第4章 指数与对数 章末小结（解析版）

第章指数与对数章末小结4

2、则x+2y的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C数【分析】由条件结合基本不等式求的最小值.x+2y【详解】因为、也心，又、，2+4y=2+2222+4,=2n2所以当且仅当时取等号,x+2yN2,x=l,所以犬的最小值为故选+2y2,C.若贝」

8.lr=4,10=25,IA.a-\-b=2B.h—a=l2C.abS\g2D.b-a\g6【答案】ACD【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、结合对数函数的单调性判断各选项的正误.Q+8h-a.ab,【详解】由题设，即〃+=正确;10”=100,2,A二一，即〃一〃==坨错误，正确；10~ig—ig6,B D444由=则成=正确;21g2/=21g5,41g21g541g21g4=81g2,C故选ACD已知则满足的关系是

9.3“=8=24,A.a+b=ab B.Q+/〉42222C.6Z-1+/-12D.a-^-b6【答案】ABD【分析】根据指数与对数互化的关系求出力，取倒数相加即可判断选项是否正确；将力代入、、选A BC D项式子的左端化简，并利用基本不等式即可判断是否正确.【详解】/Q3=8=24,=log24,h=log24,3811I c

11.・•・一=-------------------------=lo§243,工=-=log8,24a log24b log2438对于选项故选项正确；A—+7=log3+log8=log24=l,—+-i-=l,.a+b=ab,A40424对于选项B•/a^-b=log24+log24=log3+log8+log8+log3,383388故选项正确；/.tz+Z=2+log8+log32+2^/log8-log3=4,B3838对于选项〃222C Q=log24,b=log24,+Z-l=log3+log8-1+log8+log3-1,383388・・2+仅-22故选项错误；•fz-l I=log3+log82log3log8=2,C8383对于选项D Qa=log24,b=log24,38ab=log24x log24=log3+log8log8+log3=2+log3+log82+2=4,38338883,故选项正确；ab4,.cr+b~2ab8D故选ABD下列各式或说法中正确的有

10.A.lg1g10=0B.lglne=0若则若•，贝C.10=lgx,x=100D.log25X=2Ux=±5【答案】AB【分析】根据对数运算依次分析各选项即可得答案.【详解】对于因为所以故正确；A,lgl0=l,lgl=0,lglgl0=lgl=0,A对于因为=，所以故正确；B,lne=l,lgl lglne=lgl=0,B对于因为所以，故错误；C,10=lgx,x=lV C对于因为所以；，故错误.D,log25X=J,,X=25=5D故选:AB.

三、填空题b

11.已矢口“3=〃,logwh=—,则3Q+Z=.a【答案】673【分析】根据对数性质判断〃＞/＞，由已知利用对数运算可求得，仇即得答案.【详解】由题意可知＞力＞，b b由=人，一可得3log,/=log,=-=3,:.b=3a,a a贝，「.=百,贝lj a=3a,a ijb=3^3,故3a+Z=65/3,故答案为673已知二次函数的最小值为则实数，的值为

12.y=lgaY+2x+41gQ3,log.+log2Jog50【答案】101【分析】对于题空

①，根据开口向上的二次函数，自变量取对称轴对应的值达到最小值，解得的值;对于题空

②，把的值代入表达式，根据对数的运算，化简求值即可.【详解】因为的最小值为所以恒＞y=lgax2+2x+41ga3,0,心访+_J+41gQ=41gQ—J=3,（）〃〃lg Ilgc lg即（）24lg6z-31g a-1=0,所以（）（）41ga+l lga-1=0,解得或=」（舍去），所以=，lgl lga14故（）〃=（炒）坨怆=（修）修（怆）笆（垣电）地=10852+

10842.1085052+

2.5052+25+1=55+2+26/电吆5+2=

1.故答案为；®10@

1.解指数方程川=一

13.23/

9.【答案】％或叫=—3%=3+12【分析】直接对方程两边取以为底的对数，讨论％+和解出方程即可.33=0X+3W0,【详解】由得，（）（）（）当即时，27=349log32x+3=iog33-9,gp x+3log2=x-3x+3,x+3=0x=—30=03显然成立；当时，解得=噫；故方程的解为:x+3w0log2=x-3,2+3x=-3^x=3+log

