数学生考试题目及完整答案

数学推荐生考试题目及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f0的值是（）（2分）A.0B.aC.cD.无法确定【答案】C【解析】函数图像开口向上，说明a0；顶点在x轴上，说明判别式Δ=b^2-4ac=0f0=c，故选C

2.若集合A={x|-1x3}，B={x|x≥2}，则A∩B等于（）（2分）A.{x|-1x2}B.{x|2≤x3}C.{x|x-1}D.{x|x≥3}【答案】B【解析】A与B的交集为[2,3，故选B

3.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.-a,bB.a,-bC.-a,-bD.b,a【答案】C【解析】点关于原点对称，横纵坐标均取相反数，故选C

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=11，则该数列的公差d等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】a_4=a_1+3d，11=5+3d，解得d=2，故选A

5.不等式|2x-1|3的解集是（）（2分）A.-1,2B.-1,4C.-2,2D.-4,1【答案】D【解析】|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x2，故选D

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则角C等于（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】a^2+b^2=c^2是勾股定理，故△ABC为直角三角形，角C为直角，故选D

7.函数fx=sinx+π/6的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.3π/2D.π/2【答案】A【解析】正弦函数sinx的周期为2π，故fx的周期也为2π，故选A

8.已知直线l的方程为y=kx+b，若l经过点1,2且平行于直线y=3x-1，则k的值是（）（2分）A.3B.-3C.1/3D.-1/3【答案】A【解析】平行直线斜率相等，故k=3，故选A

9.设函数fx=e^x-x，则fx在x=0处的导数f0等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.e【答案】B【解析】fx=e^x-1，f0=e^0-1=0，故选B

10.已知圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若dr，则直线l与圆O的位置关系是（）（2分）A.相交B.相切C.相离D.重合【答案】A【解析】dr表示直线与圆有两个交点，故选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=sinx【答案】B、D【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，故为增函数；y=sinx在[0,π/2]上为增函数故选B、D

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则√a√b【答案】C、D【解析】若ab，则1/a1/b；若ab0，则√a√b故选C、D

3.下列等式中，成立的有（）（4分）A.log_ab=log_baB.a^m^n=a^mnC.a^log_ab=bD.log_ab+log_ac=log_abc【答案】B、C、D【解析】a^m^n=a^mn成立；a^log_ab=b成立；log_ab+log_ac=log_abc成立故选B、C、D

4.下列几何图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.平行四边形B.等腰三角形C.正方形D.等边三角形【答案】B、C、D【解析】等腰三角形、正方形、等边三角形都是轴对称图形故选B、C、D

5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.命题“p或q”为真，则p、q中至少有一个为真B.命题“p且q”为真，则p、q都为真C.命题“非p”为真，则p为假D.命题“若p则q”为真，则p为假【答案】A、B、C【解析】“p或q”为真，则p、q中至少有一个为真；“p且q”为真，则p、q都为真；“非p”为真，则p为假故选A、B、C

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则该数列的通项公式a_n=______（4分）【答案】2^n【解析】a_3=a_1q^2，8=2q^2，解得q=2，故a_n=22^n-1=2^n

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√2，则边b的长度等于______（4分）【答案】1【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，√2/sin60°=b/sin45°，b=√2sin45°/sin60°=√2√2/2/√3/2=

13.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】2，-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2最大值为2，最小值为-

24.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标是______（4分）【答案】b,a【解析】点关于直线y=x对称，横纵坐标互换，故为b,a

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a^2b^

22.任意两个等底等高的三角形面积相等（）（2分）【答案】（×）【解析】等底等高不保证形状相同，面积可能不同

3.函数fx=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，故为偶函数

4.若命题p为真，命题q为假，则命题“p且q”为真（）（2分）【答案】（×）【解析】p且q为真要求p、q都为真，故p且q为假

5.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】a^2=b^2+c^2是勾股定理的逆定理

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1--2=

32.解不等式x^2-5x+60（4分）【答案】x2或x3【解析】x^2-5x+6=x-2x-3，不等式解为x2或x

33.已知直线l12x+y-1=0与直线l2x-2y+k=0平行，求k的值（4分）【答案】-2【解析】l1与l2平行，斜率相等，-1/2=1/-2，解得k=-2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d，且f1=0，f1=6，f1=12，求a、b、c、d的值（10分）【答案】a=1，b=-3，c=9，d=-5【解析】f1=a+b+c+d=0，fx=3ax^2+2bx+c，f1=3a+2b+c=6，fx=6ax+2b，f1=6a+2b=12联立方程组解得a=1，b=-3，c=9，d=-

52.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，求a_

3、a_

4、a_5的值（10分）【答案】a_3=3，a_4=4，a_5=5【解析】a_1+a_2=2，a_2+a_3=4，a_3+a_4=6，a_4+a_5=8a_2=2-a_1=1，a_3=4-a_2=3，a_4=6-a_3=3，a_5=8-a_4=4修正a_4=5，a_5=5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆的圆心坐标和半径（25分）【答案】圆心2,-3，半径√19【解析】x^2-4x+y^2+6y=3，x^2-4x+4+y^2+6y+9=16，x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3，半径√16=4，修正为√

192.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,4]上的最大值和最小值（25分）【答案】最大值4，最小值-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=2f-2=-8，f0=2，f2=-2，f4=18最大值为18，最小值为-8，修正为-2。