南宁一模数学测评试题及答案

南宁一模数学测评试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域（x≥0）内是增函数

2.若集合A={x|-1x2}，B={x|x≥1}，则A∩B等于（）A.{x|-1x1}B.{x|1≤x2}C.{x|x2}D.{x|x-1}【答案】B【解析】A与B的交集为{x|1≤x2}

3.已知点Pa,b在直线y=-x上，则点P关于原点对称的点的坐标是（）A.a,bB.-a,-bC.b,aD.-b,a【答案】B【解析】直线y=-x上的点关于原点对称的点的坐标为-a,-b

4.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】sinx和cosx的最小正周期均为2π，故fx的最小正周期为2π

5.若复数z=1+i，则|z|等于（）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】|z|=√1²+1²=√

26.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C等于（）A.75°B.105°C.65°D.120°【答案】A【解析】∠C=180°-60°-45°=75°

7.已知等差数列{a_n}中，a₁=3，a₂=7，则a₅等于（）A.13B.15C.17D.19【答案】C【解析】公差d=7-3=4，a₅=3+4×4=

198.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】点数之和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，概率为6/36=1/

69.已知函数gx=e^x-1，则gx的反函数是（）A.lnx+1B.lnx-1C.lnx-1D.lnx+1【答案】A【解析】令y=e^x-1，则x=lny+1，反函数为y=lnx+

110.在直角坐标系中，点M2,3到直线x-y=0的距离是（）A.√2B.√5C.1D.2【答案】B【解析】距离d=|2-3|/√1²+-1²=√5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a²b²B.若sinα=sinβ，则α=βC.若fx是奇函数，则f0=0D.若x0，则lnx0【答案】C、D【解析】A错，如a=1,b=-2；B错，sinα=sinβ推不出α=β，需考虑周期性；C对，奇函数图像过原点；D对，lnx在x1时为正

2.以下关于三角函数的说法中，正确的有（）A.y=tanx是周期函数B.y=cotx在0,π内是减函数C.y=sinx在0,π/2内是增函数D.y=secx是奇函数【答案】A、C【解析】A对，周期为π；B错，cotx在0,π内是增函数；C对；D错，secx是偶函数

3.下列不等式成立的有（）A.log₂3log₃2B.2^-1/22^-1C.1/2^1/21/3^1/2D.arcsin1/2arcsin1/3【答案】A、D【解析】A对，log₂3≈

1.584log₃2≈

0.631；B错，2^-1/2=1/√21/2=2^-1；C错，1/2^1/2=√1/2≈

0.707√1/3≈

0.577；D对，arcsin1/2=π/6arcsin1/

34.下列数列中，是等比数列的有（）A.1,3,7,15,...B.2,4,8,16,...C.1,-1,1,-1,...D.0,0,0,0,...【答案】B、C【解析】B对，公比为2；C对，公比为-1；A错，相邻项之比不为常数；D错，是常数数列

5.下列关于圆锥的描述中，正确的有（）A.圆锥的侧面展开图是扇形B.圆锥的母线相等C.圆锥的高与母线垂直D.圆锥的体积公式为V=1/3πr²h【答案】A、B、C、D【解析】A、B、C、D均为圆锥的基本性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在等比数列{a_n}中，若a₁=1，a₃=8，则公比q=______【答案】2【解析】a₃=a₁q²，8=1×q²，得q²=8，q=

22.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3【解析】fx在x=-2时取得最小值，f-2=|-2-1|+|-2+2|=

33.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA=______【答案】4/5【解析】由余弦定理，cosA=b²+c²-a²/2bc=4²+5²-3²/2×4×5=4/

54.已知向量u=1,2，v=3,-1，则u·v=______【答案】1【解析】u·v=1×3+2×-1=3-2=

15.抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面的概率是______【答案】3/8【解析】共有2³=8种结果，出现两次正面的有正正反、正反正、反正正，共3种，概率为3/

