线性代数空间与线性变换试题及答案

线性代数空间与线性变换试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，0）B.（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9）C.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）D.（1，0，1），（0，1，1），（1，1，0）【答案】D【解析】向量组线性无关是指任意一个向量不能由其余向量线性表示，选项D中的向量组满足此条件

2.在R3中，向量（1，1，1）和（1，2，3）的线性组合可以表示（）（2分）A.所有R3中的向量B.平面C.直线D.原点【答案】C【解析】两个线性无关的向量可以生成一条直线

3.矩阵A的秩为3，则A的（）（2分）A.行向量组线性无关B.列向量组线性相关C.行向量组线性相关D.列向量组线性无关【答案】A【解析】矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数

4.线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，则T1，1，1等于（）（2分）A.2，2，2B.1，1，1C.1，2，1D.2，1，1【答案】A【解析】T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，1=1，1，1+0，1，1+1，0，1=2，2，

25.下列矩阵中，可逆的是（）（2分）A.[[1，2]，[3，4]]B.[[1，0]，[0，0]]C.[[2，3]，[4，6]]D.[[1，2]，[3，6]]【答案】A【解析】矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零

6.向量空间R3的基是（）（2分）A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）C.（1，0，0），（0，0，1），（1，1，1）D.（1，1，1），（1，2，3），（2，3，4）【答案】D【解析】基是向量空间中线性无关的生成集

7.线性变换T在基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）下的矩阵是[[1，2，3]，[4，5，6]，[7，8，9]]，则T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵是（）（2分）A.[[1，0，0]，[0，1，0]，[0，0，1]]B.[[1，1，1]，[1，1，0]，[1，0，0]]C.[[2，2，2]，[3，3，3]，[4，4，4]]D.[[3，3，3]，[4，4，4]，[5，5，5]]【答案】B【解析】通过坐标变换可以得到新的基下的矩阵

8.矩阵A的秩为2，则A的（）（2分）A.行向量组线性无关B.列向量组线性相关C.行向量组线性相关D.列向量组线性无关【答案】C【解析】矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数

9.线性变换T:R2→R2，若T1，0=1，1，T0，1=1，2，则T1，1等于（）（2分）A.2，3B.1，1C.1，2D.2，4【答案】A【解析】T1，1=T1，0+T0，1=1，1+1，2=2，

310.向量空间R4的维数是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】R4是四维向量空间

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列矩阵中，可逆的是？（）（4分）A.[[1，2]，[3，4]]B.[[1，0]，[0，0]]C.[[2，3]，[4，6]]D.[[1，2]，[3，6]]【答案】A【解析】矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零

2.线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，则下列等式成立的是？（）（4分）A.T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，1B.T1，1，1=T1，0，0+T0，0，1+T0，1，0C.T1，1，1=T0，1，0+T0，0，1+T1，0，0D.T1，1，1=T0，0，1+T1，0，0+T0，1，0【答案】A【解析】线性变换满足线性性，即T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，

13.向量空间R3的基是？（）（4分）A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）C.（1，0，0），（0，0，1），（1，1，1）D.（1，1，1），（1，2，3），（2，3，4）【答案】D【解析】基是向量空间中线性无关的生成集

4.线性变换T在基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）下的矩阵是[[1，2，3]，[4，5，6]，[7，8，9]]，则下列等式成立的是？（）（4分）A.T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵是[[2，2，2]，[3，3，3]，[4，4，4]]B.T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵是[[1，1，1]，[1，1，0]，[1，0，0]]C.T在基（1，1，1），（1，0，0），（0，1，0）下的矩阵是[[3，3，3]，[4，4，4]，[5，5，5]]D.T在基（1，1，1），（1，0，0），（0，1，0）下的矩阵是[[1，0，0]，[0，1，0]，[0，0，1]]【答案】A【解析】通过坐标变换可以得到新的基下的矩阵

5.向量空间R4的维数是？（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】R4是四维向量空间

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵A的秩为3，则A的行向量组的最大线性无关组的个数为______【答案】3【解析】矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数

2.线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，则T1，1，1等于______【答案】2，2，2【解析】T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，1=1，1，1+0，1，1+1，0，1=2，2，

23.向量空间R3的基是（1，1，1），（1，2，3），（2，3，4），则向量（1，1，1）在基下的坐标是______【答案】1，0，0【解析】向量在基下的坐标是该向量由基向量线性表示的系数

4.线性变换T在基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）下的矩阵是[[1，2，3]，[4，5，6]，[7，8，9]]，则T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵的行列式是______【答案】6【解析】通过坐标变换可以得到新的基下的矩阵，并计算其行列式

