={5}2{m|m3【解析】【分析】由题知再根据集合交集，补集运算求解即可；1A={x|-2vxv5}3={x[4x5},由题知再分和两种情况讨论求解即可.23=03W0⑴解集合{九|一不A={x|x+2x—50}=25},当加=时，3B={x|4x5},所以或炉%4={x[x-25}所以©AcB={5}.⑵因为门所以三45=8,34,

①当时，解得,此时3=0m+l2m-l,m23cAm2m+1-1

②当时，应满足加+〉-,解得根此时12243,3=A2m-15综上，加的取值范围是{叫机3}

22.对于正整数集合4={%的,…,q7}〃£N*,〃23,如果去掉其中任意一个元素qi=12L,〃之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为和谐集〃.A⑴判断集合｛｝与｛｝是否为〃和谐集〃不必写过程；123,

4.51,3,5,7,9求证若集合是〃和谐集〃，则集合中元素个数为奇数；2A A⑶若集合是和谐集，求集合中元素个数的最小值.A A【答案】⑴｛123,4,5｝不是〃和谐集〃，｛135,7,9｝不是〃和谐集〃⑵证明见解析37【解析】【分析】由〃和谐集〃的定义判断1根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明2由知〃为奇数，根据〃的取值讨论后求解321对于｛｝去掉后，｛｝不满足题中条件,故｛｝不是〃和谐集〃,1,2,3,4,5,21,3,4,51,2,3,4,5对于｛｝去掉后，｛｝不满足题中条件，｛｝不是〃和谐集〃1,3,5,7,9,31,5,7,91,3,5,7,9⑵设4=｛知/，・・・，叫中所有元素之和为由题意得4均为偶数,故=的奇偶性相同41,2,L.

①若《为奇数，则为奇数，易得〃为奇数，M

②若巴为偶数，此时取2=彳，可得3=・・・,2｝仍满足题中条件，集合B也是〃和谐集〃，若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的〃和谐集〃，由

①知〃为奇数2综上，集合中元素个数为奇数A⑶由知集合中元素个数为奇数，显然〃时，集合不是〃和谐集〃，2A=3当〃时，不妨设＜生＜，若为〃和谐集妨=543A去掉/后，得生+5=%+4，去掉出后，得4+5=3+4，两式矛盾，故〃=5时，集合不是〃和谐集〃当〃设，=｛｝=7,1,3,5,7,9,11,13,去掉后，13+5+7+9=11+13,去掉后，31+9+13=5+7+11,去掉后，59+13=1+3+7+11,去掉后，71+9+11=3+5+13,去掉后，91+3+5+11=7+13,去掉后，113+7+9=1+5+13,去掉后，131+3+5+9=7+11,故是〃和谐集〃,元素个数的最小值为4={1,3,5,7,9,11,13}7A.{l}e{O,l}B.lo{0,l}C.0e{O,l}D.le{O,l}【答案】D【解析】【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；【详解】解对于A{1}{0,1},故A错误；对于B1£{0』,故B错误；对于C0{0,1},故C错误；对于Dle{o,l},故D正确；故选D若是集合加=卜|/一+“}的真子集，则〃的取值范围是

4.01=0,一%―A.—2,2B.―8,—2U2,+”C.[-2,2]D.2]U[2,+s【答案】D【解析】【分析】依题意可知方程—以有实数解，则△=/—即可求解V+1=0420,【详解】由〃是集合公+仁,”目的真子集〃得0M={x|Y—M Ix2-奴+1=0,a wR}W0,即方程以有实数解，+1=

0.・・△=/一420,解得4一2或故选D.

5.已知集合知={-21},7V={X|%2+OX-2=0},若NJM,则实数A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】【分析】对于集合元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据N,1韦达定理以及可确定出其中的元素，进而求解.NqM,【详解】对于集合因为N,Au/+gAO,所以中有两个元素，且乘积为又因为所以N-2,NqM,N={-2,1},所以一=-即〃=2+1=—

1.