2.33故答案为或x=-3x=3+log

32.33若』，则〃

14.logaC=z ogC=t log c=.【答案】3【分析】可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到徽人之间等量关系，带入到内三者关系中，c找到氏的关系，即可完成求解.C3333【详解】因为，所以加（必户=，logf=logC=1I333333此时/=（后必，化简得庐，ab»=/5=22I221222设京+川=4，X=〃+3Q3京，y=b+3a3h39求x+丁尸+x-丁尸的值，【答案】而；128【分析】由已知得尢-不二结合指数运算法则化简；15-2,⑵令=，，结合因式分解可得则结合已知即可求值.A C=B x+y=4+Br—y=A—83,x+yf+x—#=24+52,【详解】由户尸+尸，得1i-3*2,回取八+々-九_2_26=332=#.22=J|加⑵令%则=4,1=5,2X=H+3AB2,y=B^3A B,22x+y=4+3AB+3A B+4=A+BY,吕一x_y=4+3AB2-3A24=A-

53.2222团222面+⑻=・x+y3+%_y§=A+32+A_B=2A+B=28计算下列各式

16.------_1-y=*x/5+2^9—4^/5+184•75—2产+・2dg21g21g50+1g25+log2+log

2.log3+log33948【答案】⑴19【分析】、利用指数幕的运算性质求解即可;

1、利用对数的运算性质求解.2后百-1-J+22—2x2+8±-=----A/5+2—J9-4y+二V5-2=75+2-1-75-2+16=

19.・1g21+1g21g50+1g25+log2+log

2.log3+log33948]]12=lg2+lg2lg5+l+21g5+log2+-log2-log3+-log33322J乙3592=lg2+1g21g5+lg2+21g5+-log2x-log33226端=lg2lg2+lg5+lg2+21g5+=2813~4已知尤〉比较五的大小.

17.log2=log3y=log5Z0,【答案】【分析】令表示出，，即可依次比较.log2X=log3y=log5Z=Z,x yz,【详解】令=」10g2^=10g3y=10g5Z Z0,所以正=五=，«=收=，・56=3,2（八】因为5525,323所以正\/八6又因为所以人孤.2a=83=9,/若是方程的解，化简:x-3+x

18.x2-7=5综上所述，yfz^ly.【答案】3所以7=5,2—=5,【详解】因为2”-【分析】解指数方程得解，判断绝对值里数的正负去绝对值符号后化简.整理得

一、

一、团22—5x2”6=0,262+1=0,020,2=

6.0x=log6,x=log6e2,3,22x-3|+x=|log6-3|+log6=3-log6+log6=

3.2222【点睛】本题考查解指数方程，考查绝对值的定义，解题关键求得指数方程的解.例（多选题）下列运算正确的是（）2=疗=-n7m0,n0B..-346・33C^jx+y=x+yY x0,y0【答案】BD【分析】根据根式的定义与分数指数幕的定义、运算法则判断.【详解】（生）7=1篦7・〃一1m,故A错；而+/与（％+户=+不同,故错;y JC廊=（）=事，故正确.=*5=*D故选BD.例化简求值3⑵已知求/+工之.x+x-=3,X2+-【答案】⑴:；【分析】⑴根据指数幕的计算方法计算即可；⑵先利用完全平方公式求出［+丫彳和/+的值，从而求出结果.r2⑴原式二=1+x4—g=!.-1x+x=3,x0,22x+x0，乂・.・（/+%2）2=%+-1+22X2=3+2=5，%X「・—+x5=/5（-1）222・,/x+x=x+x-+2x=9,2，%+x2=7」2,x24-%2_A/5一丁+尸一3题型对数的运算2反思领悟对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的.对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力.对数的运算应遵循以下原则对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.例设〃=则（）1log53,Z=log5,c=log8,813A.abc B.bac C.bca D.cab【答案】A【分析】用作商法比较〃，人的大小，通过比较与与的大小比较瓦的大小，从而得〃力解的大小.

