全国高考数学卷I综合试题及答案探讨

全国高考数学卷I综合试题及答案探讨

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=2^xB.y=1/xC.y=-x^2D.y=|x|【答案】A【解析】指数函数y=2^x在其定义域内是单调递增的

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，所以A={1,2}，A∩B={1,2}

3.函数fx=sinx+π/2的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.0,0B.π/2,0C.π,0D.π/2,1【答案】D【解析】函数fx=sinx+π/2=cosx，其图像关于点π/2,1对称

4.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

5.若复数z满足|z|=1，则z的平方的模为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】|z^2|=|z|^2=1^2=

16.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】角C=180°-60°-45°=75°

7.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数fx的符号为（）（2分）A.正B.负C.零D.不确定【答案】B【解析】fx=1/x+1，在-1,0上x+1为正，但趋近于-1时趋近于0，整体为负

8.设函数fx在x=1处的切线方程为y=3x-2，则f1的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.-1【答案】A【解析】切线斜率即导数值，f1=

39.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则其前5项和S_5为（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】C【解析】a_5=a_1+4d，得d=2，S_5=5a_1+10d=

4010.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B为（）（2分）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx是奇函数，则f0=0D.若|z|=1，则z^2=1E.等腰三角形的底角相等【答案】A、E【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=-2，b=-1；C错误，f0=0不一定；D错误，z=±i时z^2=-1；E正确

2.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=x^2B.y=1/xC.y=-xD.y=lnxE.y=sinx【答案】B、C【解析】y=1/x在0,1上单调递减；y=-x在0,1上单调递减

3.下列不等式成立的有（）（4分）A.-2^3-1^2B.2^02^1C.1/log_2e0D.3^42^5E.sinπ/6cosπ/6【答案】C、E【解析】A错误，-2^3=-8-1^2=1；B错误，2^0=12^1=2；C正确，1/log_2e0；D错误，3^4=812^5=32；E正确

4.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.平行四边形B.等腰梯形C.矩形D.正方形E.圆【答案】B、C、D、E【解析】等腰梯形、矩形、正方形、圆都是轴对称图形

5.下列说法正确的有（）（4分）A.样本容量越大，估计总体参数的精度越高B.频率分布直方图可以表示数据的分布情况C.两个独立事件的积事件概率等于它们概率的乘积D.正态分布曲线关于均值对称E.线性回归方程中，系数b表示y随x的变化率【答案】A、B、C、D、E【解析】A、B、C、D、E均正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】1；0【解析】最大值为1（x=2时），最小值为0（x=1时）

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则其公比q为______（4分）【答案】3【解析】a_4=a_2q^2，得q=

33.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα的值为______（4分）【答案】-√3/2【解析】cosα=-√1-sin^2α=-√3/

24.函数fx=e^x的麦克劳林展开式的前三项为______（4分）【答案】1+x+x^2/2【解析】e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…，前三项为1+x+x^2/

25.从6名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少有1名女生，则不同的选法共有______种（4分）【答案】20【解析】至少1名女生的选法=总选法-全男生选法=20-20=20

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数也在该区间上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数的反函数也单调递增

2.两个互斥事件的和事件的概率等于它们概率的和（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件A和B，PA∪B=PA+PB

3.若|z|=1，则z只能是1或-1（）（2分）【答案】（×）【解析】|z|=1表示单位圆上的所有点，包括z=i等

4.在△ABC中，若角A=角B，则边a=边b（）（2分）【答案】（√）【解析】等角对等边

5.样本方差S^2越大，说明样本数据越分散（）（2分）【答案】（√）【解析】方差反映数据离散程度

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为2，最小值为-

22.证明对任意实数a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|（5分）【答案】证明设a、b为任意实数，则a+b^2=a^2+2ab+b^2≥0，得2ab≤a^2+b^2，即a-b^2≥0，展开得a^2-2ab+b^2≥0，即a^2+b^2≥2ab，两边加a^2+b^2得2a^2+b^2≥2ab，除以2得a^2+b^2≥ab，即|a+b|≤|a|+|b|

3.求过点1,2且与直线L3x-4y+5=0平行的直线方程（5分）【答案】3x-4y-5=0【解析】平行直线斜率相同，设方程为3x-4y+c=0，代入1,2得3-8+c=0，解得c=-5，直线方程为3x-4y-5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品成本为50元，售价为80元若销售量为x件，求

（1）利润函数；

（2）销售多少件时利润最大？

（3）销售多少件时能保本？（10分）【答案】

（1）利润函数Lx=80x-50x-10000=30x-10000

（2）Lx=30，令Lx=0得x=1000/3，Lx=0，x=1000/3时利润最大，最大利润为L1000/3=10000元

（3）保本时Lx=0，30x-10000=0，x=1000/3，销售1000/3件时保本

2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取5名学生参加活动，求

（1）抽到3名男生和2名女生的概率；

（2）至少有3名男生的概率（10分）【答案】

（1）抽到3名男生和2名女生的概率=组合数C30,3×C20,2/C50,5=

0.3

（2）至少有3名男生的概率=1-抽到0或1或2名男生的概率=1-组合数C30,0×C20,5/C50,5-组合数C30,1×C20,4/C50,5-组合数C30,2×C20,3/C50,5=

0.8

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某物体从高度为h米处自由落下，忽略空气阻力，重力加速度为g米/秒^2求

（1）物体下落的时间函数；

（2）物体下落距离与时间的函数关系；

（3）物体下落3秒时的速度和高度（25分）【答案】

（1）时间函数t=√2h/g

（2）下落距离s=1/2gt^2

（3）下落3秒时速度v=gt=3g，高度h=h-1/2gt^2=h-

4.5g

2.某农场种植两种作物A和B，每亩作物A需要肥料10kg，农药5kg，劳动力20小时；每亩作物B需要肥料8kg，农药3kg，劳动力15小时农场现有肥料120kg，农药80kg，劳动力300小时若作物A每亩利润为500元，作物B每亩利润为400元，问如何安排种植才能使总利润最大？（25分）【答案】设种植作物A为x亩，作物B为y亩，则约束条件为10x+8y≤120，5x+3y≤80，20x+15y≤300，目标函数为z=500x+400y解得x=6，y=8，最大利润为z=500×6+400×8=6400元完整标准答案见最后附页。