揭秘常熟中职数学竞赛试题及答案

揭秘常熟中职数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是（）（2分）A.1B.0C.2D.3【答案】C【解析】在区间[0,2]上，x=2时，fx=|2-1|=1，不是最大值；x=0时，fx=|0-1|=1，不是最大值；x=1时，fx=|1-1|=0，不是最大值x在[0,2]上变化时，|x-1|的最大值为2，当x=0或x=2时取得

2.不等式3x-72x+5的解集是（）（2分）A.x12B.x-12C.x2D.x-2【答案】A【解析】移项得3x-2x5+7，即x

123.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，其侧面积是（）（2分）A.15πcm²B.30πcm²C.15cm²D.30cm²【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r=3cm，l=5cm，所以侧面积=π×3×5=15πcm²

4.已知向量a=3,4，向量b=1,-2，则向量a+b的坐标是（）（2分）A.4,2B.2,4C.-2,-4D.-4,-2【答案】A【解析】向量相加，对应坐标相加，a+b=3+1,4-2=4,

25.抛掷两个均匀的六面骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】点数之和为7的组合有1,6，2,5，3,4，4,3，5,2，6,1，共6种情况，总情况数为6×6=36，所以概率为6/36=1/

66.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.1,2D.2,1【答案】C【解析】联立方程组得2x+1=-x+3，解得x=2/3，代入y=2x+1得y=7/3，所以交点坐标为2/3,7/3，最接近的选项为1,

27.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=75°，则∠C的大小是（）（2分）A.60°B.45°C.30°D.15°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-75°=60°

8.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则其公差d是（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，a_5=a_1+4d，10=2+4d，解得d=

29.函数fx=x²-4x+3的图像是（）（2分）A.顶点在原点，开口向上的抛物线B.顶点在原点，开口向下的抛物线C.顶点在2,1，开口向上的抛物线D.顶点在2,1，开口向下的抛物线【答案】C【解析】函数顶点坐标为-b/2a,c-b²/4a，即--4/2×1,3--4²/4×1=2,1，且a=10，开口向上

10.已知样本数据3,5,7,9,11，则样本方差s²是（）（2分）A.4B.16C.20D.25【答案】A【解析】样本均值x=3+5+7+9+11/5=7，样本方差s²=[3-7²+5-7²+7-7²+9-7²+11-7²]/5=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是增函数？（）（4分）A.y=x²B.y=2xC.y=1/xD.y=|x|【答案】B、D【解析】y=2x是一次函数，斜率为正，是增函数；y=|x|在x≥0时是增函数，x0时是减函数，但总体上包含增函数部分y=x²是抛物线，y=1/x是双曲线，都不是单调增函数

2.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点是（）（4分）A.-a,-bB.a,-bC.-a,bD.a,b【答案】A【解析】点关于原点对称，横纵坐标均取相反数，即-a,-b

3.下列命题中，真命题是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则a+cb+cC.若a²b²，则abD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】A不成立，如a=1b=-2，但1²-2²；B成立，不等式两边加同一数仍成立；C不成立，如a=-2b=-3，但-2²-3²；D成立，ab0时，两边取倒数不改变不等号方向

4.已知圆的方程为x-1²+y+2²=9，则该圆的圆心坐标和半径分别是（）（4分）A.圆心1,-2，半径3B.圆心-1,2，半径3C.圆心1,-2，半径9D.圆心-1,2，半径9【答案】A【解析】标准圆方程为x-h²+y-k²=r²，圆心h,k，半径r，本题圆心1,-2，半径√9=

35.下列数中，是无理数的有（）（4分）A.√4B.πC.0D.

3.

1415926...【答案】B、D【解析】√4=2是有理数；π是无理数；0是有理数；

3.

1415926...是无限不循环小数，是无理数

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若方程x²-5x+k=0有两个相等的实根，则k=______（2分）【答案】25/4【解析】判别式Δ=b²-4ac=25-4k=0，解得k=25/

42.在直角三角形中，若两条直角边长分别为3cm和4cm，则斜边长是______cm（2分）【答案】5【解析】勾股定理a²+b²=c²，c=√3²+4²=√25=

53.函数y=3cos2x+π/3的最小正周期是______（2分）【答案】π【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

4.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______（2分）【答案】{1,2,3,4}【解析】集合A与B的并集是包含所有属于A或属于B的元素，即{1,2,3,4}

