直击重庆一诊数学试题与答案要点

直击重庆一诊数学试题与答案要点

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.[-1,+∞C.-∞,+∞D.-∞,-1【答案】B【解析】函数fx=lnx+1中x+10，即x-1，所以定义域为-1,+∞

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，与B的交集为{2}

3.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|等于（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】|z|=√3^2+4^2=√9+16=√25=

54.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x^3【答案】B【解析】y=x^2在0,+∞上单调递增

5.已知圆心在y轴上，半径为5的圆与直线x-2y+5=0相切，则圆的方程是（）（2分）A.x-0^2+y-5^2=25B.x-0^2+y+5^2=25C.x-5^2+y-0^2=25D.x+5^2+y-0^2=25【答案】B【解析】圆心在y轴上设为0,b，到直线x-2y+5=0的距离等于5，即|0-2b+5|/√1^2+-2^2=5，解得b=-

56.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C等于（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】C【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-45°-60°=75°

7.已知向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b等于（）（2分）A.4,1B.2,3C.1,4D.3,4【答案】A【解析】向量a+b=1+3,2+-1=4,

18.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1处取得最小值

09.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则其前n项和S_n等于（）（2分）A.nn+1B.n^2C.nn+2D.2n^2【答案】C【解析】等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+n-1d]，代入得S_n=n/2[2×1+n-1×2]=nn+

210.若函数fx=sinωx+φ的最小正周期为π，则ω等于（）（2分）A.1B.2C.πD.2π【答案】B【解析】正弦函数周期为2π/ω，所以ω=2π/π=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.若sinα=sinβ，则α=β【答案】A、C【解析】空集是任何集合的子集，两个无理数的和一定是无理数，故A、C正确；若ab，不一定有a^2b^2，如-2-3但49；sinα=sinβ不一定有α=β，如sin30°=sin150°

2.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnx【答案】A、B、C【解析】y=x^

3、y=1/x、y=sinx都是奇函数，y=lnx是偶函数

3.在△ABC中，若边a=3，边b=4，边c=5，则△ABC是（）（4分）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】A、C【解析】边长满足勾股定理a^2+b^2=c^2，所以是直角三角形；直角三角形也是锐角三角形

4.下列不等式成立的有（）（4分）A.2^1003^50B.log_28log_327C.√103D.1/2^-101/3^-10【答案】A、C【解析】2^100=2^2^503^50，log_28=3log_327=3，√10=√9+13，1/2^-10=2^101/3^-10=3^

105.已知点A1,2，点B3,0，则向量AB的模长和方向余弦分别为（）（4分）A.|AB|=2√2B.方向余弦为1/2√2,-1/2√2C.|AB|=√10D.方向余弦为√2/2,-√2/2【答案】C、D【解析】|AB|=√3-1^2+0-2^2=√4+4=√8=2√2，方向余弦为3-1/√8=2/2√2,-2/2√2=√2/2,-√2/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=16，则公比q=______（4分）【答案】4【解析】a_3=a_1q^2，16=2q^2，解得q=±2，取正数q=

42.函数fx=e^x在点x=0处的切线方程是______（4分）【答案】y=x+1【解析】fx=e^x，f0=1，f0=1，切线方程y-f0=f0x-0，即y=x+

13.在△ABC中，若sinA/sinB=2/3，且a=4，则b=______（4分）【答案】6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，4/2/3=b/3/4，解得b=

64.若复数z=1+i，则z^2的实部是______（4分）【答案】0【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，实部为

05.曲线y=1/x在点1,1处的曲率半径是______（4分）【答案】1【解析】y=-1/x^2，y=2/x^3，曲率半径R=√1+y^2/|y|=√1+1/2=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，1-2但1^

242.函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cosx在[0,π/2]减，在[π/2,π]增

3.若向量a=1,1，b=1,-1，则a⊥b（）（2分）【答案】（×）【解析】a·b=1×1+1×-1=0，故a⊥b

4.函数y=|sinx|是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】|sinx|的最小正周期为π，是周期函数

5.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，故为直角三角形

五、简答题（每题4分，共16分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+4的单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0，单调增；当0x2时，fx0，单调减；当x2时，fx0，单调增故单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.求极限limx→0sin2x/3x（4分）【答案】limx→0sin2x/3x=limx→02sin2x/6x=2/6=1/

33.求不定积分∫x^2+1/x^2-1dx（4分）【答案】∫x^2+1/x^2-1dx=∫[x^2-1+2/x^2-1]dx=∫[1+2/x^2-1]dx=∫dx+∫[1/x-1-1/x+1]dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C

4.求过点1,2且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程（4分）【答案】原直线斜率k_1=1/2，垂直直线斜率k_2=-2直线方程y-2=-2x-1，即y=-2x+4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，讨论其单调性、极值和凹凸性（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，fx=6x-6令fx=0得x=0或x=2f0=-60，f2=60，故x=0为极大值点，x=2为极小值点当x0时，fx0，单调增；当0x2时，fx0，单调减；当x2时，fx0，单调增fx=0得x=1，x1时fx0，凹；x1时fx0，凸故在-∞,1凹，在1,+∞凸

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n+1-2a_n=1，变形为a_n+1-1/2-a_n-1/2=1/2，令b_n=a_n-1，得b_n+1/b_n=2，故b_n是首项为

0、公比为2的等比数列b_n=0×2^n-1=0，故a_n=b_n+1=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求其单调区间、极值、拐点，并画出大致图像（25分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0得x=1±√3/3fx=6x-6，f1±√3/3=±2√30，故x=1±√3/3为极值点当x1-√3/3时，fx0，单调增；当1-√3/3x1+√3/3时，fx0，单调减；当x1+√3/3时，fx0，单调增极小值f1+√3/3=2√3+5/9，极大值f1-√3/3=2√3-5/9fx=0得x=1，f1=1，故拐点为1,1大致图像在-∞,1-√3/3增，1-√3/3,1+√3/3减，1+√3/3,+∞增，过点1,

12.已知直线l过点A1,2且与曲线C:y=x^2+1相切，求直线l的方程（25分）【答案】设切点为x_0,x_0^2+1，曲线斜率y=2x，切线斜率k=2x_0切线方程y-x_0^2+1=2x_0x-x_0，过点1,2得2-x_0^2+1=2x_01-x_0，化简得x_0^3-x_0^2+x_0-1=0x_0-1x_0^2+1=0，x_0=1，切线方程y-2=2x-1，即y=2x标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.C

7.A

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C

3.A、C

4.A、C

5.C、D

三、填空题

1.

42.y=x+

13.

64.

05.1

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.答单调增区间-∞,0和2,+∞，单调减区间0,

22.答limx→0sin2x/3x=1/

33.答∫x^2+1/x^2-1dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C

4.答y=-2x+4

六、分析题

1.答见解析

2.答见解析

七、综合应用题

1.答见解析

2.答见解析。