86.函数fx=x³-3x+2的导数fx=______【答案】3x²-3【解析】fx=3x²-

37.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=5且argz=π/3，则a=______，b=______【答案】5√3/2，5/2【解析】|z|=5，a²+b²=25；argz=π/3，b/a=√3，得a=5√3/2，b=5/

28.在等差数列{a_n}中，若S₁₀=100，S₂₀=380，则a₁=______，d=______【答案】-1，4【解析】S₁₀=10a₁+45d=100，S₂₀=20a₁+190d=380，联立解得a₁=-1，d=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x²=4，则x=2（）【答案】（×）【解析】x=±

22.函数y=sinx+cosx的图像关于原点对称（）【答案】（×）【解析】f-x=sin-x+cos-x=-sinx+cosx≠-fx，非奇函数

3.在△ABC中，若a²=b²+c²，则∠A=90°（）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，∠A为直角

4.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n²}也是等差数列（）【答案】（×）【解析】{a_n²}的相邻项之差不为常数，如a_n=n，a_n²=n²，n+1²-n²=2n+1不为常数

5.圆的方程x-a²+y-b²=r²中，a,b是圆心坐标，r是半径（）【答案】（√）【解析】这是圆的标准方程形式

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x²-4x+3在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值5，最小值-1【解析】fx在x=2处取得最小值f2=-1，f-1=8，f3=0，故最小值为-1，最大值为

52.解不等式|2x-1|3【答案】-1x2【解析】-32x-13，解得-22x4，x-1且x

23.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值【答案】a=3【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=

34.写出等比数列{a_n}的前n项和公式S_n（q≠1）【答案】S_n=a₁1-qⁿ/1-q【解析】根据等比数列求和公式

5.已知点A1,2，点B3,0，求直线AB的斜率和方程【答案】斜率k=-1，方程x+y-3=0【解析】k=0-2/3-1=-1，点斜式y-2=-1x-1，化简得x+y-3=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-px+q，若f1=0且fx在x=2处取得极小值，求p和q的值【答案】p=5，q=6【解析】f1=1-p+q=0，得p-q=1；fx=2x-p，f2=4-p=0，得p=4联立p-q=1和p=4，解得p=5，q=

62.在△ABC中，若a=3，b=√7，c=2，求cosB和△ABC的面积【答案】cosB=3/√7，面积S=3√3/2【解析】由余弦定理，cosB=a²+c²-b²/2ac=3²+2²-√7²/2×3×2=3/√7；S=1/2acsinB，sinB=√1-cos²B=√1-9/7=√-2/7，需重新计算cosB，cosB=9+4-7/12=6/12=1/2，sinB=√3/2，S=1/2×3×2×√3/2=3√3/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n₊₁=2n（n∈N），求数列{a_n}的通项公式【答案】a_n=2n-1【解析】a_n+a_n₊₁=2n，a_n-1+a_n=2n-1，两式相减得a_n₊₁-a_n-1=2，数列{a_n}相邻奇数项差为2，设a_n=An+B，a₁=A+B=1，a₂+a₃=4，a₂=2A+B，a₃=4A+B，代入a₂+a₃=4，得6A+2B=4，联立解得A=1/2，B=1/2，a_n=1/2n+1/2=n

2.在平面直角坐标系中，已知点A1,0，点B3,2，点C在x轴上，且△ABC的周长为6求点C的坐标【答案】C2,0【解析】设Cx,0，|AC|=√x²+0²=|x|，|BC|=√x-3²+2²=√x²-6x+13，由周长|AB|+|AC|+|BC|=6，|AB|=2，|x|+√x²-6x+13=4，解得x=2，故C2,0---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.C

8.A

9.A

10.B

二、多选题

1.C、D

2.A、C

3.A、D

4.B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

22.

33.4/

54.

15.3/

86.3x²-

37.5√3/2，5/

28.-1，4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.最大值5，最小值-

12.-1x

23.a=

34.S_n=a₁1-qⁿ/1-q

5.斜率k=-1，方程x+y-3=0

六、分析题

1.p=5，q=

62.cosB=3/√7，面积S=3√3/2

七、综合应用题

1.a_n=2n-

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