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全国高考数学卷I综合试题及答案探讨
一、单选题
1.下列函数中,在其定义域内单调递增的是()(2分)A.y=2^xB.y=1/xC.y=-x^2D.y=|x|【答案】A【解析】指数函数y=2^x在其定义域内是单调递增的
2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=1或x=2},则A∩B=()(2分)A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2},A∩B={1,2}
3.函数fx=sinx+π/2的图像关于哪个点对称?()(2分)A.0,0B.π/2,0C.π,0D.π/2,1【答案】D【解析】函数fx=sinx+π/2=cosx,其图像关于点π/2,1对称
4.一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则其侧面积为()(2分)A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π
5.若复数z满足|z|=1,则z的平方的模为()(2分)A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】|z^2|=|z|^2=1^2=
16.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,则角C=()(2分)A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】角C=180°-60°-45°=75°
7.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数fx的符号为()(2分)A.正B.负C.零D.不确定【答案】B【解析】fx=1/x+1,在-1,0上x+1为正,但趋近于-1时趋近于0,整体为负
8.设函数fx在x=1处的切线方程为y=3x-2,则f1的值为()(2分)A.3B.2C.1D.-1【答案】A【解析】切线斜率即导数值,f1=
39.在等差数列{a_n}中,若a_1=2,a_5=10,则其前5项和S_5为()(2分)A.20B.30C.40D.50【答案】C【解析】a_5=a_1+4d,得d=2,S_5=5a_1+10d=
4010.设事件A的概率PA=
0.6,事件B的概率PB=
0.7,且PA∪B=
0.8,则PA∩B为()(2分)A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.4【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=
0.6+
0.7-
0.8=
0.5
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列命题中,正确的有()(4分)A.空集是任何集合的子集B.若ab,则a^2b^2C.若fx是奇函数,则f0=0D.若|z|=1,则z^2=1E.等腰三角形的底角相等【答案】A、E【解析】A正确,空集是任何集合的子集;B错误,如a=-2,b=-1;C错误,f0=0不一定;D错误,z=±i时z^2=-1;E正确
2.下列函数中,在区间0,1上单调递减的有()(4分)A.y=x^2B.y=1/xC.y=-xD.y=lnxE.y=sinx【答案】B、C【解析】y=1/x在0,1上单调递减;y=-x在0,1上单调递减
3.下列不等式成立的有()(4分)A.-2^3-1^2B.2^02^1C.1/log_2e0D.3^42^5E.sinπ/6cosπ/6【答案】C、E【解析】A错误,-2^3=-8-1^2=1;B错误,2^0=12^1=2;C正确,1/log_2e0;D错误,3^4=812^5=32;E正确
4.下列图形中,是轴对称图形的有()(4分)A.平行四边形B.等腰梯形C.矩形D.正方形E.圆【答案】B、C、D、E【解析】等腰梯形、矩形、正方形、圆都是轴对称图形
5.下列说法正确的有()(4分)A.样本容量越大,估计总体参数的精度越高B.频率分布直方图可以表示数据的分布情况C.两个独立事件的积事件概率等于它们概率的乘积D.正态分布曲线关于均值对称E.线性回归方程中,系数b表示y随x的变化率【答案】A、B、C、D、E【解析】A、B、C、D、E均正确
三、填空题(每题4分,共20分)
1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为______,最小值为______(4分)【答案】1;0【解析】最大值为1(x=2时),最小值为0(x=1时)
2.在等比数列{a_n}中,若a_2=6,a_4=54,则其公比q为______(4分)【答案】3【解析】a_4=a_2q^2,得q=