0.

840.8c【详解】解•••.二警（二.匾8（/陷3/*8）2=（空均2],b log^

542.ab\・・54；.58,*-54log8,/.log

81.25,b=log

50.855845•/138,/.45fo^8,/.c=log

80.8,.cbI3139综上，cba.故选A.例2（多选题）已知log23=m,log37=〃，则log4256的值不可能是（）小〃租+〃+根〃+33mn+3+3-------------------------------------------A.B.C.D.mn-\-\2m+7:+1mn+m+1mn-m+1【答案】ABD【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得・〃，」-,（）Iog27=log23log37=m log/M Iog4256=log427x8=log427+log428,mn_________________________________________________7————mn其中42加〃+〃log421+log6l+log2+log311z+l,77771333mn3mn+3故---------------------------log4256=-----------------------------log8=31og2===1441+m+mn+根log42log6+log7mn4-m+l l+m+mn222mn n故选ABD.例化简与求值:316-1+J3-72+8§5\\-InVe^.,O823244-lo8-lg—+lg25-lg-gl16【答案】⑴兀;【分析】（）根据指数的运算法则及性质运算求解；1（）根据对数的运算法则及性质求解.2（）1原式兀-户=1+3+Q3=兀.（）2c2原式=2k,g2322-log8-lg—+lg25-lg8-lne216（）=9-3+lg25x x—-5o23=6+lgl0--_n一

5.题型利用对数的运算性质进行求值3反思领悟对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题.具体解决方法（）1注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；（）注意换底2公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应.A.

5.3,

5.4B.

5.4,

5.5C.

5.5,

5.6D.

5.6,

5.7例已知则属于

10.3010vlg2v

0.3011,log42022【答案】B【分析】根据结合换底公式，代入计算即可.3+lg2lg2022lllg2【详解】0200020222048,01g2000lg2022lg2048,03+lg2lg2O22lllg2,3+lg21g2022110，21g2lg4T一lg2022—-----------

05.4-5,5lg4,故选:B.Q例（多选题）若艺,则下列结论正确的是（）2Q=log23-1,A.a+b=2B.a-b0111-一+C.-al D.—222a b【答案】ABCDQ Q【分析】根据对数的运算与指对数的关系可得=；，再结合对数的运算与基本不等式逐个选10g2/^=10g p2项判断即可.【详解】由题意可得鸣鸣，=13-1=15b=log2a.（、3838对于所以正确；对于A,tz+Z=log-+log-=log-X-=log4=2,A B,6i-Z=log3-l-log8-log3=2222222所以正确;21og3-421og4-4=0,B22对于因为血；所以所以;所以;所以正确;C,2,log2log2log22,C11111Aa对于D,因为Q0,b0,a+b=-2+—+Q+Z7=2,所以一+D—+772l aa b21Q bJ当且仅当时取等号，而出所以取不到等号，所以工+〉所以正确.a=b b,2,D a b故选ABCD.例已知恒估计炉°的大小.

330.4771,【答案】10477【分析】令X=95，然后两边取常用对数求解即可【详解】令，则两边取常用对数得x=95502lg x=lg9=501g9=501g3=1001g3,因为1g3ao.4771,所以1g x*100x

0.4771=

47.71,所以

41047.71,所以的大小约为95°W题型解简单的指数和对数方程4反思领悟简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升.具体解决方法如下化同底将指数方程变形为=〃加=机10形如〃〃的对数方程，等价转化为且彳乂求解，log M=log NQ0,iWl Af=M0定义法:解形如人咱加〃/的方程时,常借助对数的定义等价转化为=/求解.2=10,1⑶换元法设片〃将方程转化为关于，的一元二次方程求出再解出x=log,3x.例根据下列条件，分别求实数的值1X；1log22—X=log2X—1+1⑵级+》2r31-6=2+

2.」4[解]原方程可化为得解得.=彳.经检验知,原1log22—x=log2[2x—1],2—x=2x—1,4方程的解为工=子原方程可化为2x xx2%23X3-2X3-4X2=0,3Y4因式分解得义则即⑸，33]-4*23+2=0,3X3—4X2=,=14解得X=10g|y例解下列关于％的方程2；1lg^/x—1=lgx—12log43—X+log0,253+x=log4l~x+log

