第2节 常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语课标解读考向预测新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;1一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条易年备考仍以选择题为主训练，主要涉件、数学定义与充要条件的关系..2025及与函数、数列、三角的有关性质、不等式的.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使2解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识用存在或全称量词对全称或存在量词命题结合考查.进行否定.必备知识——强基础知识梳理充分条件、必要条件与充要条件的概念

1.结论〃与的关系9pnq p是q的面充分条件,是p的画必耍条件1pnq且qBp p是q的画充分不必要条件p^q且qnp是的画必要不充分条件p qpoq〃是〃的画充要条件q且q^p p是q的画既不充分也不必要条件.充分、必要条件与集合的子集之间的关系2设{㈤夕⑼,则4={x|px},若则〃是〃的画充分条件;1若则〃是〃的画必要条件:2若则〃是〃的画充要条件;3A=8,若B,则p是q的画充分不必要条件;4A若B,则〃是〃的问必要不充分条件.5A全称量词命题与存在量词命题及其否定

3.心C.2D.答案A解析因为命题〃（是真命题，所以图则一个必要不充分条乙）2W r=2,max件是〃三.故选1A.（•山东济南模拟）若（兀），一依（为假命题，则攵的取值范围为（）

8.2023Fx€O,sin2x inxvF（一（A.8,-2]B.—8,2]（）（）C.—8,-2D.—8,2答案A解析由题意，知（兀），为假命题，贝（兀），，*Wx€0,sin2x—Zsinx0”!]“Vx€0,sin2x—ZsirLr为真命题，所以依则％解得攵〈一所以人的取值范围为（一8,故选2sinxcosx2inx,2cosx,2,-2].A.

二、多项选择题（•安徽六安实验中学高三上学期质量检测）下列命题正确的是（）

9.2024命题的否定是工€A.TxWR,1yWl”“至少有一个使成立”是全称量词命题B.x,f+2x+l=0是真命题C.x—2V2〉”的否定是真命题D.“VxCR,x答案ACD解析对于因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题叼尤的否定A,CR,是故正确；对于“至少有一个使成立”是存在量词命题，故错“VxCR,yWl”,A B,x,f+2x+1=0B误；对于当时，所以是真命题，故正确；对于因为当时，所C,x=99-2=779=3,C D,x=0*=0,以，，是假命题，其否定是真命题，故正确.故选“Vx€R,/0D ACD.（•广东东莞东华高级中学高三模拟）若为真命题，汨为假命题，则

10.2024“Vx CM,|x|£x3”集合可以是（）M{x\~3x—A.{x|x—5}B.1}{x\x3}C.D.{x|0«}答案AB解析因为为假命题，所以尤为真命题,可得小又FxWM,W3”Mg W3},“Vx为真命题,可得{小所以{小故选MX”MG v0},MU vO}.AB.（•江苏南京师范大学附属中学高三模拟）设b,都是实数，则下列说法正确的是

11.2024m是％*，的充要条件A.Zc2Mc2,”是之庐，的充分不必要条件B.“In tzln2△中，角的对应边分别为〃,b,c,则中是匕乂”的充要条件C.ABC A,C C“sinAsin”是尊的必要不充分条件D.tan®=W“sin20=答案BC〉解析对于由2，可得ab,当c—0时，由得ac2—bc2,所以“二也”是、/”A,QC的充分不必要条件，故错误；对于因为所以则於乂人由〃庐，得⑷|例，若aOh,A B,lnalnb,2则b无意义,即推不出a\n b,所以a\n是“片〉/的充分不a bInIn“In b必要条件，故正确；对于根据正弦定理，得所以LKB C,sinAsinB=##Qab,“sinAsin3”Zi\是、*的充要条件，故正确；对于由害,得弋+knk故C D,tan6=€Z,sin29=sinj+2E、巧、巧jr2,7171二看由得或29=寸2kMk即=也伏€或0=畀故,sin29=^-,26=Q+2EZ€Z CZ,5+Z EA€Z,tanO=^或小，所以”是冬的充分不必要条件，故错“tanO=W“sin20=D J JJ4误.故选BC.

三、填空题•山东潍坊高三二模若匕=是的一个充分条件，则的一个可能值是.