1.故选B.若集合={九五则加

6.A/I4},N={x|3x21},7=A.{%0%2}B,{xgx2}C.{x3x16D.x—x16【答案】3D【解析】【分析】求出集合后可求”,N McN.【详解】,、^M^]N=x-x\6,A/={x|0A:16},N={x|x-},故选DA.-2,+oo B.-ooj C.f-2]D.[1,W已知集合则=

7.PuOQ=—2,y,PcQ=—2,1,【答案】B【解析】【分析】通过论加图进行直观思考，避免繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案.【详解】根据下面的Venn图:/区表示（）；pn国区表示；pn回区表示Qc®P）；团区表示（PuQ）.由题，集合（）对应于/区，回区，回区的并集，Pu所以园区对应（一8,-2],从而对应回区，回区的并集，故Q=（YO,1）.故选B设尸，是两个非空集合，定义集合间的一种运算〃保〃P®Q={x\xePjQ,x^P^Q],若

8.P={x\0x2},Q={x\x\},则（）Q=或或A.{x|Oxvl x2}B.{x[Oxl x2}{x\x2}C.{x|lx2}D.【答案】B【解析】【分析】计算PUQ={x|x2},Pn（2={x|lx2},再根据集合的新定义得到答案.【详解】P={x\0x2},Q={x\x\},^P\JQ={x\x0},PcQ={x|l vx2}.则位〈或={x|O xKlx2}.故选B.

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分.下列说法正确的是

9.我校爱好足球的同学组成一个集合A.｛｝是不大于的正整数组成的集合B.1,2,33集合｛｝和｛｝表示同一集合C.123,4,55,4,321数组成的集合有个元素D.1,0,5,7224V4【答案】BC【解析】【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可.【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合；｛｝是不大于的正整数组成的集合；1,2,33集合｛｝和｛｝表示同一集合；123,4,55,4,321由于所以数组成的集合有个元素;1,0,5,5242V4224\4故选BC下列说法正确的是

10.由所有实数组成集合，尸由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.区厂均不存在.A.E x-3E=[x\x2｝/由个组成的集合.则石=尸=｛｝B.-4x+4=0,522则方可能有个.C.E=UeZ|--eZ,4D.£=｛x,y|y=2x，Nl,x£Z｝,用列举法表示集合E为｛1,2,-1,一2｝.【答案】BC【解析】【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A由同-3所有实数组成的集合£是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是尸，民尸都存在，故错误；A对B£={小2_4%+4=0}={2},/由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故/=故正确；{2}=E,B对CE={eZ|--eZ}={-l,l,3,5},因为{1,—1}之尸=E,%故尸为含有且是的子集1—{-U,3,5}{-1,1},{—1,1,3},{—1,1,5},{—1,1,3,5},共有个，故正确；4C对DE={x,y\y=2%,|x|^xeZ}={-1,-2,0,0,1,2},故D错误.故选BC.对于集合B,定义{九设〃={

11.A,A—3=IxwA/eB},A㊉3=4—BUB—A.1,2,3,4,5,6},则中可能含有下列元素.N={4,5,6,7,8,9,10},M㊉NA.5B.6C.7D.8【答案】CD【解析】【分析】根据所给定义求出N—M,即可求出从而判断即可；M-N,M㊉N,【详解】解因为〃=},所以{123,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9/M—N={1,2,3},N—M={7,8,9,10},E1M㊉N=M-NDN-M={123,7,8,9,10}.故选CD

12.已知全集/=R,集合A=司*+21+〃=0}00,B={x|Vx-20210},则加3中所有元素的和可以是A.-2B.2C.2020D.2019【答案】ACD【解析】【分析】求得再分别讨论中有两个相等的实数根，中有两个不相等的实数根且口中有两个8={2021},A A3A,A不相等的实数根%%，且不是的子集，三种情况即可求解.3A【详解】由题意可知:且所以Jx—2021W0Jx—20212Jx-2021=0,可得即x=2021,8={2021},

