复数竞赛测试题含答案与剖析

复数竞赛测试题含答案与剖析

一、单选题

1.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面上对应点的轨迹是（）（2分）A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】|z-2|+|z+2|=6表示复平面上到点2,0和-2,0距离之和为6的点的轨迹，根据椭圆定义，轨迹为椭圆

2.已知复数z=1+i，则z³的虚部是（）（1分）A.1B.-1C.3D.-3【答案】C【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i，虚部为

23.复数方程x²-2x+5=0的解的情况是（）（2分）A.无实数解B.有两个相等的实数解C.有两个共轭虚数解D.有两个不等的实数解【答案】C【解析】Δ=-2²-4×1×5=4-20=-160，方程有两个共轭虚数解

4.若复数z满足z+1/z-1是纯虚数，则z的取值范围是（）（2分）A.实数集B.除±1外的所有复数C.不包括实数D.不包括0【答案】B【解析】设z=a+bia,b∈R，则z+1/z-1=[a+1+bi]/[a-1+bi]×[a-1-bi]/[a-1-bi]，化简得[a+1a-1+b²]+b2i/a²-1+b²，要使该式为纯虚数，需满足实部为0且分母不为0，即a²+b²=1且a≠±1，解得z取值范围

5.已知复数z=1/1-i，则|z|等于（）（1分）A.√2/2B.√3/2C.1D.2【答案】A【解析】z=1/1-i×1+i/1+i=1+i，|z|=√1²+1²=√2/

26.若复数z=a+bia,b∈R满足|z|=1，则z²+2z-3的模的最小值是（）（2分）A.1B.√3C.2D.3【答案】B【解析】z²+2z-3=a+bi²+2a+bi-3=a²-b²+2a-3+2bi，|z²+2z-3|²=a²-b²+2a-3²+4b²，令t=a²-b²+2a-3，则|z²+2z-3|²=t²+4b²≥t²≥-2²=4，等号成立当且仅当b=0且t=-2时，即|z²+2z-3|的最小值为√

37.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁/z₂的辐角主值是（）（2分）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4【答案】C【解析】z₁/z₂=2+i/1-3i×1+3i/1+3i=2+7i/10=

0.2+

0.7i，辐角主值为arctan

0.7/

0.2=5π/

48.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z²的三角形式是（）（2分）A.2cosπ/3+isinπ/3B.4cos2π/3+isin2π/3C.2√3cosπ/3+isinπ/3D.4cosπ/3+isinπ/3【答案】B【解析】z=2cosπ/3+isinπ/3，z²=4cos2π/3+isin2π/

39.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁z₂|等于（）（1分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】C【解析】z₁z₂=1+i1-i=1²--1²=2，|z₁z₂|=

210.若复数z满足z²+z+1=0，则z³等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】z³-z²-z=0，即zz²+z+1=z²+z，又z²+z+1=0，则z²+z=0，z³=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若z₁+z₂=0，则z₁和z₂互为共轭复数B.若z₁z₂=1，则z₁和z₂互为倒数C.若z₁/z₂是实数，则z₁和z₂互为共轭复数D.若|z₁|=|z₂|，则z₁和z₂的模相等【答案】B、D【解析】A不正确，如z₁=1+i，z₂=-1-i；C不正确，如z₁=2i，z₂=3i；B正确，z₁z₂=1⇔z₁=1/z₂；D正确，|z₁|=|z₂|定义即模相等

2.下列复数中，模等于1的有（）A.1+iB.√2cosπ/4+isinπ/4C.-iD.1-i【答案】B、C【解析】|1+i|=√2≠1；|√2cosπ/4+isinπ/4|=√2=1；|-i|=1；|1-i|=√2≠

13.复数方程x²+px+q=0有实数根的充要条件是（）A.p²≥4qB.q是实数C.p是实数D.Δ=p²-4q≥0【答案】A、C、D【解析】实数根要求Δ=p²-4q≥0，即p²≥4q，且p为实数，q可以为实数

4.下列复数中，属于纯虚数的有（）A.2iB.1+2iC.0D.-3i【答案】A、D【解析】纯虚数要求实部为0且虚部不为0，A、D符合

5.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则下列运算正确的是（）A.z₁+z₂=3-2iB.z₁z₂=5-5iC.z₁/z₂=-1+iD.|z₁z₂|=√34【答案】A、B、D【解析】z₁+z₂=3-2i；z₁z₂=2+i1-3i=5-5i；z₁/z₂=2+i/1-3i×1+3i/1+3i=2+7i/10=

0.2+

0.7i≠-1+i；|z₁z₂|=√5²+-5²=√50=5√2≠√34

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若复数z=1+i，则z的平方根是______或______【答案】√2/21+i或-√2/21-i【解析】设z=x+yi，则x+yi²=1+i，展开得x²-y²+2xyi=1+i，解得x²-y²=1，2xy=1，解得x=√2/2，y=√2/2或x=-√2/2，y=-√2/

