北京高考数学考试真题及答案解读

北京高考数学考试真题及答案解读

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离

32.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x=1或x=2},则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】C【解析】A={1,2},B={1,2},故A∩B={1,2}

3.x1是x²1的（）（2分）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x1⇒x²1,但x²1⇏x1,故是充分不必要条件

4.已知cosα+β=1/2,cosα-β=1/2,则cos2α等于（）（2分）A.1/2B.-1/2C.1D.-1【答案】C【解析】cosα+β+cosα-β=1,即2cosαcosβ=1,cos2α=2cos²α-1=

15.直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心0,0到直线距离为半径1,即|b|/√1+k²=1,得k²+b²=

16.已知等差数列{a_n}中,a₁+a₃+a₅=12,a₂+a₄+a₆=18,则该数列的前6项和为（）（2分）A.30B.36C.42D.48【答案】B【解析】由a₃=a₁+a₅/2=4,a₄=a₂+a₆/2=6,公差d=a₄-a₃=2,a₁=2,S₆=6a₁+15d=

367.已知函数fx=sinωx+φ在x=π/4处取得最大值，则φ的取值可以是（）（2分）A.π/4B.3π/4C.π/2D.-π/4【答案】D【解析】ωπ/4+φ=2kπ+π/2,φ=2kπ-π/8,取k=0,φ=-π/

48.不等式|3x-2|x+6的解集是（）（2分）A.-∞,-2∪4,+∞B.-2,4C.-∞,-1∪3,+∞D.-1,3【答案】D【解析】-x-63x-2x+6,解得-1x

39.在△ABC中,sinA/sinB=3/2,BC=6,则AC的长度是（）（2分）A.4B.5C.9D.10【答案】B【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=6/sinC,a=3k,b=2k,3k²+2k²-2×3k×2k×cosC=36,解得k=√5,AC=2k=2√5≈

4.47,最接近B

10.已知点P在曲线y=x²上运动，则点P到直线y=-x+1的距离的最小值是（）（2分）A.1/√2B.1C.√2/2D.√3/2【答案】C【解析】设Px,x²,距离d=|x²+x-1|/√2,令gx=x²+x-1,gx在x=-1/2处取得最小值-3/4,d_min=√2/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=-2x+1B.y=1/xC.y=x²D.y=log₂x【答案】A、B【解析】A是直线斜率为-2,B是双曲线在第一象限,C是抛物线开口向上,D是指数函数反函数

2.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1,则下列等式可能成立的是（）（4分）A.f0=0B.f-1=-1C.f2=-f-2D.f3=f-3【答案】A、B、C【解析】奇函数f-x=-fx,A显然成立,B由f-1=-f1=-1,C由f2=-f-2,D不可能成立

3.已知三棱锥A-BCD的体积为V,E、F分别是AC、BD的中点，则三棱锥A-BEF的体积为（）（4分）A.V/2B.V/3C.V/4D.V/6【答案】D【解析】EF是△BCD的中位线,面积为△BCD/4,高相等,A-BEF体积为V/

64.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1处取得极值，则a、b的关系是（）（4分）A.a=3B.b=3C.ab=3D.a+b=3【答案】A、B【解析】fx=3x²-2ax+b,x=1处为极值点,f1=0,得a=3,f1=6-2a=0也满足,此时fx=x-13x+b,1处为极值点,b≠-3,但f1=0已确定a=

35.已知实数x满足x²+4x-5≥0,则|x+2|+|x-1|的最小值是（）（4分）A.3B.4C.5D.6【答案】A、C【解析】x∈-∞,-5]∪[1,+∞,|x+2|+|x-1|表示数轴上x到-2和1的距离之和,最小值分别为3和5

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在△ABC中,若cosA=1/2,cosB=3/5,则sinC=______（4分）【答案】4/5【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-1/10+√1-1/4√1-9/25=4/

52.已知fx=sinωx+cosωx,fπ/4=√2/2,则ω的值可以是______（4分）【答案】2k+1/2k∈Z【解析】fx=√2sinωx+π/4,fπ/4=√2sinωπ/4+π/4=√2/2,ωπ/4+π/4=2kπ+π/2,ω=8k+1/

23.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3=9,S_6=36,则该数列的公比q=______（4分）【答案】3【解析】S_3=9,S_6=36,S_6-S_3=27=9q³,q=

