仲夏杯数学测试题与参考答案

仲夏杯数学测试题与参考答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sqrtx【答案】D【解析】y=-2x+1是减函数，y=x^2在x0时减，x0时增，y=1/x在x0时减，x0时增，y=sqrtx在定义域内单调递增

2.如果集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的公共元素是2和

33.一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为6cm，则其面积是（）（2分）A.24cm^2B.30cm^2C.24√3cm^2D.30√3cm^2【答案】A【解析】高为√6^2-5^2=√11，面积=10×√11/2=5√11≈24cm^

24.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】当x=1时，|x-1|=0，是最小值

5.如果直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相切，那么k的值是（）（2分）A.±√3/3B.±√3C.±2√3D.±3√3【答案】C【解析】圆心到直线的距离等于半径，|3/k|=2，k=±3/2，但选项中没有，重新计算|k|=2√3，k=±2√

36.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则其公差d等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】a_5=a_1+4d，9=3+4d，d=

27.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则其斜边的长是（）（2分）A.5B.7C.25D.±5【答案】A【解析】勾股定理，斜边长√3^2+4^2=√25=

58.下列命题中，正确的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有无数个子集C.两个空集相等D.两个集合的交集一定是非空集合【答案】C【解析】空集没有元素，所以是任何集合的子集；任何集合的子集至少有一个（空集）；空集与空集没有元素，所以相等；两个集合的交集可以是非空也可以是空集

9.函数y=2^x的反函数是（）（2分）A.y=2^xB.y=x/2C.y=log_2xD.y=-log_2x【答案】C【解析】反函数交换x和y，得到x=log_2y

10.如果向量a=1,2，b=3,-4，那么向量a+b等于（）（2分）A.4,-2B.2,6C.10,-2D.4,6【答案】A【解析】向量加法对应分量相加，a+b=1+3,2-4=4,-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是偶函数？（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、D【解析】偶函数满足f-x=fx，只有y=x^2和y=cosx满足

2.以下关于三角函数的命题正确的有？（）A.sinπ/2-x=cosxB.cosπ/2+x=-sinxC.tanπ/4+x=tanx+tanπ/4D.sinx+sinπ-x=0E.cosx-cosπ+x=0【答案】A、B、D【解析】利用诱导公式和和差公式验证，C选项tanπ/4+x≠tanx+tanπ/

43.关于等比数列{a_n}，以下说法正确的有？（）A.若a_10，则数列单调递增B.若q=1，则数列为常数列C.若q0，则数列一定发散D.若a_n=a_1q^n-1E.若a_n=a_1q^n-1，则S_n=a_11-q^n/1-q【答案】B、D、E【解析】A选项错误，如a_10，q=-2，数列交替正负；C选项错误，如q=-1，数列交替为a_1，-a_1，a_1，-a_1，...

4.关于直线与圆的位置关系，以下说法正确的有？（）A.直线与圆相切时，有且只有一个公共点B.直线与圆相交时，有两个公共点C.直线与圆相离时，没有公共点D.直线与圆的位置关系可以通过判别式判断E.直线过圆心时，与圆相切【答案】A、B、C【解析】E选项错误，直线过圆心时与圆相交

5.关于数列极限，以下说法正确的有？（）A.若limn→∞a_n=limn→∞b_n，则a_n=b_nB.若a_n→L，b_n→M，则a_n+b_n→L+MC.若a_n→L，b_n→M，则a_nb_n→LMD.若limn→∞a_n=0，则a_n→0E.若limn→∞a_n=∞，则a_n发散【答案】B、C、D、E【解析】A选项错误，如a_n=1/n，b_n=1/n+1，limn→∞a_n=limn→∞b_n=0，但a_n≠b_n

三、填空题

1.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是______（4分）【答案】-a,b

2.函数y=1/x-1的定义域是______（4分）【答案】-∞,1∪1,+∞

3.若log_3x=2，则x=______（4分）【答案】

94.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_10=10，则a_5+a_6=______（4分）【答案】

105.若sinα+β=1/2，sinα-β=-1/2，则cos2α=______（4分）【答案】-3/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.如果两个集合的交集为空集，那么这两个集合一定是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】如A={1,2}，B={3,4}，A∩B=∅，但A和B都不是空集

2.若函数fx是奇函数，则其图像一定过原点（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数满足f-x=-fx，取x=0，f0=-f0，所以f0=

03.在等比数列中，若首项为负，公比为正，则数列为递增数列（）（2分）【答案】（×）【解析】数列交替正负，如a_1=-1，q=2，数列为-1，2，-4，8，...，不是递增

4.若圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在x轴上，则其半径为3（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心2,-3，半径√2-0^2+-3-0^2=√4+9=√13≈

3.6，原题半径为3正确

5.若数列{a_n}单调递增，则其极限一定存在（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=lnn，单调递增，但极限为+∞，极限不存在

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数通项公式a_n=a_1+n-1d，其中a_1为首项，d为公差

2.简述函数奇偶性的定义【答案】函数fx是奇函数，若对于定义域内的任意x，都有f-x=-fx；函数fx是偶函数，若对于定义域内的任意x，都有f-x=fx

3.简述直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2的位置关系的判断方法【答案】计算圆心到直线的距离d=|b|/√k^2+1，若dr，相离；若d=r，相切；若dr，相交

4.简述数列极限的定义【答案】对于数列{a_n}，如果存在一个常数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当nN时，|a_n-L|ε恒成立，则称L为数列{a_n}的极限，记作limn→∞a_n=L

5.简述向量加法的几何意义【答案】向量加法的几何意义是三角形法则或平行四边形法则三角形法则将向量b的起点放在向量a的终点，则从向量a的起点到向量b的终点的向量就是a+b；平行四边形法则以向量a和向量b为邻边作平行四边形，从公共顶点到对顶点的向量就是a+b

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx在区间[1,4]上的最大值和最小值【答案】首先求导fx=2x-4，令fx=0，得x=2计算f1=0，f2=-1，f4=7所以最小值为-1，最大值为

72.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式【答案】当n=1时，a_1=S_1=-1当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2n-1^2-3n-1]=4n-5所以通项公式为a_n=4n-5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明理由【答案】fx可以分段表示为fx={3,x-2{-1-x,-2≤x≤1{1+x,x1}fx在x=-2时取最小值3理由分段函数在各段都是线性函数，最小值出现在端点或分段点

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10【答案】首先求公差d=a_5-a_1/5-1=12/4=3前10项和S_10=10×[2+10-1×3]=10×31=310。