（1）若A中有两个相等的实数根，则△=4=0,可得〃=1,止匕时A=[x\x2+2x+1=0}={—1},可得AJB={-1,2021）,所有元素之和为2020；（）若中有两个不相等的实数根，且口则2A3={2021}4,A={-2023,2021},则AU3=A={-2023,2021},由韦达定理可知，所有元素之和为-2；

（3）若A中有两个不相等的实数根X，/,且3不是A的子集，则由韦达定理可知％+々=-2,所以AU3={X，X2,2021},所有元素之和为

2019.所以中所有元素的和可以是或或AU320202019-

2.故选ACD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）若集合可，且则实数.

13.A={a—3,2Q—1,/—_3cA,【答案】或

1.【解析】【分析】根据题意，分Q-3=-

3、2〃-1=—3和〃2一4=-3,三种情况讨论，结合元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，集合且一A={Q—3,2a—1,4—4},若一二时，可得=此时集合符合题意；3—30,A={-3,—1,-4},若时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去；2a-1=-3=-1,Q2_4=_3,若〃一一时,可得或=一（舍去），24=34=11当时，集合符合题意，a=l A={-2,1,-3},综上可得，实数〃的值为或

1.故答案为或

1.设集合=卜及=卜则集合的子集个数为

14.4636A【答案】16【解析】【分析】先化简集合再利用子集的定义求解.A,【详解】解』,A={03,9},故的子集个数为A24=16,故答案为

1615.已知T是方程％2+庭+）=0（°2_440）的解集,A={1,3,7,9},3={1,4,7,10}且TcA=0,TcB=T,则〃+4=.【答案】26【解析】【分析】由题知再结合韦达定理求解即可.7={410},【详解】解:因为〃夕2-40,所以方程/+px+q=0（p2-4q0）的解集有两个不相等的实数根，因为且TcB=T,A={L3,7,9},3={1,4,7,10}TcA=0,所以』7={40}所以由韦达定理得〃=T4,4=40所以p+q=26故答案为

2616.设集合S,rS口Ng,7qN，S,T中，至少有两个元素，且S,7满足

①对于任意x,y£S,若工工九都有%£丁；

②对于任意若则.若有个元素，则有个元素.x,y£T,xy,S4SUTx【答案】7【解析】【分析】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S={P］，P2，〃3，〃，且必P外〃2，〃3，〃$N*,4}2Vp3Vp4,4分类讨论Pl=1和PR2两种情况，并结合题意和并集的运算求出SUT，进而可得出答案.【详解】解由题可知，SjNg,TjN，有个元素，S4若取则此时包含个元素，S={2,4,8,16},7={8,16,32,64,128},SIJT={2,4,8,16,32,64,128},7具体如下设集合｛巧,〃且＜5=2，〃3，〃4｝，Pl P2Vp3Vp4，〃1，〃2，〃3，〃4,则P]P2Vp3P4，且〃1，〃2，〃3，〃4£/，则正小，P\同理包£S,3^S,^eS,2£S,R£S,Pl〃Pl P\PT3若Pl=l,则〃2之2,则必＜心，故心=〃2,所以P3=P，，Pl Pl又〃包＞包＞故包=乌=〃所以Pl Pl4＞1,2,P4=P2〃3〃3i^S=[l,p,p\p3],此时〃丁，故〃屋矛盾，舍去;〃5,22225£7;2£2若P122,则上＜上＜3,故△=P\,所以〃2=P；，P3=P「，P H〉l,故£1=4_=〃],所以〃4=P]4,〃又〃4＞Pl3A Pl〃3P\Px PiPT PX故5=｛〃|,〃；,巧3,84｝,止匕时｛pj,Q6，PJ｝《T,qeT,则故冬=故P\P\若4ES,=1,2,3,4,4=p13=1,2,3,4,即

9.J｝,故｛P[3,Q4,Q5,巧6,pj｝=r,此时SU7={P1，P；,巧3，P,〃J,Q6，P},即SUT中有7个元素.故答案为

7.。