数学生考试压轴试题及答案

数学推荐生考试压轴试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且曲线y=fx经过点0,1，则f1的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】fx在x=1处取得极值，则f1=0，选项A正确

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，所以角C=60°

3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为（）（2分）A.a_n=2^n-1B.a_n=3^n-1C.a_n=4^n-1D.a_n=5^n-1【答案】A【解析】由a_n=S_nS_{n-1}得S_n-S_{n-1}=S_nS_{n-1}，即S_n1-S_{n-1}=S_{n-1}，得到S_n=1/1+S_{n-1}，可归纳出S_n=1/1+1/1+...+1/1+a_1，n项，最终S_n=1/22^n-1，所以a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2-2^n-3=2^n-

14.已知圆O的半径为1，点A、B在圆上，且∠AOB=60°，则线段AB的长为（）（2分）A.√3/2B.√3C.1D.2【答案】B【解析】由圆心角与弦的关系得，AB=2sin∠AOB/2=2sin30°=√

35.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=-fx，则f2016的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.不确定【答案】A【解析】由fx+2=-fx得fx+4=fx，所以f2016=f0=

06.若函数gx=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则m的取值范围是（）（2分）A.m≥3B.m=3C.m3D.m≤3【答案】D【解析】gx表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为点1和-2之间的距离，即3，所以m≤

37.已知实数x满足x^2+2x-30，则函数y=x^2+2x+1/x在定义域内的最小值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】x^2+2x-30得x-3或x1，y=x^2+2x+1/x=x+1/x+2≥2√x1/x+2=4，当且仅当x=1时取等号，但x=1不在定义域内，所以最小值大于4，结合选项得选C

8.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则S_9的值为（）（2分）A.27B.36C.45D.54【答案】C【解析】由等差数列性质得a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，所以9d=18-12=6，S_9=9/2a_1+a_9=9/2a_1+a_1+8d=9/2a_1+24=

459.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】B【解析】sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，所以2π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，得φ=π/2-π/2+kπ=0+kπ，k∈Z，所以φ=π/

210.已知四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=6，∠A=60°，则四边形ABCD的面积为（）（2分）A.12√3B.18√3C.24√3D.30√3【答案】B【解析】过D作DE⊥BC于E，则DE=ADsin60°=4√3，BE=BC-CD=6-4=2，所以四边形ABCD的面积=BCDE+ADBE/2=64√3+42/2=18√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=1/x的说法正确的有（）（4分）A.函数的定义域为-∞,0∪0,+∞B.函数是奇函数C.函数是偶函数D.函数的图像关于y=x对称【答案】A、B、D【解析】函数y=1/x的定义域为-∞,0∪0,+∞，所以A正确；因为y=-1/x=-y，所以B正确，C错误；因为y=1/x的反函数为y=x，所以图像关于y=x对称，D正确

2.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，当q≠1时C.数列的前n项和S_n可以表示为数列{a_n}的通项公式a_nD.若数列{a_n}是单调递增的，则数列{a_n}的前n项和S_n也是单调递增的【答案】A、B【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，所以A正确；等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，当q≠1时，所以B正确；数列的前n项和S_n不能表示为数列{a_n}的通项公式a_n，所以C错误；数列{a_n}是单调递增的，但数列{a_n}的前n项和S_n不一定是单调递增的，所以D错误

3.以下关于三角函数的说法正确的有（）（4分）A.sin^2x+cos^2x=1B.tanx=sinx/cosxC.函数y=sinx是周期函数，周期为2πD.函数y=cosx是偶函数【答案】A、B、C、D【解析】sin^2x+cos^2x=1是三角恒等式，所以A正确；tanx=sinx/cosx是定义，所以B正确；函数y=sinx的周期为2π，所以C正确；函数y=cosx的图像关于y轴对称，所以D正确

4.以下关于解析几何的说法正确的有（）（4分）A.点Px,y到原点的距离为√x^2+y^2B.直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+bC.圆x-a^2+y-b^2=r^2的圆心为a,b，半径为rD.椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上，当ab时【答案】A、C、D【解析】点Px,y到原点的距离为√x^2+y^2，所以A正确；直线l的斜率为k，且过原点，则直线l的方程为y=kx，若不过原点，则方程为y=kx+b，所以B错误；圆x-a^2+y-b^2=r^2的圆心为a,b，半径为r，所以C正确；椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上，当ab时，所以D正确

