数学创新班测试真题及详细答案

数学创新班测试真题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在直角坐标系中，点A3,-4关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.3,4B.-3,4C.-3,-4D.4,-3【答案】C【解析】点A关于原点对称的点的坐标是x,y变为-x,-y，所以3,-4变为-3,-

42.函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标是（）（2分）A.1,-1B.2,-1C.1,3D.2,3【答案】A【解析】函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4a，代入得-4/22,1-4/4=1,-

13.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=75°，则∠C的度数是（）（2分）A.60°B.45°C.75°D.90°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-75°=60°

4.下列四个数中，最大的是（）（2分）A.√3B.√2C.√5D.√7【答案】C【解析】√3约等于

1.73，√2约等于

1.41，√5约等于

2.24，√7约等于

2.65，所以√7最大

5.若方程x^2-px+q=0的两个实根为α和β，且α+β=5，αβ=3，则p和q的值分别是（）（2分）A.p=5，q=3B.p=-5，q=3C.p=5，q=-3D.p=-5，q=-3【答案】B【解析】根据韦达定理，α+β=p，αβ=q，代入得p=5，q=

36.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=8，则a_7的值是（）（2分）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】等差数列中a_n=a_1+n-1d，d=a_4-a_1/4-1=3，a_7=2+7-1×3=

167.圆的半径为5，圆心到直线l的距离为3，则直线l与圆的位置关系是（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离小于半径，即

358.若fx=x^3-3x+1，则fx在x=1处的导数f1的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f1=3×1^2-3=

09.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的面积是4，高为3，则该直三棱柱的体积是（）（2分）A.12B.15C.18D.24【答案】A【解析】直三棱柱体积V=底面积×高=4×3=

1210.若复数z=1+i，则z^2的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】D【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，但z^2=1+2i-1=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是？（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若a^2=b^2，则a=bD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】A不一定正确，如a=2，b=-3；C不一定正确，如a=1，b=-1；B和D均正确

2.以下函数中，在其定义域内是增函数的有？（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=√x【答案】B、D【解析】y=x^2在x≥0时增，y=1/x是减函数，y=2x+1和y=√x都是增函数

3.以下不等式成立的有？（）（4分）A.-2^3-1^3B.3^22^2C.2^-32^-2D.|-5||-3|【答案】B、D【解析】A不成立，B成立，C不成立，D成立

4.以下图形中，是轴对称图形的有？（）（4分）A.等腰梯形B.平行四边形C.正五边形D.圆【答案】A、C、D【解析】等腰梯形、正五边形和圆是轴对称图形，平行四边形不是

5.以下命题中，是假命题的有？（）（4分）A.所有偶数都是合数B.存在实数x使x^20C.对任意实数x，x^2≥0D.空集是任何集合的子集【答案】A、B【解析】A不成立，如2是偶数但不是合数；B不成立，C和D成立

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】函数图像是V形，最小值在x=-2和x=1的中点x=-

0.5处，y=|-

0.5-1|+|-

0.5+2|=

1.5+

1.5=

32.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入得9=16+25-245cosA，解得cosA=4/

53.等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_5的值是______（4分）【答案】64【解析】等比数列中a_n=a_1q^n-1，q^3=16，q=2，a_5=12^4=

164.圆的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则该圆的圆心坐标是______，半径是______（4分）【答案】2,-3，√13【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，原方程变形为x-2^2+y+3^2=13，圆心2,-3，半径√

135.函数y=sinx+π/4的周期是______（4分）【答案】2π【解析】正弦函数的周期是2π，平移不改变周期

6.若fx=x^2-2x+3，则fx在区间[-1,3]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】7，2【解析】fx=2x-2，f1=0，f-1=6，f1=2，f3=6，最大值7，最小值

27.在直角坐标系中，点A1,2到直线3x-4y+5=0的距离是______（4分）【答案】3【解析】点Px_0,y_0到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax_0+By_0+C|/√A^2+B^2，d=|31-42+5|/√3^2+4^2=

