第十六届CGMO竞赛真题及答案公布

第十六届CGMO竞赛真题及答案公布

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在三维空间中，下列哪个方程表示一个球面？（）（2分）A.x²+y²+z²=1B.x²-y²=1C.y=x²D.z=x+y【答案】A【解析】方程x²+y²+z²=1表示以原点为球心，半径为1的球面

2.若函数fx=ax²+bx+c在x=1处取得极小值，则（）（2分）A.a0B.a0C.b=0D.c=0【答案】A【解析】二次函数在顶点处取得极值，且a决定开口方向，a0时开口向上，存在极小值

3.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-2-3B.5²4²C.-1³2D.0-1【答案】B【解析】5²=25，4²=16，2516成立

4.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的交集为公共元素{2,3}

5.函数fx=sinx在[0,2π]上的图像与x轴围成的面积等于（）（2分）A.0B.1C.2D.π【答案】D【解析】sinx在[0,π]上积分为2，在[π,2π]上积分为-2，总积分为4，但绝对值为2π

6.下列哪个数是无理数？（）（2分）A.√4B.

0.25C.1/3D.π【答案】D【解析】π是著名的无理数，其他选项均为有理数

7.直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.-1/2,0D.0,-1【答案】C【解析】令y=0，解得x=-1/

28.一个等差数列的前n项和为Sn，若a₁=1，d=2，则S₅等于（）（2分）A.15B.30C.25D.10【答案】A【解析】S₅=5/2×[2×1+5-1×2]=

159.三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）（2分）A.75°B.65°C.70°D.80°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，角C=180°-60°-45°=75°

10.若复数z=3+4i的模长为|z|，则|z|等于（）（2分）A.5B.7C.3D.4【答案】A【解析】|z|=√3²+4²=5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是凸函数的性质？（）A.函数图像始终位于切线的上方B.二阶导数恒大于0C.函数图像关于某点对称D.函数在定义域内无局部极大值【答案】A、B、D【解析】凸函数的切线总在图像下方，二阶导数大于0，且无局部极大值对称性非凸函数必要性质

2.以下哪些数列是等比数列？（）A.2,4,8,16,...B.1,1,1,1,...C.3,6,9,12,...D.1,1/2,1/4,1/8,...【答案】A、D【解析】A项公比为2，D项公比为1/2B项公比为1，C项为等差数列

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=x³-3x+2，则f1等于______（4分）【答案】0【解析】fx=3x²-3，f1=3-3=

02.在直角坐标系中，点P2,-3关于原点的对称点是______（4分）【答案】-2,3【解析】对称点横纵坐标均取相反数

3.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为______（4分）【答案】15π【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

4.设fx=log₂x+1，则f2的值等于______（4分）【答案】2【解析】f2=log₂3=

25.在△ABC中，若AB=5，BC=7，AC=8，则cosA等于______（4分）【答案】3/8【解析】cosA=BC²+AC²-AB²/2BC×AC=49+64-25/2×7×8=88/112=3/

86.若向量a=1,2，b=3,-4，则a·b等于______（4分）【答案】-5【解析】a·b=1×3+2×-4=3-8=-

57.函数y=tanx的周期是______（4分）【答案】π【解析】正切函数周期为π

8.设集合A={x|-1x3}，B={x|x≥1}，则A∪B等于______（4分）【答案】{x|x-1}【解析】并集为两个集合所有元素，即-1,3∪[1,+∞=-1,+∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=2，a²=b²但a≠b

2.一个四边形的内角和为360°（）（2分）【答案】（√）【解析】任意四边形内角和均为360°

3.若函数fx在区间a,b上单调递增，则其导数fx0（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数导数恒大于

04.圆的切线与半径垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的切线垂直于过切点的半径

5.集合{0}是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】{0}包含元素0，非空集

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若a0，b0，则a+b≥2√ab（5分）【解析】令fx=√a-√b²≥0，展开得a+b-2√ab≥0，即a+b≥2√ab

2.已知等比数列的前三项分别为a,ar,ar²，求其前n项和Sn（5分）【解析】当r=1时，Sn=na；当r≠1时，Sn=a1-rⁿ/1-r

3.求函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值（5分）【解析】f-2=-10，f-1=0，f0=0，f1=0，f2=10，最小值-2，最大值2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求其单调区间，并证明（10分）【解析】fx=2x-4，令fx0得x2，fx0得x2，单调增2,+∞，单调减-∞,

22.设A1,2，B3,0，C-1,-2，证明△ABC为等腰直角三角形（10分）【解析】AB²=8，BC²=16，AC²=16，AB²+BC²=AC²，直角；AB=BC，等腰

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为20元，售价为40元若产品全部售出，求

（1）生产x件产品的总成本函数；

（2）生产x件产品的总收入函数；

（3）求盈亏平衡点（即总收入等于总成本时x的值）（25分）【解析】

（1）总成本Cx=10000+20x；

（2）总收入Rx=40x；

（3）盈亏平衡点40x=10000+20x，解得x=

5002.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求

（1）fx的最小值；

（2）画出fx的图像；

（3）解不等式fx≤5（25分）【解析】

（1）fx在x=-2处取最小值3；

（2）图像由三段折线组成；

（3）解得-3≤x≤2。