北航考研数学模拟题集与答案解析

北航考研数学模拟题集与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间I上连续且单调递增，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在I上必存在最大值和最小值B.fx在I上必存在极限但不一定连续C.若fa=0，则对任意x∈I，fx与fa同号D.若fa0，则存在x0∈I，使fx0=0【答案】C【解析】fx单调递增时，若fa=0，则xa时fx0，xa时fx0，故与fa同号

2.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列运算正确的是（）（2分）A.AB^T=A^TB^TB.|AB|=|A||B|C.AB^{-1}=A^{-1}B^{-1}D.AB^T=BA【答案】A【解析】矩阵转置性质AB^T=A^TB^T

3.设函数fx在x=0处可导，且f0=0，则limx→0fx/x等于（）（2分）A.f0B.2f0C.f0D.0【答案】A【解析】fx在x=0处可导，则limx→0fx/x=f

04.下列级数收敛的是（）（2分）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞-1^n/nD.∑n=1→∞n^2/n!【答案】B【解析】p-级数当p1收敛，1/n^2为p=2的p-级数

5.设z=fx,y在点x0,y0处可微，则下列说法正确的是（）（2分）A.z在x0,y0处必连续B.z在x0,y0处必可偏导C.z在x0,y0处沿任意方向的方向导数存在D.z在x0,y0处必可积【答案】A【解析】函数可微必连续，但连续不一定可微

6.设A为n阶方阵，且存在正整数k使A^k=0，则下列说法正确的是（）（2分）A.A必为奇异矩阵B.A必为可逆矩阵C.A的特征值均为0D.A的秩为0【答案】C【解析】幂零矩阵的特征值均为

07.下列方程表示旋转抛物面的是（）（2分）A.x^2+y^2+z^2=1B.x^2-y^2+z^2=1C.x^2+y^2-z^2=1D.z=x^2+y^2【答案】D【解析】z=x^2+y^2为旋转抛物面方程

8.设函数fx在[a,b]上连续，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在[a,b]上必取得最大值和最小值B.fx在[a,b]上必存在原函数C.若fx在[a,b]上单调，则必存在反函数D.fx在[a,b]上必可积【答案】D【解析】连续函数在闭区间上必可积

9.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（2分）A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1,α1+α2,α1+α2+α3C.α1-α2,α2-α3,α3-α1D.α1,α2,α3+α1【答案】C【解析】C中向量组满足线性组合为0的非零解

10.设A为n阶矩阵，且rA=n-1，则下列说法正确的是（）（2分）A.|A|=0B.A^T满秩C.A的伴随矩阵A为0矩阵D.A存在非零特征值【答案】A【解析】rA=n-1，则|A|=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）（4分）A.若函数fx在x=a处取得极值，且fx在x=a处可导，则fa=0B.若级数∑n=1→∞an收敛，则级数∑n=1→∞|an|必收敛C.若函数fx在[a,b]上连续，则必存在c∈a,b，使fc=fa+fb/2D.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关【答案】A、C【解析】B中绝对值级数不一定收敛；D中向量组线性相关

2.下列说法正确的有（）（4分）A.若函数fx在[a,b]上可积，则必存在原函数B.若矩阵A可逆，则A^T也可逆C.若向量组α1,α2,α3线性无关，则其延伸向量组也线性无关D.若函数fx在x=a处可导，则必在x=a处连续【答案】B、D【解析】A中可积不一定存在原函数；C中延伸向量组可能线性相关

3.下列说法正确的有（）（4分）A.若级数∑n=1→∞an条件收敛，则必存在子级数绝对收敛B.若函数fx在[a,b]上连续，则必存在原函数C.若向量组α1,α2,α3线性无关，则其部分向量组也线性无关D.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆【答案】C、D【解析】A中条件收敛时子级数必发散；B中连续不一定存在原函数

4.下列说法正确的有（）（4分）A.若函数fx在x=a处取得极值，且fx在x=a处可导，则fa=0B.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关C.若矩阵A可逆，则A^T也可逆D.若函数fx在[a,b]上连续，则必存在c∈a,b，使fc=fa+fb/2【答案】A、C、D【解析】B中向量组线性相关

5.下列说法正确的有（）（4分）A.若函数fx在[a,b]上可积，则必存在原函数B.若矩阵A可逆，则A^T也可逆C.若向量组α1,α2,α3线性无关，则其部分向量组也线性无关D.若函数fx在x=a处可导，则必在x=a处连续【答案】B、C、D【解析】A中可积不一定存在原函数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx=x^3-3x+1，则fx在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】3；-5【解析】fx=3x^2-3，驻点x=±1，f-2=-5，f2=3，f-1=3，f1=-