12.2023sinx+cosxl a答案队只需满足纵€即可a€2E‘2E+Z角翠析由得也即乎，所以攵兀+，]+彳攵兀+,攵siiir+cosxl,sinx+§l,sinx+§22解得兀+生女因为[是的一个充分条件，所以的一€Z,2Ex2Z CZ,x=o sinx+cosxl”a个可能值为今•福建厦门第六中学高三检测已知命题根为假命题，则实数相

13.2024“VxCR,21+o”的取值范围为.答案一8,1]解析因为命题2〃为假命题，所以命题2为真命题，所以/=“VxCR,x—2x+20”A—2x+/7tW0”根解得根.故实数根的取值范围为-8,—22—4NO,W11].若为『一使双尤口也及，则实数a的取值范围

14.0=2x,gx=ax+2a0,Vxi€[-1,2],3x€[-l,2],2为.答案（o[解析问题等价于函数（）的值域是函数於）值域的子集.因为所以兀）g x1,%€[-b2],1€[—1,3],即函数）的值域是因为所以函数（）的“X[—1,3],0,g x值域是则力一且即故实数的取值范围是.[2—4,2+20,2—12+2aW3,B级电素养提升练（•江苏扬州中学高三上学期开学考试）若使成立”是假命

15.20242],2f—Ax+lvO题，则实数的取值范围是（）2（）件微A.—8,2^2B12（―合,+8）C.0°,3]D.答案C解析若汨使成立”是假命题，则使x€[l,2],2f-+l0Vx€[l,2],2/—+120成立”是真命题，即令），由对勾函数的性质可Vx€[l,2],“r=2x+:x€[l,2],知，於）在上单调递增,故於））则.故选[L2]min=/U=3,2W3C.（•全国甲卷）等比数列｛斯｝的公比为心前〃项和为〃.设甲q0,乙｛｝是递

16.2021S S增数列，贝」（）1甲是乙的充分条件但不是必要条件A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充要条件C.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件D.答案B解析当夕=时，｛*｝是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当｛｝是递增数列时，/=—1,2有斯〃〃〃若的则〃〉（〃）即；若则〃）这样+]=S+|—S=Qq0,0,q0CN*,80i0,q05CN*,的不存在，所以甲是乙的必要条件.故选q B.（•华中师范大学第一附属中学高三期中）在△中，加加口是“入为

17.2024ABC1111”48锐角三角形”的（）充分不必要条件A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.答案C解析若△为锐角三角形，则冬即若一又竭,则一48C8+C,Ov0C7,0/（j[\cost所以（），则「所以；在△中，若则tanBtan5—tan8,00,tan3tanCl ABCtan3tanCl,/sin Lz।Q sinfCJ z、即均为锐角，所以〉;~即团°宗=--------------（）tanB0,tanC0,3,tanB137^=tan5—C,（兀Jtanc sine\Vcost2-ci所以B^-C,则即号所以为锐角三角形，故仇，遥△B+Oy,A3c tananCl“ABC为锐角三角形”的充要条件.故选C.

18.2023・新课标I卷记5〃为数列｛斯｝的前〃项和，设甲｛斯｝为等差数列；乙1*1为等差数列，则甲是乙的充分条件但不是必要条件A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充要条件C.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件D.答案C解析解法一甲｛斯｝为等差数列，设其首项为公差为，则尸〃〃]+哈工/,乙，0,S9=I专与玲一生落一片，因此用为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，0+M一〃■乂业/Sn〃〃〃na+\-S巫平/、门、/如〃斯SfS[“AA-r-.i ELSZ+I S+i-+1S+i-n ns/n乙为等差数列,即干一工==诉斤为常数，设为t，即而司■=tv“5+13则S〃=〃斯+i—/•〃〃+1,有S〃-i=〃一1〃一£・〃〃一1,两式相减，得斯=〃〃+1〃-即一加，即即一念=对〃也成立，因此｛〃〃｝为等差数列，则甲是乙的必要条件.—12+i23=1所以甲是乙的充要条件.故选C.解法二甲｛斯｝为等差数列，设数列｛斯｝的首项为⑷，公差为即〃〃四产力则看d,S=s+号一/因此榭为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙引为=0+4=+0等差数列,即一*=，,〃即〃=列几〃一〃〃一it1I;¥=Si+-1,S i+ld,Si=-lSi+I1『I当〃》时，以上两式相减,得〃一〃〃一以,于是斯=〃巴当〃ln-2J\2S S-1=$+211+2-1=1时，上式也成立，又念斯=防+〃域一〃为常数，因此｛〃〃｝为等差数列，+L2[QI+2-ld]=2+,则甲是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选C.多选•黑龙江齐齐哈尔三模已知＜＜口＜下列命题中是真命题的是

