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16.已知集合A=卜卜2x3},B=^x x1-2iwc+rrr-1o1,C-
21.
（1）若根=2,求集合ApB；
（2）在两个集合中任选一个，补充在下面问题中，P xeA,q—,求使〃是q的必要不充分条件的加的取值范围.【答案】⑴{刈3}⑵答案见解析【分析】
（1）将加=2代入集合3,求得3利用集合的运算法则即可；
（2）若选集合3先计算出3=卜忸-1%〈根+1},根据条件得出集合3是集合A的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案若选集合C先计算出={幻加-2Vxem+2},根据条件得出集合是集合A的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案
（1）解
（1）当帆=2时，幺一2〃a+机2_］0可化为工2_41+30,解得1X3,A B={x\lx3},又A=1x|-2x31,A QB=1%1x3j.
（2）
（2）若选集合由12_2如+/_10,得［%-（加-1）］［兀一（7篦+1）］，.，.加一1%机+1,「・5={%忱-1%机+1}由〃是夕的必要不充分条件，得集合5是集合A的真子集解得-17712,m的取值范围为,若选集合由-同2,得加一2vxv/n+2,f m—22—
2.・.C={x|m-2xm+2}由p是^的必要不充分条件，得集合是集合A的真子集，.・・，解得［m+230V阳W1,2的取值范围为
17.设P|2x+l|3,QX-（26Z+1）
0.⑴若=1,且〃、q均为真命题，求满足条件的实数x构成的集合；⑵若〃是q的充分条件，求实数〃的取值范围.【答案】⑴何一2—}【分析】
（1）当4=1时，分别化简夕与心再取交集即得所求
（2）〃是4的充分条件，则P所表示的取值范围是4所表示的取值范围的子集，利用集合的包含关系即可求解（）1因为P-2xl,qx-30,即xv3,所以P、4均为真命题，则取公共部分得实数x构成的集合为卜|-2x1｝；（）2
（2）因为，是4的充分条件，且P-2x1,Qx2a+l,所以（一2,1）口-co,2〃+1）,所以
2.+1N1,解得20,故实数的取值范围是［0,+）.要，，“必要不充分，，“充要，，或“既不充分也不必要，条件.【解答】例例充要［例当时，所以即夕=/但1A211VXV20x—1V1,|x-1|V1,由一得所以|x1|V1,0VxV2,例当时，二次函数即为人关于轴对称；二次函数24=0V=X2+QXX£R x=f,y y=/的对称轴为，其关于轴对称，则一，解得〃+QXX£R x=-3y3==
0.综上可知，”是二次函数〃的图象关于轴对称”的充要条件.］Q=0y=x2+xx£R y知识点2充分、必要、充要条件的应用充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类.一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题.这部分内容也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题.对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明.例已知非空集合〃+集合1A={x|2-3Vx31},B={x|—5x4}.若“%是“工的充分条件，求实数的取值范围；1£8”a是否存在实数使是“%£中的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2a,［解］⑴因为是匕£的充分条件，4”8”所以又2a—3—5,则解得一所以引一］13^+14,13E1,1,
1.+Jia—3V31,2a—3=-5,若存在实数使是匕£的充要条件，即则必有,2a,3”A=8,132+1=4,即彳则方程组无解.故不存在实数凡使是匕£夕’的充要条件.例2求证4〉〃的一个充分不必要条件是瓦［证明］充分性因为〃〉|例，所以〉Q0,即|tz||Z|0,所以6i2Z2,所以〃〉||是612Z2的充分条件，因为〃=—时〃但〃〈叫2,6=1282,所以:族|不是a2b2的必要条件.综上，屋加的一个充分不必要条件是Q|0|.知识点全称量词命题与存在量词命题全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判3定与否定.对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论.本知识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力.例1命题px2〉”，则（）A.p是假命题；「px20〃是假命题；「B.p3xeR,^0是真命题；「C.p pVx£R,^0D.〃是真命题；「pVxGR,x20【解答】由于〉不成立，故/〉，，为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题02可知，犬〉0，，的否定是x2o,9,故选B.2例已知命题使尤+/-）是假命题，求实数的取值范围.24/+2W0”［解］•••命题使）（是假命题.4X2+X+/Q—2S F:•命题使工+上〃-）是真命题.’RxER,41+20”即判另式/=（-）U4x4x
120.9即西二.活学活用培优训练
一、单选题
1.命题“任意2x-之0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.al B.a2C.a3D.a4【答案】A【分析】求出命题为真时等价条件（充要条件），然后根据定义判断.【详解】任意XG1,2］,2x-a0,即W2x恒成立，所以42,只有A是充分不必要条件.故选A.
2.已知，bwR,则“五〉扬是1”的bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】=11=满足扬，但:无意义，£〉1不成立，不充分，b b反之，=-21=1满足£1,但无意义，即白逐不成立，因此不必要，b从而应为既不充分也不必要条件故选D.
3.设XER,则“国4”是“％4”的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可求解.【详解】解因为xwR,故由国4可得X〉4或由x4,可得x4,故“％|4”是“x4”必要不充分条件.故选B.
4.命题“X/x£l,zo,工2_10，，的否定是A.3XG1,+OO,%2-1B.3xel,+co,%2-1C.VXG1,+OO,x2-l0D.Vxel,-Kx,x2-l0【答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题-VXG1,+OO,%2—10”的否定是3xel,+oo,x2-l
0.故选B
5.下列结论中正确的是（）A.2/+5〃+2能被2整除是真命题B.VnEN*,2/+5〃+2不能被2整除是真命题C.2序+5〃+2不能被2整除是真命题D.3neN*,2序+5〃+2能被2整除是假命题【答案】C【分析】使用特值法可以解决，举例说明〃=1时2/+5〃+2不能被2整除，〃=2时2〃2+5/2能被2整除,从而得出结论.【详解】当〃=1时，2层+5〃+2不能被2整除，当〃=2时,2/+5/2能被2整除,所以A、B、D错误，C项正确.故选C.
