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大二概率论经典试题及答案汇总
一、单选题（每题2分，共20分）
1.设事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且事件A和事件B互斥，则事件A和事件B同时发生的概率是（）A.
0.42B.
0.1C.
0.98D.
0.3【答案】B【解析】由于事件A和事件B互斥，即A和B不能同时发生，所以PA∩B=0，因此PA∪B=PA+PB=
0.6+
0.7=
1.3，但概率最大为1，因此PA∪B=1，则PA|B=PB|A=0，所以PA∩B=0，故选B
2.设随机变量X的分布列为X取值分别为-1，0，1的概率分别为1/3，1/6，1/2，则EX等于（）A.1/6B.1/3C.1/2D.5/6【答案】D【解析】EX=-1×1/3+0×1/6+1×1/2=-1/3+0+1/2=1/6+1/2=1/6+3/6=4/6=2/3，故选D
3.设随机变量X服从正态分布N0,1，则PX0等于（）A.0B.1/2C.1D.无法确定【答案】B【解析】由于X服从标准正态分布N0,1，其概率密度函数关于y轴对称，因此PX0=1-PX0=1/2，故选B
4.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y，则边缘概率密度函数f_Xx等于（）A.∫_{-∞}^∞fx,ydyB.∫_{-∞}^∞f_XxdxC.∫_{-∞}^∞fy,xdyD.fx,y【答案】A【解析】边缘概率密度函数f_Xx是通过积分联合概率密度函数fx,y得到的，即f_Xx=∫_{-∞}^∞fx,ydy，故选A
5.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U0,1，Y服从指数分布Exp1，则EXY等于（）A.1/2B.1C.2D.3【答案】B【解析】由于X和Y相互独立，EXY=EXEY，EX=1/2（均匀分布U0,1的期望），EY=1（指数分布Exp1的期望），所以EXY=1/2×1=1/2，故选B
6.设事件A和事件B相互独立，且PA=
0.4，PB=
0.5，则PA|B等于（）A.
0.4B.
0.5C.
0.9D.
0.2【答案】A【解析】由于事件A和事件B相互独立，PA|B=PA=
0.4，故选A
7.设随机变量X和Y的协方差CovX,Y等于0，则（）A.X和Y相互独立B.X和Y不相关C.X和Y一定线性相关D.X和Y一定线性无关【答案】B【解析】协方差CovX,Y等于0表示X和Y不相关，但不一定相互独立，故选B
8.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则PX2,Y3等于（）||Y=1|Y=2|Y=3||---|---|---|---||X=1|1/6|1/6|1/6||X=2|1/6|1/6|1/6||X=3|1/6|1/6|1/6|A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】B【解析】PX2,Y3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2=1/6+1/6+1/6+1/6=1/3，故选B
9.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx^2+y^2，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则常数c等于（）A.1B.2C.1/2D.1/3【答案】D【解析】由于fx,y是概率密度函数，∫_0^1∫_0^1cx^2+y^2dydx=1，计算得到c=1/3，故选D
10.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则X和Y是否相互独立？（）||Y=1|Y=2||---|---|---||X=1|1/4|1/4||X=2|1/4|1/4|A.是B.否C.无法确定D.以上都不对【答案】B【解析】由于PX=1,Y=1=1/4≠PX=1PY=1=1/2×1/2=1/4，所以X和Y不相互独立，故选B
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是概率论的基本概念？（）A.随机事件B.概率C.随机变量D.期望E.方差【答案】A、B、C【解析】概率论的基本概念包括随机事件、概率和随机变量，期望和方差是随机变量的数字特征，故选A、B、C