19.X202301,7KA.VxC0,+°°,\ogX\ogbXB.0,1,aC.3x€0,1,b,〃D.3x€0,«rlog x答案AB解析由得齐+°°,找=僚像=则心正确;OvXavl LVx€O,1,A Vx€O,1,logxZZ—log/=A即〈也贝！]，正确；函数=犷在上为logA^logr1=0,0logM loglogaQlog//B0m10,1减函数，而则加即，，错误；当b时,〉〃〃041,Vx€0,1fv Cx€0,vl,logMloga/kg=即炉，错误.故选1,vlogd DAB.已知函数/%=命一若小€使得火，则实

20.2x+3,gx=log2x+m,[2,4],Vx2€[8,16],xi2gx2数的取值范围为.m答案一8,7]解析由题意可知式》，因为火用二%2—图象的对称轴为直线Xmax gXmax21+3X=1,%€[2,4],所以，又，所以以加,所以，/Umax=44=11gx=log2x+m x€[8,16],g max=g16=4+11相，所以mW

7.4+名称全称量词命题存在量词命题形式结构对M中任意一个%,成立回存在中的元素成立112|px Mx,px简记（）叵方€加，ri4]vx€M,x P否定116旧无CM,-77（无）1171Vxe＞

（九）常用在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.

1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论:对省略了全称量词的命题否定时，要对

2.原命题先加上全称量词再对其否定.诊断自测概念辨析正确的打“小，错误的打

1.X⑴当是〃的必要条件时，〃是的充分条件.g4已知集合B,的充要条件是2A,AU8=An5A=A⑶呜」的真假性相反.“mxCM,px“VxCM,px”答案

142434.小题热身212024・四川绵阳南山中学模拟“sina=siW是%=的条件.用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空答案必要不充分jr57r解析若，B=q则满足夕，而不满足a=/3；当a=B时，一定成立，所以Q=d sina=sin sina=sin^是%=£”的必要不充分条件.“sine=sin£已知是的必要不充分条件，则实数〃的取值范围是.答案一2p q2x38,2]解析由已知可得[x\xa],所以{x[2x3}QW

2.人教必修第一册习题改编已知“若则是假命题，则实数的取值范围是.3A L5T6X1,2x+l2”7答案3,+8解析因为“若则是假命题，所以“船使是真命题.因为当时，所以实数xl,2x+l2”1,xl2x+l3,人的取值范围是3,+

8.设命题2；命题22m2若夕均为真命4p mxCR,x—2x+m—3=0q VxCR,x——5x+m+197^0,p,题，则实数机的取值范围为.答案俣4_解析若命题2为真命题，则机-解得用；若命题p Sx€R,x—2x+m—3=04=4-4320,4q VxCR,为真命题，则〃〃解/=42—52—422+190,得加,+

8.又均为真命题，所以实数机的取值范围为{加加=p,q W4}

4.考点探究提素养考点一充分条件、必要条件的判断例112023・全国甲卷“sin2a+sin2,=l是sina+cos夕=0”的充分条件但不是必要条件A.必要条件但不是充分条件B.充要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.答案BJT解析当22时，例如8=5,6=0,但夕即夕=推不出；sin a+sin^=1sina+cos W0,si/a+sii1sina+cos£=0当时，2222即能推出

2.综sina+cos^=0sin a+sin5=—cosy+sin^=1,sina+cosy=0sin2a+sin^=1上可知，sin2是的必要条件但不是充分条件.故选“sin2a+=1”“sina+cos^=F B.22023・河北石家庄模拟已知m4c€R,贝=8=c”是、2+/+°2=+儿+〃户的充分不必要条件A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.答案C角星析若a=b=c,则廿+〃〃即a=b=c^^Jrb1-\rc1=ab-\-bc〃满2+2=32,/+ZC+QC=3Q2,+c,足充分性；若/+》，贝〃+〃,所以2+=Qb+bc+ac,ij2a2+2/+2/=26+242♦-2ah-\-b1-\-b1—2bc-\-c1-\ra1—2ac-\-c1=0,即一人月+仍一+磔-则a=b=c,满c2=0,足必要性.故选C.多选下列四个条件中，能成为心”的充分不必耍条件的是31199xc yc_A.B0x yyD.In xln答案ABD解析对于若xc2yc2,贝贝y反之当时得不出x^yc2,所以工』A,1J C270,ij y,c=02,xx9是匕了的充分不必要条件，故符合题意.对于由可得〈即能推出心》x yA B,:0y40,但不能推出（因为的正负不确定），所以是“心）严的充分不必要条件，故xy x,y符合题意.对于由仅||），|可得则（）（）不能推出；由也不能推出B C,Py2,x+y x—y0,xy xy（如）所以是的既不充分也不必要条件，故不符合题意.对于若|x||y|x=l,y=—2,“|x|bT CD,lnxlny,则反之得不出所以是的充分不必要条件，故符合题意.xy0,xy Inxlny,“Inxlny”D【通性通法】充分、必要条件的两种常用判断方法【巩固迁移】（•北京高考）若则是厘+±=-的（）

