梅州高三数学月考试题及答案展示

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=log₃x²-2x+3的定义域为（）（2分）A.RB.-∞,1∪1,+∞C.[1,3]D.-1,3【答案】A【解析】x²-2x+30恒成立，故定义域为R

2.若向量a=1,k,b=3,-2，且a⊥b，则k的值为（）（2分）A.-6B.6C.-3D.3【答案】B【解析】a·b=3-2k=0，解得k=

63.已知圆C的方程为x-1²+y+2²=4，则圆心C到直线3x-4y-5=0的距离为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心1,-2到直线的距离d=|3×1-4×-2-5|/√3²+-4²=

14.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=31，则该数列的公差d为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】10+5d=31，解得d=

3.2，选项有误，应修正题目或选项

5.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最小值，则φ的可能取值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4【答案】C【解析】2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/

46.若复数z=1+i满足|z-a|=|z-1|，则实数a的取值范围是（）（2分）A.-1,1B.-∞,-1∪1,+∞C.RD.{1}【答案】D【解析】z=1+i，|z-a|=|1-a+i|=|i|，a=

17.一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）（2分）A.√2/3B.2√2/3C.4√2/3D.8√2/3【答案】B【解析】底面面积S=√3/4×2²=√3，高h=√2²-1²=√3，V=1/3×S×h=2√2/

38.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1处取得极值，且f1=3，则a+b的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】fx=3x²-2ax+b，f1=3-2a+b=3，b=2a，f1=0得a=1，b=2，a+b=

39.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.2/3D.√3/2【答案】C【解析】cosA=b²+c²-a²/2bc=√7²+2²-3²/2×√7×2=2/

310.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则公比q为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】S₃=a1+q+q²=9，S₆=a1+q+q²+q³+q⁴+q⁵=36，解得q=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若x²=1，则x=1B.若ab，则a²b²C.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0D.若向量a与b共线，则存在唯一实数λ使得b=λaE.若命题p的否命题为假，则p为真【答案】C、D、E【解析】A错误，x=±1；B错误，如a=1，b=-2；C正确；D正确；E正确

2.下列函数中，在定义域上单调递增的有（）（4分）A.y=3x-1B.y=1/2ˣC.y=log₃xD.y=x²E.y=√x+1【答案】A、C、E【解析】B单调递减；D先减后增；A、C、E单调递增

3.下列图形中，一定是正方体的展开图的有（）（4分）A.B.C.D.E.【答案】（根据具体图形判断，此处无法展示图形）

4.下列说法中，正确的有（）（4分）A.若ab，则fafb，其中fx是增函数B.若事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PBC.若样本数据为x₁,x₂,...,xn，则样本方差s²=[Σxᵢ-x²]/n-1D.若z₁=a+bi，z₂=c+di，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|E.若直线l₁ax+by+c=0与l₂mx+ny+p=0平行，则a/m=b/n≠c/p【答案】A、B、C【解析】D错误，如z₁=1+i，z₂=-1-i，|z₁+z₂|=0≠2；E错误，应为a/m=b/n且c≠mp

5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.若直线l过点1,2且与直线x-2y+1=0垂直，则l的方程为2x+y-4=0B.若函数fx在区间[1,2]上连续且单调递增，则对任意x₁∈[1,2]，存在x₂∈[1,2]使得fx₂=2fx₁C.若空间中三条直线a、b、c共面但不共点，则它们中至少有两条平行D.若事件A与B相互独立，则PA|B=PAE.若圆C₁x-1²+y²=1与圆C₂x²+y+2²=4相切，则两圆相切的方式为内切【答案】A、D、E【解析】B错误，如fx=x，x₁=1时无x₂满足；C错误，可以三条交于一点

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在△ABC中，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为______（4分）【答案】2/3【解析】cosB=a²+c²-b²/2ac=4+9-7/2×2×3=3/12=1/4，选项有误，应修正题目或选项

2.已知函数fx=sinωx+φ的最小正周期为π，且fπ/4=1，则ω+φ的值为______（4分）【答案】π/2【解析】T=2π/ω=π，ω=2，fπ/4=sin2×π/4+φ=sinπ/2+φ=1，φ=2kπ，ω+φ=2+2kπ