6.命题“X/1WXW262—，，为真命题的一个充分不必要条件是（）KOA.a4B.a5C.a4D.a5【答案】B【分析】根据命题是真命题，由恒成立求解.QN/【详解】因为命题£―是真命题，所以Vlx2,之f恒成立，Q所以24,结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是之5,故选B
二、多选题
7.下列说法中正确的有（）A.〃方0是“6/,,成立的充分不必要条件
8.命题PVx0,均有fo,则的否定3x0,使得工；0（）C.设A3是两个数集，则“403=4”是的充要条件D.设是两个数集，若Ac3w0,则去XWB【答案】ACD【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.【详解】解对于A,当时，能推出而由不能推出abo,$q（-3）222,而-32,所以“匕〉0是“〃庐，成立的充分不必要条件，故A正确；对于B,命题Vx0,均有/0,则命题〃的否定3x0,使得片40,故B不正确；0对于c,是两个数集，则由An8=A能推出AqB,反之，由AqB能推出4口8=4,所以“An5=A”是“AqB”的充要条件，故C正确；对于D,是两个数集，若Ac3w0,即集合A、3存在相同的元素，则xeB,故D正确，故选ACD.
8.已知〃是〃的充分条件而不是必要条件，4是〃的充分条件，6是〃的必要条件，4是$的必要条件,现有下列命题
①$是夕的充要条件；
②〃是夕的充分条件而不是必要条件；
③〃是q的必要条件而不是充分条件;
④是r的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A.
①B.
②C.
③D.
④【答案】ABD【分析】根据题设有〃但〃分〃，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.【详解】由题意，pnvosoq,但〃分〃，故
①②正确，
③错误；所以，根据等价关系知〃且千分「J故
④正确.故选ABD
9.命题V1S烂3,/一妙0，，是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a9B.a\1C.^10D.a10【答案】BC【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由lx3得1Y9,因为命题为真，所以29,记为A={G|429},因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选BC
三、填空题
10.已知命题pYxRR,12+工-〃0为假命题，则实数〃的取值范围是【答案】a-~~74【分析】根据命题〃为假命题，则它的否定「〃是真命题，利用判别式△对求出实数的取值范围.【详解】解因为命题pYxRR,/+工-0为假命题，所以它的否定「p3xe/,N+X-QSO为真命题，所以A=12-4X（-〃）NO,解得〃2-二.4故答案为a-~~
411.已知命题pVxe[l,2],x24-16/,命题q王4-1,1],使得2X+Q-10成立，若〃是真命题，q是假命题，则实数〃的取值范围为.【答案】（-8,-1]【分析】根据〃是真命题可得〃（犬+1%，再分析当^是真命题时，（1-2xn=l-2=-1,进而求得夕是假命题时的取值范围即可【详解】命题PVx«l,2],%2+1恒成立，若〃是真命题，则=2,\/min命题q3XG[-1,1],使得2x+a-l0成立，若命题4为真命题，贝服（1一2%）.=1—2=-
1.所以命题q是假命题时，a-\,综上，参数〃的取值范围为a-l,即£（一8,-1]故答案为（〜0-1]
12.已知集合4=|%-1,或x2},B={x\2axa+i\,若“xw A”是“XE的必要条件，则实数Q的取值范围是.【答案】（e,-4）U（l,y）【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与8的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出的范围.【详解】「洋£A”是了£3”的必要条件，•••BuA,当8=013寸，2QQ+3,则Q3；当Bw0时，根据题意作出如图所示的数轴,〃+3-12-122a xX2Q Q+3[a+32a伉+32Q由图可知〈o1或〈c，解得QV-4或lv〃？3,a+3-l2a2综上可得，实数〃的取值范围为FTU1,+O.
四、解答题
13.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假⑴P对任意的xeR,炉+%+1都成立；2g3xER,使丁+3尤+
50.【答案】I答案见解析⑵答案见解析【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可.1由于命题中含有全称量词”任意的、因此，该命题是全称量词命题，又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是存在一个x£R,使12+工+1=0成立，即使％2+%+1=0”,因为A=-3v0,所以方程Y+x+i=o无实数解，此命题为假命题.2由于叼x£R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题.又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是对任意一个实数居都有犬+3%+50成立.即“Vx£R,有工2+3l+50”，因为A=-llvO,所以对Y+3x+50总成立，此命题是真命题.
14.一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下若“玉wR,Y+2x+根0”是假命题，求相的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题若“VxwR,/+2%+相0”是真命题，求〃2的取值范围.你认为，两位同学题中相的取值范围是否一致？并说明理由.【答案】两位同学题中根的取值范围是一致的，理由见解析【分析】由全称、特称命题及其否定的真假关系加以判断.【详解】两位同学题中〃2的取值范围是一致的.理由V c3breR,x2+VxeR,%2+2x4-m0，\而“*wR,/+2元+根是假命题，则其否定“DxwR,Y+2%+机0”是真命题，J两位同学题中的取值范围是一致的.m
15.设全集U=R,集合A={x|—l〈xW4},非空集合8=卜13Kx1+力，其中Q^R.⑴当4=4时，求ACCUB；⑵若命题是真命题，求实数的取值范围.XECUA”【答案】lAcC*=[-l,3⑵[3收⑴解V A=[-l,4当〃=4时，集合8=[3,5],/.=3^5,-HX,J Ac0/=[—l,
3.2解由1知，^A=^X,-1U[4,4O,•••命题女£B,”是真命题，・・・3口630,A l+6i4,解得a
3.。
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