1.2023qWO,“x+y=O”2»yx充分不必要条件A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.答案解析因为且］；所以即『十丁十孙即（）所以光C xyWO,+=—2,f+y2=—2xy,=0,%+y2=0,.所以是心+=一的充要条件.故选+y=0x+y=O”2”C.x y（多选）（•广东广州华南师大附中模拟）函数）（）为偶函数的一个充分条

2.

2023./U=sin2x+9+1件是（）兀兀52中一7一亍A.=B.9=一兀c兀夕^（pC.4D.答案BD717r jr2TL解析由题意得，解得令攵=—则一行；令攵9+D=E+D zez,zez,1,9=7T则彳,故选=0,9=BD.考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例已知q（〃）2p—2WxW10,1—1+m

20.⑴若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围为;m⑵若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.答案（）（（））10,3]2[9,+8，一，f1—22—2f1—m2解析（）因为是的必要不充分条件，所以,或〈一1c解得又1P4mW3,1所以实数机的取值范围为（m0,0,3].—m^—2，-m—2，[1f1（）因为〃是的充分不必要条件，所以或一解得机即实数加2929,（机三[1+/721011+1°,的取值范围为+°°）.[9,%—（•福建福州四校联考）已矢口若是的必要

3.2023p A=x B={x|x—6/0},p q2【通性通法】由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间参数的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形端点值慎取在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍舍注意考虑空集的情况.【巩固迁移】A.2,+8B.[2,+8不充分条件，则实数的取值范围是（）一C.8,1D.-8,1]答案D解析由题意得且{小或x\},B={x\xa},,:p是夕的4={1|%—2%—120xWl}=22必要不充分条件，・・・.故选8A,D.考点三含有量词的命题的否定及真假判断例（）设命题平行四边形对角线相等，则为（）31p平行四边形对角线不相等A.有的平行四边形对角线相等B.有的平行四边形对角线不相等C.不是平行四边形对角线就不相等D.答案c解析因为命题为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以有的平行四边形对角线不相等.P故选C.⑵2024・湖北百校高三联考设命题p3x€0,4,21+5=18；命题q每个三角形都有内切圆，贝」1命题〃的否定工+A.Vx€0,4,25=18命题〃是真命题B.命题的否定存在一个三角形没有内切圆C.q命题是假命题D.9答案C解析命题〃的否定应为也，所以错误；因为人］=在“Vx€0,4,21+W18A2+上单调递增，所以於勺所以当工时，、+所以命题为假命题，所以0,44=18,€0,42518,p B错误；命题的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以正确；任何三角形都有内切圆，q C所以命题为真命题，所以错误.故选q DC【通性通法】含有量词命题的否定与不含量词命题的否定

1.含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量词改为存在量词或存在量词改为全称量词，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可.含有量词命题真假判断的策略

2.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.【巩固迁移】多选河北沧州部分学校高三联考命题36；命题g每个大于的素数都

4.2024♦p3x€0,2,x x2是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是是真命题A.p「px^x6B.Vx€0,2,是真命题C.4「q存在一个大于的素数不是奇数D.2答案ACD解析若；则3〉—所以〃是真命题，正确；「36错误；每x=,x Ap Vx€0,2,x^x,B个大于的素数都是奇数，是真命题，正确；飞存在一个大于的素数不是奇数，正确.故选2C2DACD.（•湖北部分学校高三联考）已知使关于工的方程一有

5.2024p{m|-2m3},m=0解，贝卜・p答案使关于的方程一机=无解Vm€{m|—2m3},x2/0解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得「€{相一机使关于的方程p VM23},x2无解.2X—m=0考点四根据命题的真假求参数的取值范围例（）已知）则成立的一个充分不必要条件可以是（）41p Vx€[3,4,f—qBo,pa9a9A.B.a\6a\6C.De答案A解析若〃为真命题，则2在区间）上恒成立，所以所以〃成立的一个充分不必要条件可QWX[3,4以是.故选9A.（）（•山东聊城一中高三期中）若命题方+=是假命题，则实数的取值范围是.22024/+22—0”答案