0.252x+

1.9⑴原方程等价于［解］解之得.经检验是原方程的解，所以原方程的解为⑵原方程可化为（）（x=2x=2x=

2.log43—X—log43）（）（）+x=log41~x—log42x+

1.3—x1-x3—x1—x即•整理得不解之得或・十十log4H=10g4=7X=7X=°o3x02x+1x32x~r1当时，不满足真数大于的条件，故舍去.满足,所以原方程的解为x=73—xVO,x=0x=

0.二.活学活用培优训练

一、单项选择题（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意6530要求的.）若则一”=（）

1.xlog23=l,3+3【答案】A【分析】求出代入、+

一、化简即得解.X=log32,3311-【详解】解由题得x=l—r=log2,log332所以V电唾万3+3r=32+3=2+,=

9.22故选A.若〃力且非―江=—则犬+〃的值为（）

2.010,2,亚遥A.272B.±2C.-2A/2D.【答案】A【分析】将已知等式条件两边平方可得产+再将目标式平方结合指数累的性质即可求值.c j2=6,【详解】由题设,（b b）22b2b即/+〃必=a-a=a-2^a=46,9又b=,且〃+〉H+a Y=+2+cT2b o,所以夜.+L=2故选A.中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便是著名的香农公式）-它表

3.5G5G C=Wk g21+-）V N示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽信道内信号的平均功率信道内部W,S,q的高斯噪声功率的大小，其中万叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的］可以忽略不计.按NSA.10%B.20%C.30%D.50%照香农公式，若不改变带宽而将信噪比后从°提升到，则大约增加了W,14l

2.

0.301g【答案】Bq【分析】根据题中的香农公式分别计算R等于和时对应的进而比较可得出结果.14C,【详解】信噪比提升到时对应的值记为根据题意,4000C C,口寸，十三}=4000C=Wlog1=W log4001=W2+3log10222得=时，1000C=Wlog fl+-^j=IVlog1001*3Wlog10222C_W.2+31og

102.—=----------------------、

1.,咽C102・・・大约增加了选项正确.C20%,Bi Y=5方=且,一!=2,则m.设-4a b1DA.—B.10-f10故选B.【答案】Dh用对数表示出d，再根据工-即可求出=5=m,!=2ab【分析】先由-2ib=5=m,【详解】v-・・〃，=log m,b=log5m,2即喘l_l,.Jog l-log5=2,A=2,ab210Q=2znM m=.10故选D.【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用.log.

8.化简产可得571%2A.Iog4B.-32C.3D.4【答案】C【分析】利用对数的运算性质即可得出.、log83【详解】；―3故选噫7=log28=log22=

3.C.2【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力.若（）则（）

6.210g22x-y=log2%+log2y,logz^-logz I=或或A.2B.20C.0D.—20【答案】c【分析】根据对数运算法则可知（冲，且，2x-2x-y0,x0,y化简得再化简求值.x=,logz^Tog2y【详解】依题意，（2x-y『=孙，.・.4——5%y+y2=，...（4x-y）（x—y）=o,.,.x=或工=；、，・.・2x—y0,]]X Xx0,y，・・.x〉一y,・・.x=-y（舍去），・二一二1,log x-log=log-=

0.22224y-y故选c【点睛】本题考查对数的运算法则，以及化简计算.若非零实数、匕满足则下列式子一定正确的是（）

7.2=3,A.ba B.baD.\b\\a【答案】C【解析】令2=3=，则/〉0,将指数式化成对数式得、b后,然后取绝对值作差比较可得.]Q tJQ I【详解】—=t.则/0,，w1,；・a=log21=——,b=log31=lg2lg3回一口因此,回.0,⑷1Ig2lg3Ig

2.lg3故选C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题.

二、多选题33所以（（）3ya=/,ab—/’=b=c所以〃logc=

3.故答案为

3.

四、解答题

15.

（1）已知X=Q-3+L,化简犷工小1工。