38.复数z=2+3i的模长|z|是______（4分）【答案】√13【解析】|z|=√2^2+3^2=√13

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2，b=-3，则49，但不一定成立

2.若方程x^2+px+q=0有两个相等的实根，则p^2-4q=0（）（2分）【答案】（√）【解析】由判别式Δ=p^2-4q=0，得p^2-4q=

03.所有等腰三角形都是轴对称图形（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形是轴对称图形

4.对任意实数x，x^2≥0（）（2分）【答案】（√）【解析】平方数非负

5.圆的切线与过切点的半径垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】切线与半径垂直

6.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f0不一定为0，如fx=x/x^2，f0无定义

7.所有实数的立方根都是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】实数的立方根仍是实数

8.对任意实数x，sinx+π/2=cosx（）（2分）【答案】（√）【解析】正弦函数平移π/2等于余弦函数

9.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】{a_n^2}不是等差数列

10.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数图像关于y轴对称

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=2x^3-3x^2+x+1的导数y（4分）【答案】6x^2-6x+1【解析】y=6x^2-6x+

12.求不等式|x-1|2的解集（4分）【答案】-1,3【解析】x-1-2或x-12，x-1或x3，解集-1,

33.求等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=3，求a_10的值（4分）【答案】32【解析】a_n=a_1+n-1d，a_10=5+10-1×3=

324.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径（4分）【答案】圆心2,-3，半径√13【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，原方程变形为x-2^2+y+3^2=13，圆心2,-3，半径√

135.求函数y=sin2x在区间[0,π]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值1，最小值-1【解析】sin2x在[0,π]上取值范围是[-1,1]，最大值1，最小值-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明等差数列中，任意三项a_m，a_n，a_pmnp，有a_n=a_m+a_p/2（10分）【证明】设等差数列首项为a_1，公差为d，则a_m=a_1+m-1d，a_n=a_1+n-1d，a_p=a_1+p-1d，a_n-a_m=n-md，a_p-a_n=p-nd，a_p-a_n/a_n-a_m=p-n/n-m，a_n=a_m+a_p/1+p-n/n-m=a_m+a_p/

22.证明对任意实数x，cos^2x+sin^2x=1（10分）【证明】设单位圆上点Pcosθ,sinθ，则OP=1，由勾股定理cos^2θ+sin^2θ=OP^2=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若销售量为x件，求

（1）利润函数Lx的表达式；

（2）当销售量为多少时，工厂开始盈利？

（3）若工厂希望每月盈利10万元，至少需要销售多少件产品？（25分）【解】

（1）Lx=80x-50x-10000=30x-10000

（2）Lx0，30x-100000，x1000/3，x

333.33，至少销售334件

（3）Lx=100000，30x-10000=100000，x=4000，需要销售4000件

2.某矩形花园的长为20米，宽为10米，现要在花园中修建一条环形小路，使小路宽度相等且面积尽可能大若小路宽度为x米，求

（1）花园内剩余面积Sx的表达式；

（2）当小路宽度为多少时，小路面积最大？

（3）若希望小路面积占花园总面积的1/4，小路宽度应为多少？（25分）【解】

（1）花园总面积200平方米，小路面积Sx=π10+x^2-π10^2=π100+20x+x^2-100=π20x+x^2

（2）Sx=π20+2x，Sx=0，x=-10（舍去），x=10，x=0时Sx=0，x=10时Sx最大

（3）小路面积=200×1/4=50，π20x+x^2=50，x^2+20x-50/π=0，x=-10+√100+200/π≈

1.72米---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.B、D

2.B、D

3.B、D

4.A、C、D

5.A、B

三、填空题

1.

32.4/

53.

644.2,-3，√

135.2π

6.7，

27.

38.√13

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（×）

7.（√）

8.（√）

9.（×）

10.（√）

五、简答题

1.y=6x^2-6x+

12.-1,

33.

324.圆心2,-3，半径√

135.最大值1，最小值-1

六、分析题

1.证明见解析

2.证明见解析

七、综合应用题

1.

（1）Lx=30x-10000

（2）334件

（3）4000件

2.

（1）Sx=π20x+x^2

（2）x=10

（3）

1.72米。