5.以下关于立体几何的说法正确的有（）（4分）A.正方体的对角线长度为棱长的√3倍B.球的表面积公式为4πr^2C.圆锥的侧面积为πrl，其中l是母线长D.圆柱的体积为底面积乘以高【答案】A、B、C、D【解析】正方体的对角线长度为棱长的√3倍，所以A正确；球的表面积公式为4πr^2，所以B正确；圆锥的侧面积为πrl，其中l是母线长，所以C正确；圆柱的体积为底面积乘以高，即V=πr^2h，所以D正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=x^2+px+q在x=1处取得最小值-2，则p=______，q=______（4分）【答案】-

4、3【解析】函数fx在x=1处取得最小值-2，则f1=2x+p|_{x=1}=0，得p=-2，f1=1^2-21+q=-2，得q=

32.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5=______（4分）【答案】16【解析】a_5=S_5-S_4=2^5-1-2^4-1=

163.若圆x-1^2+y+2^2=9的圆心到直线3x-4y-5=0的距离为d，则d=______（4分）【答案】2【解析】圆心到直线3x-4y-5=0的距离为d=|31-4-2-5|/√3^2+4^2=

24.若函数fx=sinx+cosx，则fπ/4=______（4分）【答案】√2【解析】fπ/4=sinπ/4+cosπ/4=√2/2+√2/2=√2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab，但a^2=1^2=1，b^2=-2^2=4，所以a^2b^

22.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上的导数fx恒大于0（）（2分）【答案】（×）【解析】函数fx在区间I上单调递增，则fx≥0，但不一定恒大于0，如fx=x^3在x=0处导数为

03.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如等差数列a_n=n，则a_n^2=n^2，不是等差数列

4.若直线l1与直线l2平行，则l1的斜率等于l2的斜率（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l1与直线l2平行，则l1的斜率等于l2的斜率，或两条直线都垂直于x轴，即斜率不存在

5.若圆x^2+y^2=r^2与直线y=x相交，则交点坐标为√2r/2，√2r/2（）（2分）【答案】（√）【解析】圆x^2+y^2=r^2与直线y=x相交，代入得x^2+x^2=r^2，得x=√2r/2，所以交点坐标为√2r/2，√2r/2

五、简答题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x0时，fx0，所以fx在-∞,0上单调递增；当0x2时，fx0，所以fx在0,2上单调递减；当x2时，fx0，所以fx在2,+∞上单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_5（4分）【答案】a_5=S_5-S_4=5^2+5-4^2+4=25+5-20-4=

63.已知圆x-1^2+y+2^2=4与直线y=kx相交于A、B两点，且AB=2√6，求k的值（4分）【答案】圆心到直线y=kx的距离为d=|k-1-1|/√k^2+1=2√6/2=√6，所以|k+1|/√k^2+1=√6，两边平方得k+1^2=6k^2+1，得5k^2-2k-5=0，解得k=5/3或k=-

14.已知函数fx=sin2x+φ，若fπ/4=√2/2，求φ的值（4分）【答案】fπ/4=sin2π/4+φ=sinπ/2+φ=√2/2，所以π/2+φ=π/4+kπ，k∈Z，得φ=-π/4+kπ，k∈Z

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求证{a_n}是等比数列（10分）【证明】a_1=S_1=2^1-1=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，所以a_n=2^{n-1}，所以a_{n+1}/a_n=2^n/2^{n-1}=2，所以{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在[-2，4]上的最大值和最小值（10分）【解】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-2^3-3-2^2+2=-8-12+2=-18，f0=0^3-30^2+2=2，f2=2^3-32^2+2=8-12+2=-2，f4=4^3-34^2+2=64-48+2=18，所以fx在[-2，4]上的最大值为18，最小值为-18

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的图像与x轴的交点坐标，并判断这些交点是否为极值点（25分）【解】令fx=0得x^3-3x^2+2=0，即x-1^2x+2=0，所以x=1（重根）或x=-2，所以fx的图像与x轴的交点坐标为1，0和-2，0，fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f1=6-6=0，f-2=-12-6=-18，所以x=1不是极值点，x=-2是极值点

2.已知四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=6，∠A=60°，求四边形ABCD的面积（25分）【解】过D作DE⊥BC于E，则DE=ADsin60°=4√3，BE=BC-CD=6-4=2，四边形ABCD的面积=BCDE+ADBE/2=64√3+42/2=18√3+4=18√3+4。