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北华大学数学考研高频试题及答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.函数fx=lnx^2+1在区间-1,1上的导数fx等于（）（2分）A.2x/x^2+1B.x/x^2+1C.1/xD.-1/x【答案】A【解析】fx=[lnx^2+1]=1/x^2+12x=2x/x^2+
12.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】根据基本极限limx→0sinx/x=
13.方程x^3-3x+1=0在区间-2,-1内有（）个实根（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx=x^3-3x+1在-2,-1上连续，f-2=-8+6+1=-10，f-1=-1+3+1=30，由介值定理，存在唯一的实根
4.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞-1^n/nD.∑n=1→∞2^n【答案】B【解析】p-级数测试，p=21，级数收敛
5.若向量a=1,2,3，b=1,-1,2，则向量a与b的夹角θ等于（）（2分）A.arccos7/√30B.arccos7/√14C.arccos7/√26D.arccos7/√50【答案】A【解析】cosθ=a·b/|a||b|=11+2-1+32/√1^2+2^2+3^2√1^2+-1^2+2^2=7/√30，θ=arccos7/√
306.若A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|等于（）（2分）A.3B.6C.18D.54【答案】D【解析】|kA|=k^n|A|，|3A|=3^3|A|=272=
547.矩阵A=100;020;003的特征值是（）（2分）A.1,2,3B.-1,-2,-3C.0,2,3D.1,0,3【答案】A【解析】对角线上元素即为特征值
8.若事件A与B互斥，PA=
0.3，PB=
0.4，则PA∪B等于（）（2分）A.
0.1B.
0.3C.
0.7D.
0.7【答案】C【解析】PA∪B=PA+PB=
0.3+
0.4=
0.
79.随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则PXμ等于（）（2分）A.
0.5B.
0.6827C.
0.8413D.1【答案】A【解析】正态分布关于均值对称，PXμ=
0.
510.函数fx=e^-x^2在区间-∞,0上是（）（2分）A.单调增加B.单调减少C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=-2xe^-x^2，在-∞,0上fx0，单调增加
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中，在区间0,1上连续的是（）（4分）A.fx=1/xB.fx=sinxC.fx=lnxD.fx=tanx【答案】B、C【解析】fx=1/x在0,1上不连续，fx=lnx在0,1上连续，fx=sinx在0,1上连续，fx=tanx在0,1上存在间断点
2.下列级数中，绝对收敛的是（）（4分）A.∑n=1→∞-1^n/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞-1^n/n^2D.∑n=1→∞-1^n2^n【答案】B、C【解析】绝对值级数∑n=1→∞1/n^2收敛，∑n=1→∞1/n^4收敛，∑n=1→∞2^n发散
3.下列向量组中，线性无关的是（）（4分）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关，1,1,1线性相关
4.下列矩阵中，可逆的是（）（4分）A.10;01B.12;24C.30;03D.01;10【答案】A、C、D【解析】行列式非零的矩阵可逆，|B|=0，不可逆
5.下列关于随机变量的说法中，正确的是（）（4分）A.若X与Y独立，则PX0,Y0=PX0PY0B.若X与Y不相关，则X与Y独立C.若X与Y独立，则X^2与Y^2独立D.若X与Y不相关，则EXY=EXEY【答案】A、D【解析】独立定义，不相关意味着EXY=EXEY
三、填空题（每题4分，共16分）
1.若函数fx=x^2+ax+b在x=1处取得极小值，则a=______，b=______（4分）【答案】-2，3【解析】fx=2x+a，f1=0，a=-2，f1=1-a+b=0，b=1，b=-1，a=-
22.若向量a=1,2,3，b=1,-1,2，则向量a·b=______，|a|=______，|b|=______（4分）【答案】3，√14，√6【解析】a·b=11+2-1+32=3，|a|=√1^2+2^2+3^2=√14，|b|=√1^2+-1^2+2^2=√
63.若矩阵A=12;34，则|2A|=______（4分）【答案】32【解析】|2A|=2^2|A|=4|A|=414-23=
324.若事件A与B独立，PA=
0.6，PB=
0.7，则PA∩B=______（4分）【答案】
0.42【解析】PA∩B=PAPB=
0.