2.设随机变量X和Y相互独立，以下哪些结论是正确的？（）A.EXY=EXEYB.VarX+Y=VarX+VarYC.PX0,Y0=PX0PY0D.X和Y不相关E.X和Y一定线性相关【答案】A、B、C、D【解析】相互独立的随机变量满足EXY=EXEY，VarX+Y=VarX+VarY，PX0,Y0=PX0PY0，且X和Y不相关，但不一定线性相关，故选A、B、C、D
3.设随机变量X服从二项分布Bn,p，以下哪些结论是正确的？（）A.EX=npB.VarX=np1-pC.PX=k=Cn,kp^k1-p^n-kD.X和Y一定相互独立E.X的分布律是对称的【答案】A、B、C【解析】二项分布Bn,p的期望EX=np，方差VarX=np1-p，分布律PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k，但X和Y不一定相互独立，且分布律不一定对称，故选A、B、C
4.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y，以下哪些结论是正确的？（）A.fx,y≥0B.∫_-∞^∞∫_-∞^∞fx,ydydx=1C.f_Xx=∫_-∞^∞fx,ydyD.f_Yy=∫_-∞^∞fx,ydxE.fx,y可以表示为X和Y的边缘分布的乘积【答案】A、B、C、D【解析】联合概率密度函数fx,y满足fx,y≥0，∫_-∞^∞∫_-∞^∞fx,ydydx=1，f_Xx=∫_-∞^∞fx,ydy，f_Yy=∫_-∞^∞fx,ydx，但只有当X和Y相互独立时，fx,y才能表示为X和Y的边缘分布的乘积，故选A、B、C、D
5.设随机变量X和Y的协方差CovX,Y等于0，以下哪些结论是正确的？（）A.X和Y不相关B.X和Y一定相互独立C.X和Y一定线性无关D.EXY=EXEYE.VarX+Y=VarX+VarY【答案】A、D、E【解析】协方差CovX,Y等于0表示X和Y不相关，EXY=EXEY，VarX+Y=VarX+VarY，但X和Y不一定相互独立，也不一定线性无关，故选A、D、E
三、填空题（每题4分，共20分）
1.设随机变量X服从泊松分布Poissonλ，则PX=k等于______【答案】λ^ke^-λ/k!
2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx+y，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则常数c等于______【答案】
23.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U0,1，Y服从指数分布Exp1，则PXY等于______【答案】1/
24.设随机变量X和Y的协方差CovX,Y等于2，且VarX=3，VarY=4，则X和Y的相关系数ρ_XY等于______【答案】2/√3×4=2/√12=1/√
35.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则PX+Y=3等于______||Y=1|Y=2||---|---|---||X=1|1/4|1/4||X=2|1/4|1/4|【答案】1/2
四、判断题（每题2分，共10分）
1.设事件A和事件B相互独立，且PA=
0.6，PB=
0.7，则PA∪B等于PA+PB（）【答案】（×）【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB=
0.6+
0.7-
0.6×
0.7=
0.88，而PA+PB=
0.6+
0.7=
1.3，故错误
2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y，则边缘概率密度函数f_Xx是通过积分fx,y得到的（）【答案】（√）【解析】边缘概率密度函数f_Xx是通过积分联合概率密度函数fx,y得到的，即f_Xx=∫_{-∞}^∞fx,ydy，故正确
3.设随机变量X和Y的协方差CovX,Y等于0，则X和Y一定相互独立（）【答案】（×）【解析】协方差CovX,Y等于0表示X和Y不相关，但不一定相互独立，故错误
4.设随机变量X服从二项分布Bn,p，则X的期望EX等于np（）【答案】（√）【解析】二项分布Bn,p的期望EX=np，故正确
5.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则X和Y相互独立（）||Y=1|Y=2||---|---|---||X=1|1/4|1/4||X=2|1/4|1/4|【答案】（×）【解析】由于PX=1,Y=1=1/4≠PX=1PY=1=1/2×1/2=1/4，所以X和Y不相互独立，故错误
