太原一模文科数学试题及标准答案

太原一模文科数学试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，定义域为全体实数的是（）（2分）A.y=1/xB.y=√xC.y=x^2D.y=2^x【答案】D【解析】y=1/x的定义域为x≠0；y=√x的定义域为x≥0；y=x^2的定义域为全体实数；y=2^x的定义域为全体实数

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的交集是它们共有的元素

3.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

4.等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_2=5，则a_3=（）（2分）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】等差数列中，任意两项之差为常数，即a_2-a_1=a_3-a_2，所以a_3=2a_2-a_1=25-2=

105.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C=（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，所以∠C=180°-45°-60°=75°

6.若复数z=3+4i，则|z|=（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】复数z=a+bi的模为√a^2+b^2，所以|z|=√3^2+4^2=√25=

57.直线y=2x+1与x轴的交点坐标为（）（2分）A.0,1B.1,0C.0,2D.-1,0【答案】B【解析】直线与x轴的交点即y=0时的x值，解方程2x+1=0得x=-1/2，所以交点坐标为-1/2,

08.函数fx=sinx+π/2的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D直线x=π/2【答案】B【解析】sinx+π/2=cosx，cos函数的图像关于y轴对称

9.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，展开后得到x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0，所以圆心为a,b

10.若函数fx在区间[1,2]上单调递增，且f1=2，f2=5，则f

1.5（）（2分）A.4B.4C.=4D.无法确定【答案】A【解析】单调递增函数在区间内的任意值都大于区间的端点值，所以f

1.5f1=2，又因为f2=5，所以f

1.54

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有唯一的补集C.两个集合的交集是它们共有的元素D.两个集合的并集是它们所有元素的集合【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集；任何集合都有唯一的补集；两个集合的交集是它们共有的元素；两个集合的并集是它们所有元素的集合

2.以下函数中，在定义域内单调递增的是（）（4分）A.y=2^xB.y=1/xC.y=√xD.y=x^3【答案】A、C、D【解析】指数函数y=2^x在整个实数域上单调递增；y=1/x在x0时单调递减；y=√x在x≥0时单调递增；y=x^3在整个实数域上单调递增

3.以下命题中，正确的是（）（4分）A.三角形两边之和大于第三边B.等腰三角形的底角相等C.直角三角形的斜边最长D.三角形内角和为180°【答案】A、B、C、D【解析】三角形两边之和大于第三边；等腰三角形的底角相等；直角三角形的斜边最长；三角形内角和为180°

4.以下关于圆的命题中，正确的是（）（4分）A.圆的直径是过圆心的任意线段B.圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离C.圆的切线与过切点的半径垂直D.圆的任意一条直径都是圆的对称轴【答案】B、C【解析】圆的直径是过圆心的任意线段；圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离；圆的切线与过切点的半径垂直；圆的任意一条直径都是圆的对称轴

5.以下关于数列的命题中，正确的是（）（4分）A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dB.等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2C.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1D.等比数列的前n项和公式为S_n=a_1q^n-1/q-1【答案】A、B、C、D【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d；等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2；等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1；等比数列的前n项和公式为S_n=a_1q^n-1/q-1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为______（4分）【答案】1【解析】函数fx=|x-1|在x=1时取得最小值0，在x=0和x=2时取得最大值

12.等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=11，则公差d=______（4分）【答案】2【解析】等差数列中，任意两项之差为常数，即a_5-a_1=4d，所以d=a_5-a_1/4=11-3/4=

23.函数fx=sinx+π/4的周期为______（4分）【答案】2π【解析】sin函数的周期为2π，所以fx=sinx+π/4的周期也为2π

4.圆x^2+y^2-6x+8y-11=0的半径为______（4分）【答案】5【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，展开后得到x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0，所以r=√a^2+b^2-11=√3^2+4^2-11=

55.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值______（4分）【答案】e-1/2【解析】函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值为f1-f0/1-0=e-1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.两个集合的交集是它们共有的元素（）（2分）【答案】（√）【解析】两个集合的交集是它们共有的元素

3.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d

4.圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离

5.函数fx=cosx+π/2的图像关于x轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】cosx+π/2=-sinx，sin函数的图像关于原点对称，所以cosx+π/2的图像关于x轴对称

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=2【解析】函数fx=x^2-4x+3可以写成fx=x-2^2-1，所以顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=

22.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，d=3（5分）【答案】S_n=n2+n/2【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，其中a_n=a_1+n-1d，所以a_n=2+3n-1=3n-1，代入公式得S_n=n2+3n-1/2=n3n+1/

23.求函数fx=sinx+π/6在区间[0,π]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为1，最小值为-1/2【解析】sin函数在区间[0,π]上的最大值为1，最小值为-1/2，所以fx=sinx+π/6在区间[0,π]上的最大值为1，最小值为-1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明等差数列{a_n}中，若a_1+a_n=a_2+a_n-1，则该数列是等差数列（10分）【证明】设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a_1+n-1d，a_n-1=a_1+n-2d，所以a_1+a_n=a_1+a_1+n-1d=2a_1+n-1d，a_2+a_n-1=a_1+d+a_1+n-2d=2a_1+n-1d，所以a_1+a_n=a_2+a_n-1，所以该数列是等差数列

2.证明圆的任意一条直径都是圆的对称轴（10分）【证明】设圆的直径为AB，圆心为O，则OA=OB=半径r对于圆上任意一点P，连接OP，因为OA=OB，所以△OAP和△OBP是等腰三角形，所以∠OAP=∠OBP又因为AB是直径，所以∠APB=90°，所以∠OAP+∠APB+∠OBP=180°，所以∠OAP+90°+∠OBP=180°，所以∠OAP+∠OBP=90°，所以∠OAP=∠OBP=45°所以对于圆上任意一点P，都有∠OAP=∠OBP，所以AB是圆的对称轴

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的单调区间（25分）【解】首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3因为fx是二次函数，开口向上，所以x=1±√3/3是fx的极值点所以函数fx在区间-∞,1-√3/3和1+√3/3,∞上单调递增，在区间1-√3/3,1+√3/3上单调递减

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2+2n，求该数列的通项公式（25分）【解】等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，所以a_1+a_n=2S_n/n=6n+2又因为a_n=a_1+n-1d，所以a_1+a_1+n-1d=6n+2，所以2a_1+n-1d=6n+2令n=1，得2a_1+d=8，令n=2，得2a_1+2d=14，解得d=3，a_1=5/2，所以a_n=5/2+n-13=3n+1/2完整标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.A

4.C

5.B

6.A

7.B

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C、D

3.A、B、C、D

4.B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

12.

23.2π

4.

55.e-1/2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=

22.S_n=n2+n/

23.最大值为1，最小值为-1/2

六、分析题

1.证明见解析

2.证明见解析

七、综合应用题

1.解见解析

2.解见解析。