二模理科数学试题及精准答案

二模理科数学试题及精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-3}【答案】C【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2；解方程x²+x-6=0得x=2或x=-3，所以A∩B={1,2}

2.函数fx=log₃x+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-∞,+∞D.[-1,+∞【答案】D【解析】x+10，解得x-1，定义域为-1,+∞

3.已知向量a=3,-1，b=-1,2，则向量a+b=（）（2分）A.2,1B.4,-3C.-2,3D.1,2【答案】A【解析】a+b=3-1,-1+2=2,

14.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2，C=60°，则c=（）（2分）A.√7B.√5C.√3D.5【答案】A【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+2²-2×3×2×cos60°=7，所以c=√

76.已知等差数列{aₙ}的首项为1，公差为2，则a₅=（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】a₅=1+5-1×2=

117.若复数z=1+i，则|z|=（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】|z|=√1²+1²=√

28.抛物线y²=4x的焦点坐标是（）（2分）A.1,0B.0,1C.-1,0D.0,-1【答案】A【解析】焦点坐标为1,

09.某校高三年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行视力调查，则这是（）（2分）A.全面调查B.抽样调查C.普查D.典型调查【答案】B【解析】抽取部分学生进行调查，属于抽样调查

10.若函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a=（）（2分）A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若sinα=sinβ，则α=βD.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fafb【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1b=-2，但a²=1b²=4；C错误，sinα=sinβ不一定成立，如α=π/6,β=5π/6；D正确，单调递增函数满足fafb

2.以下函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=sinx+π/2【答案】A、C【解析】A是线性函数，斜率为-2，单调递减；C是反比例函数，在0,1上单调递减；B是二次函数，在0,1上单调递增；D是正弦函数，在0,1上非单调

3.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若向量a与向量b共线，则必有λ≠0，使得a=λbB.若a⊥b，则|a+b|=|a-b|C.若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形D.若数列{aₙ}是等比数列，则{aₙ}一定不是等差数列【答案】A、B、C【解析】A正确，向量共线即存在非零λ使得a=λb；B正确，a⊥b即a·b=0，|a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b=|a|²+|b|²=|a-b|²；C正确，满足勾股定理的三角形是直角三角形；D错误，如等比数列{1,-1,1,-1,...}既是等比数列也是等差数列

4.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若fx是奇函数，则f0=0B.若fx是偶函数，则f-x=fxC.若fx在区间a,b上连续，则fx在区间a,b上必有界D.若fx在区间a,b上可导，则fx在区间a,b上连续【答案】B、D【解析】A错误，fx是奇函数不一定有f0=0，如fx=x³，f0=0；B正确，偶函数定义；C错误，连续不一定有界，如fx=1/x在0,1上连续但无界；D正确，可导必连续

5.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若数列{aₙ}是递增数列，则{aₙ}一定有极限B.若数列{aₙ}有极限，则{aₙ}一定收敛C.若数列{aₙ}是等差数列，则{aₙ}一定不是等比数列D.若数列{aₙ}是单调递增有上界，则{aₙ}一定收敛【答案】B、D【解析】A错误，递增数列不一定有极限，如{n}；B正确，有极限即收敛；C错误，如等差数列{0}既是等差数列也是等比数列；D正确，单调有界数列必收敛

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=ax²+bx+c在x=1处取得极大值，且f0=1，则a+b+c=______（4分）【答案】-1【解析】fx=2ax+b，f1=2a+b=0，b=-2a；f0=c=1；a+b+c=a-2a+1=-

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=√19，则cosB=______（4分）【答案】-3/√19【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=4+19-9/2×2×√19=-3/√

193.等比数列{aₙ}的首项为1，公比为2，则a₅=______（4分）【答案】32【解析】a₅=1×2⁴=

164.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】1，0【解析】在[0,1]上fx=1-x，在1,2]上fx=x-1，最大值为1，最小值为

05.若复数z=1+i，则z²=______（4分）【答案】2i【解析】z²=1+i²=1²+2×1×i+i²=1+2i-1=2i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1b=-2，但a²=1b²=

42.若向量a与向量b共线，则必有λ≠0，使得a=λb（）（2分）【答案】（√）【解析】向量共线即存在非零λ使得a=λb

3.若函数fx在区间a,b上连续，则fx在区间a,b上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】连续不一定有界，如fx=1/x在0,1上连续但无界

4.若数列{aₙ}是单调递增有上界，则{aₙ}一定收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】单调有界数列必收敛

5.若复数z=1+i，则|z|=√2（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=√1²+1²=√2

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，求fx的极值点（5分）【答案】解fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1或x=1当x-1时，fx0，fx递增；当-1x1时，fx0，fx递减；当x1时，fx0，fx递增所以x=-1是极大值点，x=1是极小值点

2.已知数列{aₙ}是等差数列，a₃=5，a₇=9，求a₁和公差d（5分）【答案】解由等差数列性质a₇=a₃+4d，9=5+4d，解得d=1a₁=a₃-2d=5-2=3所以a₁=3，d=

13.已知函数fx=sin2x+π/3，求fx的最小正周期（5分）【答案】解周期T=2π/|ω|=2π/2=π所以fx的最小正周期是π

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【答案】解fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=3fx=6x，f1=60，所以x=1是极小值点所以a=3，该极值是极小值

2.已知数列{aₙ}是等比数列，a₂=6，a₅=162，求aₙ的通项公式（10分）【答案】解由等比数列性质a₅=a₂q³，162=6q³，解得q=3a₁=a₂/q=6/3=2所以aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2×3ⁿ⁻¹=2×3ⁿ⁻¹

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】解fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，令fx=0得x=1±√1/3计算f-1=0，f1-√1/3=1-2√1/3，f1+√1/3=1+2√1/3，f3=0所以最大值为f1+√1/3=1+2√1/3，最小值为f-1=

02.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=1，a₅=11，求数列{aₙ}的前n项和Sₙ（25分）【答案】解由等差数列性质a₅=a₁+4d，11=1+4d，解得d=

2.5Sₙ=n/2[2a₁+n-1d]=n/2[2+

2.5n-1]=n/2[

2.5n-

0.5]=n5n-1/4所以Sₙ=n5n-1/4。