12.设z=fx,y满足∂z/∂x=2x+3y，∂z/∂y=3x+2y，且f0,0=1，则fx,y等于______（4分）【答案】x^2+3xy+y^2+1【解析】∂z/∂x=2x+3y⇒z=x^2+3xy+φy，∂z/∂y=3x+2y⇒φy=2y⇒φy=y^2+C，f0,0=1⇒C=

13.设向量组α1=1,0,1^T，α2=1,1,0^T，α3=0,1,1^T，则α1,α2,α3的秩为______（4分）【答案】3【解析】向量组线性无关，秩为

34.设矩阵A=12;34，则矩阵A的逆矩阵A^{-1}等于______（4分）【答案】-42;3-1【解析】|A|=1×4-2×3=-2，A^{-1}=1/detA·adjA=-1/2·4-2;-31

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=a处取得极值，且fx在x=a处可导，则fa=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（费马定理）

2.若级数∑n=1→∞an条件收敛，则必存在子级数绝对收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛时所有子级数必发散

3.若向量组α1,α2,α3线性无关，则其部分向量组也线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】线性无关组的部分组仍线性无关

4.若函数fx在[a,b]上连续，则必存在原函数（）（2分）【答案】（×）【解析】连续不一定存在原函数（如取整函数）

5.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置仍可逆

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若函数fx在[a,b]上连续，则必存在c∈a,b，使fc=fa+fb/2（5分）【解析】设Fx=fx-fa+fb/2，则Fa=fa-fa+fb/2=fa-fb/2，Fb=fb-fa+fb/2=fb-fa/2，FaFb0，由零点定理，存在c∈a,b，使Fc=0⇒fc=fa+fb/

22.证明若向量组α1,α2,α3线性无关，则其延伸向量组也线性无关（5分）【解析】设α1=a1,0,0^T，α2=a2,b2,0^T，α3=a3,b3,c3^T，若α1,α2,α3线性无关，则a1,a2,b2,c3都不为0延伸向量组为α1=a1,0,0,0^T，α2=a2,b2,0,0^T，α3=a3,b3,c3,0^T，若线性相关，则存在不全为0的k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0，即a1k1+a2k2+a3k3,b2k2+b3k3,c3k3,0=0⇒k1=k2=k3=0，矛盾，故线性无关

3.证明若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆（5分）【解析】设A为n阶可逆矩阵，则存在B使AB=I，两边转置得AB^T=I^T⇒B^TA^T=I，故A^T可逆，且B^T^{-1}=A⇒A^T^{-1}=B^T

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|fx1-fx2|≤L|x1-x2|，其中L为常数，证明fx在[a,b]上必存在原函数（10分）【解析】由给定条件知fx在[a,b]上一致连续，且满足利普希茨条件任取x∈[a,b]，定义Fx=∫[a,x]ftdt，则Fx=fx（由微积分基本定理），故fx存在原函数

2.设A为n阶矩阵，且rA=n-1，证明A的伴随矩阵A为0矩阵（10分）【解析】由rA=n-1知A有n-1阶非零子式，且所有n阶子式均为0，故A的每个元素均为0（由伴随矩阵定义），即A=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|fx1-fx2|≤|x1-x2|，证明

（1）fx在[a,b]上必单调递增；（10分）

（2）fx在[a,b]上必存在原函数（15分）【解析】

（1）任取x1,x2∈[a,b]，x1x2，由给定条件|fx1-fx2|≤|x1-x2|⇒fx1-fx2≤x2-x1⇒fx1≤fx2，故fx单调递增

（2）任取x∈[a,b]，定义Fx=∫[a,x]ftdt，则Fx=fx（由微积分基本定理），故fx存在原函数

2.设A为n阶矩阵，且rA=n-1，证明

（1）A的伴随矩阵A为0矩阵；（10分）

（2）存在非零向量x，使Ax=0（15分）【解析】

（1）由rA=n-1知A有n-1阶非零子式，且所有n阶子式均为0，故A的每个元素均为0（由伴随矩阵定义），即A=0

（2）由rA=n-1知A的行向量组线性相关，存在不全为0的系数k1,k2,...,kn使k1α1+k2α2+...+knαn=0，令x=k1,k2,...,kn^T，则Ax=0，故存在非零向量x使Ax=0。