吉林高三数学模拟试题及详细答案

吉林高三数学模拟试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,+∞C.-1,0∪0,+∞D.-∞,-1【答案】A【解析】函数fx=lnx+1的定义域为x+10，即x-

12.若复数z满足z^2=1，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】z^2=1有两个解，分别是1和-

13.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则选出的人数中男生多于女生的选法有（）种（2分）A.10B.20C.30D.40【答案】C【解析】选出3人男生多于女生的情况有2男1女和3男，共有C5,2C4,1+C5,3=104+10=30种

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=8，则公差d等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】由等差数列性质a_4=a_1+3d，代入a_1=2，a_4=8，得8=2+3d，解得d=

25.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程化为标准形式x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

36.函数fx=sin2x的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数sinkx的周期为2π/k，故sin2x的周期为π

7.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.-1,1B.-∞,-1∪1,+∞C.-1,0∪0,1D.R【答案】C【解析】直线与圆相交需满足判别式Δ0，代入得k^20，且k≠0，故k∈-1,0∪0,

18.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b等于（）（2分）A.-5B.5C.11D.-11【答案】D【解析】向量数量积a·b=1×3+2×-4=3-8=-

59.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】满足条件的组合有1,

4、2,

3、3,

2、4,1，共4种，概率为4/36=1/

910.已知函数fx在x=1处取得极小值，且fx是奇函数，则f1等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】fx在x=1处取得极小值，则f1=0，又fx是奇函数，故f0=0，进而f1=f-1，又f1为极小值，故f1=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则lnalnbC.若sinα=sinβ，则α=βD.若ab，则1/a1/b【答案】D【解析】A不正确，如a=1b=-2，但a^2=1b^2=4；B不正确，如a=1b=-2，但lna无定义；C不正确，sin函数有周期性；D正确，若ab0，则1/a1/b

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列条件中能推出△ABC是直角三角形的是（）（4分）A.a^2+b^2=c^2B.sinA=sinBC.ac=bcD.b^2=c^2-a^2【答案】A、D【解析】A是勾股定理的逆定理；D是勾股定理的另一种形式；B不能推出直角三角形；C不能推出直角三角形

3.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=x^2B.y=lnxC.y=1/xD.y=e^x【答案】C【解析】y=x^2在0,1上单调递增；y=lnx在0,1上单调递减；y=1/x在0,1上单调递减；y=e^x在0,1上单调递增

4.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列说法中正确的是（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=0处取得极小值C.fx在-∞,0上单调递增D.fx在1,+∞上单调递增【答案】A、D【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f1=-60，故x=1处取极大值；f0=0，需进一步判断，x=0不是极值点；fx0在-∞,0上不成立；fx0在1,+∞上成立

5.已知点A1,2，B3,0，则下列说法中正确的是（）（4分）A.线段AB的长度为2√2B.线段AB的垂直平分线方程为x+y=3C.线段AB的中点坐标为2,1D.以A、B为端点的线段方程为y=-x+3【答案】A、C【解析】|AB|=√3-1^2+0-2^2=√4+4=2√2；AB中点为1+3/2,2+0/2=2,1；AB垂直平分线斜率为1/2，方程为y-1=1/2x-2，化简得x-2y+1=0；以A、B为端点的线段方程为y=2-0/1-3x-3，化简得y=-x+3

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=8，则公比q=______，a_5=______（4分）【答案】2；16【解析】由a_4=a_1q^3得8=1×q^3，解得q=2；a_5=a_4q=8×2=

162.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】分段函数fx在x=-2和x=1处分别取得最小值，最小值为|-2-1|+|1+2|=

33.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cosC=______（4分）【答案】0【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab，代入a^2+b^2=c^2得cosC=

04.已知函数fx=sinωx+φ，若其最小正周期为π/2，且f0=1，则ω=______，φ=______（4分）【答案】4；π/2+2kπ，k∈Z【解析】周期T=2π/ω=π/2，解得ω=4；f0=sinφ=1，得φ=π/2+2kπ，k∈Z

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若复数z满足|z|=1，则z^2=1（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=i，|i|=1，但i^2=-1≠

12.函数y=1/x在定义域内单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】y=1/x在-∞,0和0,+∞上分别单调递减

3.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1b=-2，但a^2=1b^2=

44.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k^21（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆相交需满足Δ0，即k^2-10，得k^

215.函数fx=x^3在-∞,0上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2，在-∞,0上fx0，故单调递增

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f4=7，最小值f2=-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，比较f1=0，f2=-1，f4=7，故最大值为7，最小值为-

12.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a-b的坐标（4分）【答案】a+b=4,-2，a-b=-2,6【解析】向量加法坐标对应相加，减法坐标对应相减

3.求过点A1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【答案】y=3x-1【解析】平行直线斜率相同，故方程为y=3x+b，代入A1,2得2=3×1+b，解得b=-1，故方程为y=3x-

14.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=11，求该数列的通项公式（4分）【答案】a_n=2n+3【解析】由a_5=a_1+4d得11=5+4d，解得d=1/2，故a_n=5+n-1/2=2n+

35.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调区间（4分）【答案】减区间[-1,1]，增区间[1,3]【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx0在-∞,0和2,+∞上成立，fx0在0,2上成立，故减区间[-1,1]，增区间[1,3]

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间和极值点（10分）【答案】减区间-∞,1，增区间1,+∞；极小值点x=1【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f1=-60，故x=1处取极大值；f0=0，需进一步判断，x=0不是极值点；fx0在-∞,0和2,+∞上成立，fx0在0,2上成立，故减区间-∞,1，增区间1,+∞

2.已知点A1,2，B3,0，求线段AB的垂直平分线方程（10分）【答案】x-2y+3=0【解析】AB中点为1+3/2,2+0/2=2,1，AB斜率为0-2/3-1=-1，垂直平分线斜率为1，故方程为y-1=1x-2，化简得x-2y+3=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间、极值点、拐点，并画出函数图像的大致形状（25分）【答案】单调区间减区间-∞,1，增区间1,+∞极值点x=1处极小值f1=-1拐点x=0处拐点0,2图像大致形状

①x0时，fx上凸，fx0，fx递减

②x=0时，fx取拐点0,2

③0x1时，fx上凸，fx0，fx递减

④x=1时，fx取极小值-1

⑤x1时，fx下凸，fx0，fx递增

2.某城市计划修建一条连接A1,2和B3,0的直线道路，已知每单位长度道路造价为k万元，道路拐点C在y轴上，求道路拐点C的坐标使得道路总造价最低，并求最低造价（25分）【答案】设拐点C0,c，则道路分为AC和BC两段，总造价为w=k|AC|+|BC||AC|=√1^2+2-c^2=√5-4c+c^2|BC|=√3^2+0-c^2=√9+c^2w=k√5-4c+c^2+√9+c^2求导w=k-2/2√5-4c+c^2+c/√9+c^2令w=0得c=1，此时w=k√1+√10=k√11最低造价为k√11万元，拐点C0,1。