33.若sinα=1/2,且α在第二象限,则cosα的值为______(4分)【答案】-√3/2【解析】cosα=-√1-sin^2α=-√3/
24.函数fx=e^x的麦克劳林展开式的前三项为______(4分)【答案】1+x+x^2/2【解析】e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…,前三项为1+x+x^2/
25.从6名男生和4名女生中选出3名代表,其中至少有1名女生,则不同的选法共有______种(4分)【答案】20【解析】至少1名女生的选法=总选法-全男生选法=20-20=20
四、判断题(每题2分,共10分)
1.若函数fx在区间I上单调递增,则其反函数也在该区间上单调递增()(2分)【答案】(√)【解析】单调递增函数的反函数也单调递增
2.两个互斥事件的和事件的概率等于它们概率的和()(2分)【答案】(√)【解析】互斥事件A和B,PA∪B=PA+PB
3.若|z|=1,则z只能是1或-1()(2分)【答案】(×)【解析】|z|=1表示单位圆上的所有点,包括z=i等
4.在△ABC中,若角A=角B,则边a=边b()(2分)【答案】(√)【解析】等角对等边
5.样本方差S^2越大,说明样本数据越分散()(2分)【答案】(√)【解析】方差反映数据离散程度
五、简答题(每题5分,共15分)
1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值(5分)【答案】最大值为2,最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x,令fx=0得x=0或x=2,f-1=-2,f0=2,f2=-2,f3=2,最大值为2,最小值为-
22.证明对任意实数a、b,都有|a+b|≤|a|+|b|(5分)【答案】证明设a、b为任意实数,则a+b^2=a^2+2ab+b^2≥0,得2ab≤a^2+b^2,即a-b^2≥0,展开得a^2-2ab+b^2≥0,即a^2+b^2≥2ab,两边加a^2+b^2得2a^2+b^2≥2ab,除以2得a^2+b^2≥ab,即|a+b|≤|a|+|b|
3.求过点1,2且与直线L3x-4y+5=0平行的直线方程(5分)【答案】3x-4y-5=0【解析】平行直线斜率相同,设方程为3x-4y+c=0,代入1,2得3-8+c=0,解得c=-5,直线方程为3x-4y-5=0
六、分析题(每题10分,共20分)
1.某工厂生产一种产品,固定成本为10000元,每件产品成本为50元,售价为80元若销售量为x件,求
(1)利润函数;
(2)销售多少件时利润最大?
(3)销售多少件时能保本?(10分)【答案】
(1)利润函数Lx=80x-50x-10000=30x-10000
(2)Lx=30,令Lx=0得x=1000/3,Lx=0,x=1000/3时利润最大,最大利润为L1000/3=10000元
(3)保本时Lx=0,30x-10000=0,x=1000/3,销售1000/3件时保本
2.某班级有50名学生,其中男生30名,女生20名现要随机抽取5名学生参加活动,求
(1)抽到3名男生和2名女生的概率;
(2)至少有3名男生的概率(10分)【答案】
(1)抽到3名男生和2名女生的概率=组合数C30,3×C20,2/C50,5=
0.3
(2)至少有3名男生的概率=1-抽到0或1或2名男生的概率=1-组合数C30,0×C20,5/C50,5-组合数C30,1×C20,4/C50,5-组合数C30,2×C20,3/C50,5=
0.8
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.某物体从高度为h米处自由落下,忽略空气阻力,重力加速度为g米/秒^2求
(1)物体下落的时间函数;
(2)物体下落距离与时间的函数关系;
(3)物体下落3秒时的速度和高度(25分)【答案】
(1)时间函数t=√2h/g
(2)下落距离s=1/2gt^2
(3)下落3秒时速度v=gt=3g,高度h=h-1/2gt^2=h-
4.5g
2.某农场种植两种作物A和B,每亩作物A需要肥料10kg,农药5kg,劳动力20小时;每亩作物B需要肥料8kg,农药3kg,劳动力15小时农场现有肥料120kg,农药80kg,劳动力300小时若作物A每亩利润为500元,作物B每亩利润为400元,问如何安排种植才能使总利润最大?(25分)【答案】设种植作物A为x亩,作物B为y亩,则约束条件为10x+8y≤120,5x+3y≤80,20x+15y≤300,目标函数为z=500x+400y解得x=6,y=8,最大利润为z=500×6+400×8=6400元完整标准答案见最后附页。
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