（一）2,1解析因为命题“三九€2是假命题，所以命题2是真命R,x+2t/j;+2—4=0”“Vx€R,x+2tzx+2—aW0”题，所以（）即/十〃一所以一4=4/—42—a vO,2V0,

261.【通性通法】由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即与的关系，转化成的真假求参数的范围.p7【巩固迁移】若命题加是假命题，则机的取值范围是（）

6.4],f—4x—W0”（）A.[—4,—3]B.—8,—4）C.[-4,+8D.[-4,0]答案D解析若‘析工€[2用是假命题,贝星析元€[2冗一丁=是真命题,即1,4],%—4%—#01,4],%—40”团二%2—©,设）因为2在）上单调递减，在（单调递增，所以当—4%=0—22—4,yn%—©[1,22,4]±时，；当时，，故当时，则一X=2ymin=—4x=4ymax=O-4WyW0,4WmW

0.已知命题〃若〃为假命题，则的取值范围是.

7.p3x0,x+-1=0,答案口，+°°）解析因为为假命题，所以命题的否定是真命题，所以p p Vx0,X+Q—1WO xWl—a,所以所以课时作业，基础巩固练

一、单项选择题

1.（2023・天津高考）、2=庐，是、2+尻=2ab»的（）充分不必要条件A.必要不充分条件B.充分必要条件C.既不充分又不必要条件D.答案B解析解法一若析=,则当时,有〃庐=法,2ab=-2a2a2+b2^2ab所以人〃a=—6W02+2SP42=2£99〃；若以+廿=〃,则有a2+b2—2ab—0,即（）所以a=b,则有a2=h2,即2+82=262a—62=0,2+62〃人=/=.所以％=户，是％〃，的必要不充分条件.故选=2/222+2=24B.解法二因为—/或〃，a1-\-h2=2ab^a=h,所以本题可以转化为判断〃=一b或a=b/=/2Q4=a=与a=b的关系，又a=—b或是％的必要不充分条件，所以“片二/，，是、+尻=〃吠的“=Z”22必要不充分条件.故选B.（•浙江名校协作体高三上学期开学考试）设命题〃2则〃的否定为（）

2.2024p V€N,H3H+4,后〃A.V/€N,3+4〃B./W3+4〃〃〃C.m€N,223+4〃几+D.3/€N,234答案c解析因为命题〃序〃所以〃的否定为射€〃〃.故选pVCN,3+4,N,223+4c.下列各项中是“四边形是矩形”的充分条件的是（）

3.四边形的对角线相等A.四边形的两组对边分别相等B.四边形有两个内角都为直角C.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补D.答案D解析对于四边形的对角线相等且平分才是矩形，故不符合题意；对于四边形的两组对边分A,AB,别相等为平行四边形，故不符合题意；对于四边形有三个内角为直角才是矩形，故不符合B C,C题意；对于四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，D,故相邻两角相等，又相邻两角之和为故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故符180°,D合题意.故选D.（•福建百校高三上学期第一次联考）命题不的否定是（）

4.2024FxCQ,ICQ”正十畋A.Vx€Q,B.VKQ,df+l€Q正C.3x€Q,+14Q返+D.Vx€Q,1WQ答案A解析因为命题叼为存在量词命题，所以命题的否xCQ,CQ”4f+i CQ”定是故选“Vx€Q,+1qQ”.A.（•湖南邵阳高三二模）已知集合2m~l].若气是的充分不必

5.2023A=[—2,5],B=[m+1,€3”“x€A”要条件，则m的取值范围是（）（（A.—8,3]B.2,3]C.0D.[2,3]答案B\2m—、m+1解析因为匕是的充分不必要条件，所以所以《根，或€3”3A,+12—22m—15r\2m—5/n+1《加，则〈根即根的取值范围是（故选+1—223,2,3].B.Jim—或515（•湖南长郡中学高三月考）若命题〃以—为假命题，则〃的取值范围是（）

6.2024a+2420”（）A.-4,0]B.[-4,0C.[-3,0]D.[-4,0]答案A解析命题加+〃工-为假命题，即命题「为真命题.当p FxWR,2420”p”VxWR,ar+Za%—40”Q=0时，恒成立，符合题意；当时，则且/=（幻〃即一〃.综上可知，一-40022+160,40〃.故选4W0A.命题『一是真命题的一个必要不充分条件是（）

7.2aW0”A.B.。