卫校数学考试拔高题目及答案揭秘

卫校数学考试拔高题目及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极值，则下列说法正确的是（）A.a=0B.b=0C.a+b=0D.b=2a【答案】D【解析】fx在x=1处取得极值，则f1=2ax+b=0，即2a+b=0，所以b=-2a

2.关于x的方程x^2+px+q=0有两个实根x1和x2，且x1+x2=3，x1x2=-2，则p+q的值为（）A.1B.5C.7D.9【答案】C【解析】由韦达定理x1+x2=-p=3，x1x2=q=-2，得p=-3，q=-2，所以p+q=-

53.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标为（）A.2,1B.1,2C.2,2D.1,1【答案】A【解析】点x,y关于直线y=x对称的点的坐标为y,x，所以点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标为2,

14.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】向量a+b=1+3,2-4=4,-2，其模长为√4^2+-2^2=√20=2√

55.若复数z满足z^2=1，则z的值为（）A.1B.-1C.1或-1D.i或-i【答案】C【解析】解方程z^2=1得z=±

16.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r=3cm，l=5cm，所以侧面积为π×3×5=15π

7.在等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10的值为（）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】等差数列通项公式为an=a1+n-1d，所以a10=2+10-1×3=

318.若函数fx=sinx+π/6的图像关于y轴对称，则x的值为（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】B【解析】函数fx=sinx+π/6图像关于y轴对称，则x+π/6=kπ+π/2，k∈Z，取k=0得x=π/

39.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数为（）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

10.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围为（）A.k2B.k2C.k-2或k2D.k-2或k2/3【答案】C【解析】联立方程组x^2+kx+1^2=4，整理得k^2+1x^2+2kx-3=0，判别式Δ=4k^2+12k^2+10恒成立，且Δ=4k+√3k-√30，得k-√3或k√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数fx=e^x的说法正确的有（）A.定义域为RB.值域为0,+\inftyC.在R上单调递增D.过点0,1E.是奇函数【答案】A、B、C、D【解析】指数函数e^x的定义域为R，值域为0,+\infty，在R上单调递增，且过点0,1，但不是奇函数

2.以下命题正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若|a||b|，则a^2b^2C.若ab0，则√a√bD.若a^2b^2，则abE.若ab，则1/a1/b【答案】C、D【解析】命题C和D正确命题A错误，如a=2，b=-3；命题B错误，如a=3，b=-4；命题E错误，如a=2，b=

13.以下关于三角函数的说法正确的有（）A.sinπ/4=cosπ/4B.tanπ/3=√3C.sinπ/2cosπ/4D.cotπ/6=√3E.sinπ/3tanπ/4【答案】A、B、C【解析】sinπ/4=cosπ/4=√2/2，tanπ/3=√3，sinπ/2=1cosπ/4=√2/2，cotπ/6=√3，sinπ/3=√3tanπ/4=

14.以下关于数列的说法正确的有（）A.等差数列的通项公式是线性的B.等比数列的前n项和公式是分式的C.等差数列的任意两项之差是常数D.等比数列的任意两项之比是常数E.等差数列的前n项和是n的二次函数【答案】A、C、D【解析】等差数列通项公式是线性的，任意两项之差是常数，任意两项之比不是常数；等比数列通项公式是指数的，前n项和公式不一定是分式，任意两项之比是常数；等差数列前n项和是n的二次函数

5.以下关于解析几何的说法正确的有（）A.圆x^2+y^2=r^2的圆心在原点B.椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上C.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程是y=±b/axD.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则k^2+r^2=b^2E.直线y=kx+b过点1,2，则k+b=2【答案】A、C、E【解析】圆x^2+y^2=r^2的圆心在原点；椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上当且仅当ab；双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程是y=±b/ax；直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则k^2+r^2=b^2；直线y=kx+b过点1,2，则2=k+b

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^3-3x+1，则fx的极小值点为______【答案】1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f1=-60，所以x=1为极小值点

2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC长为6，则边AC的长度为______【答案】2√6【解析】由正弦定理得AC/√2=6/√3，解得AC=2√

63.若复数z=1+i，则z^4的值为______【答案】-4【解析】z^2=2i，z^4=2i^2=-

44.若等差数列{an}的前n项和Sn=15n^2-2n，则其通项公式为______【答案】30n-17【解析】an=Sn-Sn-1=30n-

175.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为______【答案】±√3【解析】圆心到直线的距离等于半径，即|k|/√k^2+1=2，解得k=±√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】反例a=2，b=-3，ab但a^2=4b^2=

92.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数也在区间I上单调递增（）【答案】（√）【解析】单调递增函数的反函数也是单调递增的

3.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a与b共线（）【答案】（×）【解析】向量a与b不共线，因为不存在实数k使得a=kb

4.若复数z满足z^2=1，则z是实数（）【答案】（×）【解析】z可以是i或-i，它们不是实数

5.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k^24（）【答案】（√）【解析】联立方程组后判别式Δ0，得k^24

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为2，最小值为-

22.求过点1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程【答案】y=-1/3x+7/3【解析】垂直直线的斜率是原斜率的负倒数，所以斜率为-1/3，直线方程为y=-1/3x+b，代入1,2得b=7/

33.求等差数列{an}中，前n项和Sn与前2n项和S2n之间的关系【答案】S2n-Sn=na2n-an【解析】S2n-Sn=an+1+an+2+...+a2n，由等差数列性质得an+1+a2n=an+2+a2n-1=...=2an，所以S2n-Sn=na2n-an

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明等差数列{an}中，若Sn是前n项和，则Sn/n是等差数列【证明】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn=n/2[2a1+n-1d]，所以Sn/n=a1+n-1d/2，Sn/n是关于n的一次函数，所以是等差数列

2.证明在△ABC中，若角A=60°，则b^2+c^2-a^2=bc【证明】由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bccosA，因为角A=60°，cos60°=1/2，所以a^2=b^2+c^2-bc，即b^2+c^2-a^2=bc

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.某工程队计划在平面直角坐标系中修建一个矩形场地，矩形一边靠墙（墙长为20m），另三边用篱笆围成，篱笆总长为50m求矩形场地的最大面积【解】设矩形一边长为x（靠墙），则另三边长为50-x，矩形面积为S=x50-x，S=-x^2+50x，开口向下，顶点坐标为25,625，所以最大面积为625m^

22.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（即收入等于成本的销售量）【解】设销售量为x，则总收入为80x，总成本为1000+50x，盈亏平衡点为80x=1000+50x，解得x=20，所以盈亏平衡点为20件。