60.7=
0.42
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续，但无界
2.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则级数∑n=1→∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛的级数绝对值级数发散
3.若向量组a_1,a_2,a_3线性无关，则向量组a_1+a_2,a_2+a_3,a_3+a_1线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】若存在不全为0的k_1,k_2,k_3使k_1a_1+a_2+k_2a_2+a_3+k_3a_3+a_1=0，整理得k_1+k_3a_1+k_1+k_2a_2+k_2+k_3a_3=0，由线性无关，k_1+k_3=0，k_1+k_2=0，k_2+k_3=0，解得k_1=k_2=k_3=
04.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】|A^T|=|A|，|A|≠0，|A^T|≠0，A^T可逆
5.若随机变量X与Y不相关，则X与Y独立（）（2分）【答案】（×）【解析】不相关不意味着独立，如X^2与X独立
五、简答题（每题4分，共12分）
1.简述洛必达法则的适用条件（4分）【答案】
（1）极限形式为0/0或∞/∞；
（2）分子分母的导数存在且极限存在或为∞；
（3）连续使用洛必达法则，直到得到确定极限或出现非洛必达法则的极限形式
2.简述矩阵可逆的充要条件（4分）【答案】
（1）矩阵为方阵；
（2）行列式不为0；
（3）存在逆矩阵，使得AA^-1=A^-1A=E
3.简述独立重复试验的定义（4分）【答案】
（1）试验结果只有两种可能；
（2）每次试验相互独立；
（3）每次试验的成功概率相同；
（4）n次试验构成一个序列
六、分析题（每题10分，共20分）
1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】
（1）fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，x=0，x=2；
（2）f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2；
（3）在-1,0上fx0，单调增加；在0,2上fx0，单调减少；在2,3上fx0，单调增加；
（4）极大值f0=2，极小值f2=-2；
（5）最大值f0=2，最小值f2=-
22.分析随机变量X~N0,1的概率密度函数和分布函数的性质（10分）【答案】
（1）概率密度函数fx=1/√2πe^-x^2/2，对称于x=0；
（2）分布函数Fx是单调非减函数，F-∞=0，F+∞=1；
（3）PaXb=Fb-Fa；
（4）P|X|c=2Fc-1；
（5）正态分布是概率论中最重要的分布，具有广泛的应用
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其反函数f^-1x及其定义域和值域（25分）【答案】
（1）令y=x^3-3x^2+2，则x^3-3x^2+2-y=0；
（2）用求根公式，x=√3±√y+1/4，取主值，x=√3+√y+1/4；
（3）反函数f^-1x=√3+√x+1/4；
（4）定义域x≥-1/4，值域y≥√
32.已知随机变量X与Y独立，X~N0,1，Y~N1,4，求Z=2X+Y的分布（25分）【答案】
（1）EZ=E2X+Y=2EX+EY=0+1=1；
（2）DZ=D2X+Y=4DX+DY=41+4=8；
（3）Z~N1,8，概率密度函数fz=1/√16πe^-z-1^2/16；
（4）分布函数Fz=PZ≤z=∫-∞→z1/√16πe^-t-1^2/16dt---标准答案
一、单选题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.A
6.D
7.A
8.C
9.A
10.A
二、多选题
1.B、C
2.B、C
3.A、B、C
4.A、C、D
5.A、D
三、填空题
1.-2，
32.3，√14，√
63.
324.
0.42
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（√）
4.（√）
5.（×）
五、简答题
1.洛必达法则的适用条件极限形式为0/0或∞/∞；分子分母的导数存在且极限存在或为∞；连续使用洛必达法则，直到得到确定极限或出现非洛必达法则的极限形式
2.矩阵可逆的充要条件矩阵为方阵；行列式不为0；存在逆矩阵，使得AA^-1=A^-1A=E
3.独立重复试验的定义试验结果只有两种可能；每次试验相互独立；每次试验的成功概率相同；n次试验构成一个序列
六、分析题
1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性、极值和最值单调性在-1,0上单调增加，在0,2上单调减少，在2,3上单调增加；极大值f0=2，极小值f2=-2；最大值f0=2，最小值f2=-
22.随机变量X~N0,1的概率密度函数和分布函数的性质概率密度函数fx=1/√2πe^-x^2/2，对称于x=0；分布函数Fx是单调非减函数，F-∞=0，F+∞=1；PaXb=Fb-Fa；P|X|c=2Fc-1；正态分布是概率论中最重要的分布，具有广泛的应用
七、综合应用题
1.反函数f^-1x=√3+√x+1/4，定义域x≥-1/4，值域y≥√
32.Z=2X+Y的分布EZ=1，DZ=8，Z~N1,8，概率密度函数fz=1/√16πe^-z-1^2/16，分布函数Fz=PZ≤z=∫-∞→z1/√16πe^-t-1^2/16dt。
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