5.向量空间R4的维数是4，则向量空间R4中任意向量都可以由______个线性无关的向量线性表示【答案】4【解析】向量空间的维数等于其基中向量的个数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个线性无关的向量可以生成一个平面（）（2分）【答案】（×）【解析】两个线性无关的向量可以生成一条直线

2.矩阵A的秩为3，则A的行向量组线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数，不一定所有行向量都线性无关

3.线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，则T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，1（）（2分）【答案】（√）【解析】线性变换满足线性性，即T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，

14.向量空间R3的基是（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），则向量（1，1，1）在基下的坐标是（1，1，1）（）（2分）【答案】（×）【解析】向量（1，1，1）在基下的坐标是该向量由基向量线性表示的系数，但（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3）线性相关，不能作为基

5.向量空间R4的维数是4，则向量空间R4中任意向量都可以由4个线性无关的向量线性表示（）（2分）【答案】（√）【解析】向量空间的维数等于其基中向量的个数，向量空间中任意向量都可以由基向量线性表示

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间的基本性质包括封闭性、加法交换律、加法结合律、存在零向量、存在负向量、数乘分配律、数乘结合律、数乘单位元等

2.简述线性变换的基本性质【答案】线性变换的基本性质包括保持加法运算、保持数乘运算、保持零向量、保持负向量等

3.简述矩阵的秩的定义【答案】矩阵的秩是指矩阵的行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，求T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵【答案】首先，我们需要将基向量（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）表示为原来的基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的线性组合设（1，1，1）=a1，0，0+b0，1，0+c0，0，1，解得a=1，b=1，c=1设（1，1，0）=d1，0，0+e0，1，0+f0，0，1，解得d=1，e=1，f=-1设（1，0，0）=g1，0，0+h0，1，0+i0，0，1，解得g=1，h=0，i=0因此，坐标变换矩阵P为[[1，1，1],[1，1，0],[1，0，0]]线性变换T在基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）下的矩阵为[[1，2，3],[4，5，6],[7，8，9]]则T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为P^-1[[1，2，3],[4，5，6],[7，8，9]]P计算得到T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]]

2.分析向量空间R4的维数是4，则向量空间R4中任意向量都可以由4个线性无关的向量线性表示【答案】向量空间R4的维数是4，意味着R4中存在一个基，该基由4个线性无关的向量组成设这个基为v1，v2，v3，v4根据向量空间的定义，R4中的任意向量都可以由这个基向量线性表示，即对于R4中的任意向量v，都存在实数a1，a2，a3，a4，使得v=a1v1+a2v2+a3v3+a4v4因此，向量空间R4中任意向量都可以由4个线性无关的向量线性表示

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知线性变换T:R3→R3，若T1，0，0=1，1，1，T0，1，0=0，1，1，T0，0，1=1，0，1，求T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵，并验证其正确性【答案】首先，我们需要将基向量（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）表示为原来的基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的线性组合设（1，1，1）=a1，0，0+b0，1，0+c0，0，1，解得a=1，b=1，c=1设（1，1，0）=d1，0，0+e0，1，0+f0，0，1），解得d=1，e=1，f=-1设（1，0，0）=g1，0，0+h0，1，0+i0，0，1，解得g=1，h=0，i=0因此，坐标变换矩阵P为[[1，1，1],[1，1，0],[1，0，0]]线性变换T在基（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）下的矩阵为[[1，2，3],[4，5，6],[7，8，9]]则T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为P^-1[[1，2，3],[4，5，6],[7，8，9]]P计算得到T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]]验证取基向量（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）分别计算T的像，并与矩阵作用结果比较T1，1，1=T1，0，0+T0，1，0+T0，0，1=1，1，1+0，1，1+1，0，1=2，2，2T1，1，0=T1，0，0+T0，1，0-T0，0，1=1，1，1+0，1，1-1，0，1=0，2，1T1，0，0=T1，0，0=1，1，1矩阵作用结果[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]][[1，1，1],[1，1，0],[1，0，0]]=[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]]与计算结果一致，验证正确---完整标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.A

4.A

5.A

6.D

7.B

8.C

9.A

10.D

二、多选题

1.A

2.A

3.D

4.A

5.D

三、填空题

1.

32.2，2，

23.1，0，

04.

65.4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.向量空间的基本性质包括封闭性、加法交换律、加法结合律、存在零向量、存在负向量、数乘分配律、数乘结合律、数乘单位元等

2.线性变换的基本性质包括保持加法运算、保持数乘运算、保持零向量、保持负向量等

3.矩阵的秩是指矩阵的行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数

六、分析题

1.线性变换T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]]

2.向量空间R4中任意向量都可以由4个线性无关的向量线性表示

七、综合应用题

1.T在基（1，1，1），（1，1，0），（1，0，0）下的矩阵为[[2，2，2],[3，3，3],[4，4，4]]，验证正确。