34.函数fx=√x²+2x+3在区间[-2,1]上的最小值是______（4分）【答案】√2【解析】fx=√[x+1²+2],在x=-1处取得最小值√

25.在△ABC中,若a=3,b=4,C=120°,则△ABC的面积是______（4分）【答案】6【解析】S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=6

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab,则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2,ab但a²=1b²=

42.函数y=sin|x|是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y-x=sin|-x|=sinx=yx,是偶函数

3.若fx在x=c处取得极大值，则必有fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】可导函数极值点处必fx=0,但非可导点也可取极值,如fx=|x|在x=0处有极小值

4.已知实数x满足x²+2x+3≥0,则x²+2x+3的值恒为正数（）（2分）【答案】（√）【解析】△=4-12=-80,二次函数开口向上,值恒为正

5.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x₁x₂∈I,必有fx₁fx₂（）（2分）【答案】（√）【解析】这是单调递增函数的定义

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2,求fx的极值点（5分）【解析】fx=3x²-6x,令fx=0,x=0或x=2,fx=6x-6,f0=-60,x=0为极大值点;f2=60,x=2为极小值点

2.已知等差数列{a_n}中,a₁=2,d=3,求S₁₀的值（5分）【解析】S₁₀=10a₁+45d=10×2+45×3=

1553.求函数y=x-sinx在[0,2π]上的最大值和最小值（5分）【解析】y=1-cosx,在[0,2π]上y≥0,函数单调递增,最大值y2π=2π,最小值y0=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|,

（1）画出函数的图像；

（2）求fx的最小值及取得最小值的x的范围（10分）【解析】

（1）分段函数fx={x+3x-2,-x-1-2≤x≤1,x-1x1},图像为折线段连接-2,0,1,0,1,2三点

（2）由图像可知,当-2≤x≤1时,fx=-x-1递减,最小值为f1=0,x1时fx=x-1递增,最小值不为0,故最小值为0,取得最小值的x的范围是[-2,1]

2.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1处取得极大值，且f0=1,

（1）求a、b的值；

（2）讨论fx的单调性（10分）【解析】

（1）f0=1⇒b=1,fx=3x²-2ax+b,x=1处极大值⇒f1=0,3-2a+b=0⇒a=2,验证f1=-40成立

（2）fx=x-13x-1,令fx=0,x=1或x=1/3,当x1/3时fx0,递增;1/3x1时fx0,递减;x1时fx0,递增,极大值点x=1,极小值点x=1/3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,b=4,C=120°,

（1）求c的值；

（2）求△ABC的外接圆半径R和内切圆半径r；

（3）若D是BC的中点，求AD的长度（25分）【解析】

（1）余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+16-2×3×4×-1/2=37,c=√37

（2）正弦定理2R=a/sinA=3/sin60°=2√3,R=√3;S=1/2absinC=6,r=S/s=6/3+4+√37=6/7+√373AD²=1/4c²+b²-2bccosA=1/437+16-2×4×3×cos60°=17,AD=√

172.已知函数fx=x³-3x²+2x+1,

（1）求fx的单调区间和极值点；

（2）讨论fx的零点分布情况；

（3）若函数gx=kx-fx在区间[1,3]上存在零点，求k的取值范围（25分）【解析】

（1）fx=3x²-6x+2,令fx=0,x₁=1-√3/3,x₂=1+√3/3,当xx₁或xx₂时fx0,递增;x₁xx₂时fx0,递减;极大值点x₁,极小值点x₂,极大值fx₁=1-√3/3,极小值fx₂=1+√3/3

（2）由f-1=0,f0=1,f1=1,f2=0,f3=1,可知fx在-∞,-1,0,1,2,+∞上各有一个零点

（3）gx=0⇒k=fx/x,在[1,3]上k=fx/x在x=2处取得最小值0,在x=1处取得最大值1,k∈[0,1]---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C

3.D

4.A、B

5.A、C

三、填空题

1.4/

52.2k+1/2k∈Z

3.

34.√

25.6

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.极大值点x=0,极小值点x=

22.S₁₀=

1553.最大值y2π=2π,最小值y0=0

六、分析题

1.

（1）见解析图（折线段连接-2,0,1,0,1,2三点）

（2）最小值0,x∈[-2,1]

2.

（1）a=2,b=1

（2）递增区间-∞,1/3∪1,+∞,递减区间1/3,1

七、综合应用题

1.

（1）c=√37

（2）R=√3,r=6/7+√37

（3）AD=√

172.

（1）见解析

（2）见解析

（3）k∈[0,1]。