数学分析2复习试题及标准答案

数学分析2复习试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2/3C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】C【解析】e^x在x=0处可导，导数为

12.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

13.函数fx=x^3-3x+2的极值点是（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，x=1为极大值点

4.级数∑n=1to∞1/n^2的收敛性是（）（2分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】C【解析】根据p-级数判别法，p=21，级数绝对收敛

5.函数fx=arctanx在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.x-x^3/3B.x+x^3/3C.x-x^2/2D.x+x^2/2【答案】A【解析】arctanx的泰勒展开式为x-x^3/3+ox^

36.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=fa+fbD.fξ=fb-fa【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使fξ=fb-fa/b-a

7.曲线y=e^x与y=x^2的交点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.无数【答案】C【解析】联立方程e^x=x^2，通过图像分析或计算可得两个交点

8.函数fx=x^2在[0,1]上的积分中值定理中的ξ取值范围是（）（2分）A.[0,1]B.0,1C.0,1/2D.[0,1/2]【答案】B【解析】根据积分中值定理，存在ξ∈0,1，使∫[0,1]x^2dx=x^2|_0^1=1=ξ^

29.级数∑n=1to∞-1^n+11/n的收敛性是（）（2分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】B【解析】根据莱布尼茨判别法，级数条件收敛

10.函数fx=sinx在x=0处的麦克劳林展开式的前三项是（）（2分）A.x-x^3/6B.x+x^3/6C.x-x^2/2D.x+x^2/2【答案】A【解析】sinx的麦克劳林展开式为x-x^3/6+ox^3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x→0时，极限limfx/x存在？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=e^xD.fx=ln1+xE.fx=xsin1/x【答案】B、C、E【解析】fx/x的极限存在，即fx与x同阶sinx、e^x、xsin1/x的极限为1，x^2的极限为0，ln1+x的极限为

02.以下哪些级数收敛？（）（4分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n+11/n^2D.∑n=1to∞-1^n+11/nE.∑n=1to∞1/n+1【答案】B、C、E【解析】p-级数判别法，p1时收敛交错级数条件收敛级数发散

3.以下哪些函数在x=0处可导？（）（4分）A.fx=|x|B.fx=x^3C.fx=e^xD.fx=ln1+xE.fx=sinx【答案】B、C、D、E【解析】|x|在x=0处不可导，其余函数在x=0处可导

4.以下哪些命题正确？（）（4分）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续C.若fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上连续D.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值E.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上必有极值【答案】A、B、C、D【解析】根据连续性、可导性、单调性、极值定理等基本性质

5.以下哪些函数的积分可以用基本积分公式直接计算？（）（4分）A.∫x^2dxB.∫sinxdxC.∫e^xdxD.∫lnxdxE.∫1/xdx【答案】A、B、C、E【解析】lnx的积分需要分部积分

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^3-3x+2的极大值点是______，极小值点是______（4分）【答案】x=1；x=-

12.级数∑n=1to∞1/nn+1的和是______（4分）【答案】

13.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式为______（4分）【答案】1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

4.若函数fx在[a,b]上连续，则根据积分中值定理，存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]fxdx=fξ______（4分）【答案】b-a

5.级数∑n=1to∞-1^n+11/n^p当p1时______，当0p≤1时______（4分）【答案】绝对收敛；条件收敛

6.函数fx=sinx在x=0处的麦克劳林展开式的前三项为______（4分）【答案】x-x^3/

67.若函数fx在[a,b]上连续且单调，则fx在[a,b]上的积分值______（4分）【答案】唯一确定

8.级数∑n=1to∞a^n收敛的条件是______（4分）【答案】|a|1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）（2分）【答案】（√）

2.若级数∑n=1to∞a_n发散，则级数∑n=1to∞a_n^2也发散（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，a_n发散，但a_n^2收敛

3.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）

4.若函数fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上必单调（）（2分）【答案】（×）【解析】可导函数不一定单调，如x^3在R上

5.若级数∑n=1to∞a_n条件收敛，则对其项重排后所得级数仍收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】重排后可能发散

6.若函数fx在[a,b]上连续，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a（）（2分）【答案】（√）【解析】根据拉格朗日中值定理

7.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必存在泰勒展开式（）（2分）【答案】（√）

8.若级数∑n=1to∞a_n绝对收敛，则级数∑n=1to∞a_n也收敛（）（2分）【答案】（√）

9.若函数fx在[a,b]上可导且fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有极值（）（2分）【答案】（√）

10.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述拉格朗日中值定理的条件和结论（4分）【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导结论存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

2.简述交错级数收敛的莱布尼茨判别法（4分）【答案】条件级数形式为∑-1^n+1b_n，其中b_n0且单调递减，且limb_n=0结论级数条件收敛

3.简述函数极值与最值的区别（4分）【答案】极值是局部性质，是最值点的必要条件；最值是全局性质，是函数在区间上的最大值和最小值

4.简述泰勒级数与麦克劳林级数的关系（4分）【答案】麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处的特殊形式，即展开点为x=

05.简述积分中值定理的内容（4分）【答案】若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ∈a,b，使得∫[a,b]fxdx=fξb-a

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-2,3]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0,2f0=-60，x=0为极大值点；f2=60，x=2为极小值点f-2=-8，f0=2，f2=-4，f3=0极大值为2，极小值为-4，最大值为2，最小值为-

82.分析级数∑n=1to∞-1^n+11/n^p的收敛性（10分）【答案】当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛；当p≤0时，级数发散根据p-级数和交错级数判别法

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=1，f1=0证明存在ξ∈0,1，使得fξ=ξ（10分）【答案】构造函数gx=fx-x，g0=1，g1=-1根据介值定理，存在ξ∈0,1，使gξ=0，即fξ=ξ

2.计算定积分∫[0,π/2]sin^3xdx（15分）【答案】令u=sinx，du=cosxdx积分变为∫[0,1]u^3du=u^4/4|_0^1=1/

43.证明级数∑n=1to∞1/n^2+n收敛（10分）【答案】级数可拆分为∑1/n-∑1/n+1，为望远镜级数，收敛

八、标准答案（最后一页）

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.C

5.A

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C、E

2.B、C、E

3.B、C、D、E

4.A、B、C、D

5.A、B、C、E

三、填空题

1.x=1；x=-

12.

13.1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

4.b-a

5.绝对收敛；条件收敛

6.x-x^3/

67.唯一确定

8.|a|1

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

6.（√）

7.（√）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

5.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案

3.见答案。