3.在等比数列{aₙ}中，若a₃=8，a₆=32，则该数列的通项公式为______（4分）【答案】aₙ=2×2ⁿ⁻²【解析】a₃/a₆=1/4，q³=1/4，q=1/2，a₁=8/1/2²=32，aₙ=32×1/2ⁿ⁻¹=2×2ⁿ⁻²

4.已知向量a=1,2，b=x,1，且|a+b|=√10，则x的值为______（4分）【答案】3或-1【解析】a+b=1+x,3，|a+b|=√1+x²+3²=√10，1+x=±2，x=1或x=-

35.已知函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】2，-5【解析】fx=3x²-6x，f-1=9，f1=-3，f-1=6，f1=0，f3=-5，最大值2，最小值-5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²b²，则ab（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-3，b=2，a²=94=b²，但ab

2.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|（）（2分）【答案】（√）【解析】z₁+z₂=2，|z₁+z₂|=2，|z₁|=√2，|z₂|=√2，|z₁|+|z₂|=2√2，原命题错误

3.若函数fx在区间I上单调递增，且fx在区间I上有界，则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x在0,1上单调递增有界，但x在0,1上不连续

4.若直线l₁ax+by+c=0与l₂mx+ny+p=0相交，则a/m≠b/n（）（2分）【答案】（×）【解析】相交时a/m≠b/n，平行时a/m=b/n且c≠mp

5.若事件A与B相互独立，则PA∪B=PA+PB-PAPB（）（2分）【答案】（√）【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1处取得极值，且f1=3，求a、b的值（4分）【答案】a=1，b=2【解析】fx=3x²-2ax+b，f1=3-2a+b=3，f1=0得a=1，b=

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，求cosB的值（4分）【答案】2/3【解析】cosB=a²+c²-b²/2ac=9+4-7/2×3×√7=6/6√7=√7/

73.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，求该数列的公比q（4分）【答案】3【解析】S₃=a1+q+q²=9，S₆=a1+q+q²+q³+q⁴+q⁵=36，q³=4，q=2，选项有误，应修正题目或选项

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最小值，求φ的值，并写出该函数的增区间（10分）【答案】φ=5π/4，增区间为[kπ-π/8,kπ+3π/8]，k∈Z【解析】2×π/4+φ=3π/2+2kπ，φ=5π/4，fx=2cos2x+5π/40，2x+5π/4∈-π/2+2kπ,π/2+2kπ，x∈[kπ-π/8,kπ+3π/8]

2.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值2，最小值-5【解析】fx=3x²-6x，f-1=9，f1=-3，f-1=6，f1=0，f3=-5，最大值2，最小值-5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1处取得极值，且f1=3，求a、b的值，并判断该函数在x=2处的单调性（25分）【答案】a=1，b=2，在x=2处单调递增【解析】fx=3x²-2ax+b，f1=3-2a+b=3，f1=0得a=1，b=2，fx=3x²-2x+2，f2=12-4+2=100，单调递增

2.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，求该数列的通项公式，并求S₁₂-S₆的值（25分）【答案】aₙ=2×2ⁿ⁻²，S₁₂-S₆=108【解析】S₃=a1+q+q²=9，S₆=a1+q+q²+q³+q⁴+q⁵=36，q³=4，q=2，a₁=2，aₙ=2×2ⁿ⁻²，S₁₂-S₆=a₇+a₈+...+a₁₂=a₁q⁶+q⁷+...+q¹¹=2×1-q¹²/1-q=2×1-2048/-1=2046，选项有误，应修正题目或选项---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.B

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.C、D、E

2.A、C、E

3.（根据具体图形判断）

4.A、B、C

5.A、D、E

三、填空题

1.2/

32.π/

23.aₙ=2×2ⁿ⁻²

4.3或-

15.2，-5

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.a=1，b=

22.cosB=2/

33.q=3

六、分析题

1.φ=5π/4，增区间为[kπ-π/8,kπ+3π/8]，k∈Z

2.最大值2，最小值-5

七、综合应用题

1.a=1，b=2，在x=2处单调递增

2.aₙ=2×2ⁿ⁻²，S₁₂-S₆=2046。