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则其公比q=______（2分）【答案】3【解析】等比数列通项a_n=a_1q^n-1，a_4=a_2q²，54=6q²，解得q=

36.函数y=sinx+π/6的图像向右平移π/3个单位后得到的函数是______（2分）【答案】y=sinx-π/6【解析】函数y=Asinωx+φ的图像右移a个单位，相位φ变为φ-a，即y=sinx+π/6-π/3=sinx-π/

67.抛掷一个均匀的四面骰子，出现偶数的概率是______（2分）【答案】1/2【解析】偶数面有

2、4，共2个，概率为2/4=1/

28.在△ABC中，若BC=5cm，AC=7cm，∠BAC=60°，则△ABC的面积是______cm²（2分）【答案】

17.5【解析】面积S=1/2×BC×AC×sin∠BAC=1/2×5×7×√3/2=

17.5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.一个角的补角一定大于这个角（）（2分）【答案】（×）【解析】补角和为90°，若角小于45°，补角大于该角；若角大于45°，补角小于该角如30°的补角是60°，大于30°；但75°的补角是15°，小于75°

2.对任意实数x，y，若x²=y²，则x=y（）（2分）【答案】（×）【解析】x²=y²等价于x=±y，如x=2，y=-2时，x²=y²但x≠y

3.函数y=√x-1的定义域是[1,+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】根号下必须非负，x-1≥0，即x≥1，定义域[1,+∞

4.在等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_1+m-1d+a_1+n-1d=2a_1+m+n-2d=2a_1+p+q-2d=a_p+a_q

5.若事件A与事件B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件指A与B不能同时发生，PA∪B=PA+PB

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=2x²-4x+1的顶点坐标和对称轴方程（4分）【答案】顶点坐标1,-1，对称轴方程x=1（4分）【解析】顶点坐标-b/2a,c-b²/4a=--4/2×2,1--4²/4×2=1,-1，对称轴x=-b/2a=

12.已知圆C的方程为x+3²+y-4²=16，求圆C的圆心坐标和半径（4分）【答案】圆心-3,4，半径4（4分）【解析】标准圆方程x-h²+y-k²=r²，圆心h,k，半径r，本题圆心-3,4，半径√16=

43.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求∠C的大小（4分）【答案】∠C≈

38.21°（4分）【解析】余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，8²=5²+7²-2×5×7cosC，64=25+49-70cosC，cosC=5/14，∠C=arccos5/14≈

38.21°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，证明fx在-∞,1上是减函数（10分）【答案】证明fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，在-∞,1上x1，fx=3x²-30，所以fx在-∞,1上是减函数（10分）

2.在△ABC中，若内角∠A=30°，∠B=60°，BC=6cm，求AC和AB的长度（10分）【答案】AC=2√3cm，AB=4cm（10分）【解析】由内角和得∠C=90°，BC对边是30°，AC对边是60°，AB对边是90°，由比例关系得AC=BC×sin60°/sin30°=6×√3/2÷1/2=2√3，AB=BC×sin30°/sin60°=6×1/2÷√3/2=4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元若每月生产x件产品，求

（1）该工厂的月收入函数和月成本函数；

（2）当月生产多少件产品时，工厂可获利润最大？最大利润是多少？（25分）【答案】

（1）月收入函数Rx=80x，月成本函数Cx=10000+50x；

（2）利润函数Lx=Rx-Cx=30x-10000，Lx=30，令Lx=0得x=1000/3，但需整数解，x=3334时，L3334=30×3334-10000=99920元，x=3333时，L3333=30×3333-10000=99990元，x=3335时，L3335=30×3335-10000=100020元，最大利润为100020元，当生产3335件时取得（25分）

2.在直角坐标系中，点P在直线l:y=2x+3上运动，点Q在圆C:x-1²+y+2²=4上运动，求线段PQ的最短长度（25分）【答案】最短长度为√5-1（25分）【解析】圆心C1,-2，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|2×1--2+3|/√2²+1²=√5，PQ最短时PQ⊥l，最短长度=√5-半径=√5-2≈√5-1（25分）---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.A

5.A

6.C

7.A

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.B、D

2.A

3.B、D

4.A

5.B、D

三、填空题

1.25/

42.

53.π

4.{1,2,3,4}

5.

36.y=sinx-π/

67.1/

28.

17.5

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.顶点1,-1，对称轴x=

12.圆心-3,4，半径

43.∠C≈

38.21°

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。