考研高等数学模拟试题及答案

考研高等数学模拟试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln1+x【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数左右极限不相等

2.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的最大值是（）A.1B.-1C.2D.π【答案】A【解析】sinx在[0,2π]上取最大值1，对应x=π/

23.下列级数中，收敛的是（）A.1+1/2+1/3+1/4+...B.1-1/2+1/3-1/4+...C.1+1/4+1/9+1/16+...D.1+1/3+1/5+1/7+...【答案】B【解析】交错级数1-1/2+1/3-1/4+...满足莱布尼茨判别法，收敛

4.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=∫_a^bfxdxD.fξ=fξ【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，结论成立

5.曲线y=xe^x的拐点是（）A.0,0B.1,1C.-1,-1/eD.2,e^2【答案】C【解析】y=e^x+xe^x，y=2e^x+xe^x，令y=0得x=-1，对应y=-1/e

6.下列积分中，值为0的是（）A.∫_0^1sinxdxB.∫_0^1exdxC.∫_0^π/2cosxdxD.∫_0^1xdx【答案】A【解析】∫_0^1sinxdx=-cosx|_0^1=-cos1-1=1-cos1≠

07.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的秩为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】矩阵A的行列式不为0，秩为

28.向量组α1=1,0,1,α2=0,1,1,α3=1,1,1的秩为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】向量组线性相关，秩为

29.若A为n阶可逆矩阵，则detA^-1等于（）A.detAB.1/detAC.-detAD.detA^n【答案】B【解析】detA^-1=1/detA

10.设随机变量X~Nμ,σ^2，则PXμ等于（）A.

0.5B.

0.6827C.

0.9544D.1【答案】A【解析】正态分布关于μ对称，PXμ=

0.5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在-∞,∞上连续？（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=e^xE.fx=ln|x|【答案】A、B、D、E【解析】tanx在x=kπ+π/2处不连续，其余均连续

2.以下哪些向量组线性无关？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,1,1,1,2,3,1,3,6C.1,2,3,2,3,4,3,4,5D.1,0,1,0,1,1,1,1,0E.1,1,0,1,0,1,0,1,1【答案】A、D、E【解析】B、C向量组线性相关

3.以下哪些级数收敛？（）A.∞∑n=1-1^n+1/nB.∞∑n=11/n^2C.∞∑n=1-1^n/n^3D.∞∑n=11/sqrtnE.∞∑n=1e^-n【答案】A、B、C、E【解析】D为p-级数，p=1/21发散

4.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^3B.fx=|x|^3C.fx=xsinxD.fx=cosxE.fx=ln1+x^2【答案】A、C、D、E【解析】B在x=0处不可导

5.以下哪些随机变量服从二项分布？（）A.抛10次硬币正面朝上的次数B.射击100次命中次数C.一本书中每页印刷错误的个数D.某人打100个电话接通次数E.每天来到某站台的公交车次数【答案】A、B、D【解析】C、E不满足二项分布条件

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的最大值是______，最小值是______【答案】2；-2【解析】f-1=0，f-1=-6，f1=6，最大值f2=2，最小值f-2=-

22.级数∞∑n=11/2^n的和是______【答案】2【解析】等比级数，首项1/2，公比1/2，和为1/1-1/2=

23.函数fx=e^x在[0,1]上的平均值是______【答案】e-1/e【解析】平均值∫_0^1e^xdx/1-0=e-

14.若矩阵A=[[1,a],[b,1]]的秩为1，则a+b=______【答案】1【解析】detA=1-ab=0，ab=1，秩为1时a=b=1，a+b=

25.若随机变量X~N0,1，则PX^24的值是______【答案】

0.05【解析】PX^24=P|X|2=2Φ-2=21-Φ2≈21-

0.9772=

0.0456≈

0.05

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上有界

2.若级数∞∑n=1a_n收敛，则级数∞∑n=1a_n^2也收敛（）【答案】（×）【解析】反例a_n=-1/n，∞∑n=1a_n收敛，但a_n^2=1/n^2发散

3.若函数fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续是微积分基本定理

4.若矩阵A可逆，则detA=0（）【答案】（×）【解析】可逆矩阵detA≠

05.若随机变量X~Nμ,σ^2，则PXμ=

0.5（）【答案】（√）【解析】正态分布关于μ对称，PXμ=

0.5

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述拉格朗日中值定理的条件和结论【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导结论存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

2.简述线性相关和线性无关的定义【答案】线性相关向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示线性无关向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示

3.简述正态分布的性质【答案】

（1）图像为钟形曲线，关于均值μ对称；

（2）σ^2越大，曲线越平缓；

（3）约

68.27%的取值在μ-σ,μ+σ内；

（4）约

95.44%的取值在μ-2σ,μ+2σ内；

（5）概率密度函数为fx=1/σ√2πe^-x-μ^2/2σ^2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间和极值点【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx在-∞,0为正，0,2为负，2,∞为正，所以增区间-∞,0,2,∞，减区间0,2极值点x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.设向量组α1=1,1,1,α2=1,2,3,α3=1,3,6，求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示【答案】构造矩阵A=[[1,1,1],[1,2,3],[1,3,6]]，行简化阶梯形为[[1,1,1],[0,1,2],[0,0,0]]极大无关组α1,α2α3=2α1+α2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫_0^πsinx+cosx/sqrt1+sin2xdx【答案】原式=∫_0^πsinx+cosx/sqrt1+2sinxcosxdx=∫_0^πsinx+cosx/sqrtsinx+cosx^2dx=∫_0^π1dx=π

2.设A=[[1,2],[3,4]],B=[[2,0],[0,3]],求A+B^-1【答案】A+B=[[3,2],[3,7]]detA+B=37-32=21A+B^-1=1/21[[7,-2],[-3,3]]=[[7/21,-2/21],[-3/21,3/21]]=[[1/3,-2/21],[-1/7,1/7]---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、D、E

3.A、B、C、E

4.A、C、D、E

5.A、B、D

三、填空题

1.2；-

22.

23.e-1/e

4.

15.

0.05

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。