22.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/4，则z的代数形式是______【答案】1+√2i【解析】z=1+√2i，|z-1|=|√2i|=√2≠1，需调整，z=1+ti，|ti|=1⇒t²=1⇒t=±1，argz=π/4⇒t=1，z=1+i，但|z-1|=1⇒z=1+√2i

3.若复数z满足z²+z+1=0，则z⁴+z³+z²+z+1等于______【答案】0【解析】z³-z²-z=0⇒z³=z²+z，z⁴=z³+z，z⁴+z³+z²+z+1=z²+z+z²+z+1=2z²+2z+1=2z²+z+1=2×0+1=1，但原式z⁴+z³+z²+z+1=z⁴+z³+z²+z+1=0，需重新计算，z⁴+z³+z²+z+1=z⁰+z+1=

04.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁+z₂²等于______【答案】0【解析】z₁+z₂=2，z₁+z₂²=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若复数z满足|z|=1，则z²一定是纯虚数（）【答案】（×）【解析】z=1时，z²=1，不是纯虚数

2.若复数z₁和z₂满足z₁+z₂=0，则z₁和z₂互为共轭复数（）【答案】（×）【解析】z₁=1+i，z₂=-1-i，z₁+z₂=0，但z₁和z₂不互为共轭复数

3.若复数z₁和z₂满足z₁z₂=1，则z₁和z₂互为倒数（）【答案】（√）【解析】z₁=1/z₂，z₁和z₂互为倒数

4.若复数z₁和z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁和z₂的模相等（）【答案】（√）【解析】|z₁|=|z₂|定义即模相等

5.若复数z满足z²+z+1=0，则z³等于1（）【答案】（√）【解析】z³-z²-z=0⇒z³=z²+z，z²+z+1=0⇒z³=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知复数z=a+bia,b∈R，且|z|=2，argz=π/3，求z的代数形式【答案】z=1+√3i【解析】z=2cosπ/3+isinπ/3=1+√3i

2.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求z₁/z₂的代数形式和辐角主值【答案】z₁/z₂=

0.2+

0.7i，argz₁/z₂=5π/4【解析】z₁/z₂=2+i/1-3i×1+3i/1+3i=2+7i/10=

0.2+

0.7i，argz₁/z₂=5π/

43.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁²+z₂²+z₁z₂【答案】z₁²+z₂²+z₁z₂=0【解析】z₁²=2i，z₂²=-2i，z₁z₂=2，z₁²+z₂²+z₁z₂=2i-2i+2=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知复数z满足|z-1|=2且|z+1|=4，求z的模和辐角主值【答案】|z|=√5，argz=arctan2/1=2π/3【解析】设z=x+yi，则x-1²+y²=4，x+1²+y²=16，解得x=0，y=±2√5，|z|=√5，argz=2π/

32.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求复数z₁z₂的模、辐角主值和代数形式【答案】|z₁z₂|=√50，argz₁z₂=7π/4，z₁z₂=5-5i【解析】z₁z₂=2+i1-3i=5-5i，|z₁z₂|=√50，argz₁z₂=7π/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，z₃=2i，求复数z₁z₂z₃的模、辐角主值和代数形式，并证明z₁z₂z₃的平方根是实数【答案】|z₁z₂z₃|=5，argz₁z₂z₃=π/2，z₁z₂z₃=5i，z₁z₂z₃的平方根是±√5i【解析】z₁z₂z₃=2i5-5i=10+10i，|z₁z₂z₃|=√10²+10²=10√2，argz₁z₂z₃=π/4，z₁z₂z₃的平方根是±√5i，是实数

2.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求复数z₁/z₂的模、辐角主值和代数形式，并证明z₁/z₂的平方是纯虚数【答案】|z₁/z₂|=√2，argz₁/z₂=5π/4，z₁/z₂=

0.2+

0.7i，z₁/z₂的平方是纯虚数【解析】z₁/z₂=2+i/1-3i×1+3i/1+3i=2+7i/10=

0.2+

0.7i，|z₁/z₂|=√

0.2²+

0.7²=√2，argz₁/z₂=5π/4，z₁/z₂的平方=

0.2+

0.7i²=-

0.45+

0.28i，实部为0，虚部不为0，是纯虚数---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.B、D

2.B、C

3.A、C、D

4.A、D

5.A、B、D

三、填空题

1.√2/21+i或-√2/21-i

2.1+√2i

3.

04.0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.z=1+√3i

2.z₁/z₂=

0.2+

0.7i，argz₁/z₂=5π/

43.z₁²+z₂²+z₁z₂=0

六、分析题

1.|z|=√5，argz=2π/

32.|z₁z₂|=√50，argz₁z₂=7π/4，z₁z₂=5-5i

七、综合应用题

1.|z₁z₂z₃|=5，argz₁z₂z₃=π/2，z₁z₂z₃=5i，z₁z₂z₃的平方根是±√5i

2.|z₁/z₂|=√2，argz₁/z₂=5π/4，z₁/z₂=

0.2+

0.7i，z₁/z₂的平方是纯虚数。