五、简答题（每题5分，共15分）
1.简述随机变量的期望和方差的意义【答案】期望EX表示随机变量X的平均取值，反映了随机变量的集中趋势方差VarX表示随机变量X的取值与期望的偏差程度，反映了随机变量的离散程度期望和方差是随机变量的两个重要数字特征，可以用来描述随机变量的分布情况
2.简述相互独立随机变量的性质【答案】相互独立的随机变量具有以下性质
（1）EXY=EXEY；
（2）VarX+Y=VarX+VarY；
（3）PX0,Y0=PX0PY0；
（4）X和Y不相关；
（5）联合概率密度函数可以表示为边缘概率密度函数的乘积
3.简述泊松分布的应用场景【答案】泊松分布Poissonλ通常用于描述在固定时间间隔或空间内发生的事件的概率分布例如，单位时间内到达某服务站的顾客数、单位面积内的缺陷数、一定时间内发生的错误数等泊松分布在排队论、可靠性分析、保险精算等领域有广泛应用
六、分析题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx+y，其中0≤x≤1，0≤y≤1，求常数c，并求边缘概率密度函数f_Xx和f_Yy【答案】首先，由于fx,y是概率密度函数，∫_0^1∫_0^1cx+ydydx=1，计算得到c=2边缘概率密度函数f_Xx=∫_0^1fx,ydy=∫_0^12x+ydy=2[x+y^2/2]_0^1=2x+1/2=2x+1，其中0≤x≤1边缘概率密度函数f_Yy=∫_0^1fx,ydx=∫_0^12x+ydx=2[x^2/2+yx]_0^1=21/2+y=1+2y，其中0≤y≤
12.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U0,1，Y服从指数分布Exp1，求PXY【答案】由于X和Y相互独立，且X服从均匀分布U0,1，Y服从指数分布Exp1，所以PXY=∫_0^1∫_y^11dydx=∫_0^11-ydy=[y-y^2/2]_0^1=1-1/2=1/2
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，求X和Y的期望EX，EY，方差VarX，VarY，协方差CovX,Y和相关系数ρ_XY||Y=1|Y=2||---|---|---||X=1|1/4|1/4||X=2|1/4|1/4|【答案】首先，计算X和Y的边缘分布律PX=1=1/4+1/4=1/2，PX=2=1/4+1/4=1/2；PY=1=1/4+1/4=1/2，PY=2=1/4+1/4=1/2期望EX=1×1/2+2×1/2=
1.5，EY=1×1/2+2×1/2=
1.5方差VarX=1-
1.5^2×1/2+2-
1.5^2×1/2=
0.25，VarY=
0.25协方差CovX,Y=∑[x-EX][y-EY]PX=x,Y=y]=[1-
1.51-
1.5×1/4+1-
1.52-
1.5×1/4+2-
1.51-
1.5×1/4+2-
1.52-
1.5×1/4]=0相关系数ρ_XY=CovX,Y/√VarXVarY=0/√
0.25×
0.25=
02.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx+y，其中0≤x≤1，0≤y≤1，求PX
0.5,Y
0.5【答案】由于fx,y是概率密度函数，∫_0^1∫_0^1cx+ydydx=1，计算得到c=2PX
0.5,Y
0.5=∫_0^
0.5∫_0^
0.52x+ydydx=2∫_0^
0.5[x
0.5+
0.5^2/2]dx=2[
0.5x^2+
0.5^3/6]_0^
0.5=2[
0.
50.5^2+
0.5^3/6]=2[
0.125+
0.04167]=
0.375+
0.08334=
0.45834---标准答案
一、单选题
1.B
2.D
3.B
4.A
5.B
6.A
7.B
8.B
9.D
10.B
二、多选题
1.A、B、C
2.A、B、C、D
3.A、B、C
4.A、B、C、D
5.A、D、E
三、填空题
1.λ^ke^-λ/k!
2.
23.1/
24.1/√
35.1/2
四、判断题
1.（×）
2.（√）
3.（×）
4.（√）
5.（×）
五、简答题
1.见答案
2.见答案
3.见答案
六、分析题
1.见答案
2.见答案
七、综合应用题
1.见答案
2.见答案。
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