考研高等数学综合测试题及答案

考研高等数学综合测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0e^1/x=1D.limx→0cos1/x=1【答案】D【解析】limx→0cos1/x=1正确，其他选项极限不存在或错误

2.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.6C.8D.10【答案】C【解析】f-2=8,f2=6,f0=2,f1=0,最大值是

83.下列级数收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/n+1【答案】B【解析】p-级数测试，p=2时收敛

4.函数y=lnx在点1,0处的切线斜率是（）（2分）A.1B.-1C.0D.2【答案】A【解析】y=1/x,在x=1时y=

15.下列积分值为0的是（）（2分）A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,2π]sinxdxC.∫[0,π/2]cosxdxD.∫[0,1]x^2dx【答案】B【解析】sinx在[0,2π]上积分为

06.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式detA是（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】A【解析】detA=14-23=-

27.下列函数在0,∞上单调递增的是（）（2分）A.y=x^2B.y=x^3C.y=1/xD.y=x^1/2【答案】B【解析】y=3x^

208.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中x^3项的系数是（）（2分）A.1B.eC.1/3!D.0【答案】C【解析】e^x的泰勒展开式x^n项系数为1/n!

9.向量场Fx,y=x,y的旋度∇×F在点1,1处是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】∇×F=∂y/∂x-∂x/∂y=

010.下列方程表示旋转抛物面的是（）（2分）A.x^2+y^2=zB.x^2+y^2-z^2=1C.z=x^2+y^2D.x^2-y^2=z【答案】C【解析】标准旋转抛物面方程

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在点x0处可导的充分条件？（）A.fx在x0处连续B.fx在x0处左右导数存在且相等C.fx在x0处可微D.fx在x0处切线存在E.fx在x0处极限存在【答案】A、B、C【解析】连续、左右导数相等、可微均是可导的充分条件

2.以下哪些向量场是保守场？（）A.Fx,y=x,yB.Fx,y=y,-xC.Fx,y=y/x,x/yD.Fx,y=sinx,cosyE.Fx,y=y^2,x^2【答案】A、C【解析】保守场要求旋度为0且定义域单连通

3.以下哪些级数条件收敛？（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/n^pD.∑n=1to∞-1^n/n+1E.∑n=1to∞sinnπ【答案】A、D【解析】交错级数条件收敛需满足Leibniz判别法

4.以下哪些方程表示圆柱面？（）A.x^2+y^2=1B.z=x^2+y^2C.x^2+z^2=1D.y=x^2E.z=y^2【答案】A、C【解析】圆柱面方程只含两个变量的平方和

5.以下哪些函数在0,1上连续？（）A.y=1/xB.y=sin1/xC.y=x^2D.y=tanxE.y=e^x【答案】C、E【解析】1/x在0,1不连续，sin1/x震荡，tanx有间断点

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^2-4x+5的顶点坐标是______（4分）【答案】2,

12.若fx是奇函数，且f1=2，则f-1=______（4分）【答案】-

23.曲线y=sinx在[0,π]上的弧长是______（4分）【答案】

24.若向量a=1,2，b=3,4，则a·b=______（4分）【答案】

115.函数fx=e^x的n阶导数f^nx=______（4分）【答案】e^x

6.若y=lnx的微分dy=

0.1，则x的变化量Δx=______（4分）【答案】

0.1/e

7.曲面z=x^2+y^2与平面y=1的交线在xOz平面投影是______（4分）【答案】x^2+z=

18.若A是3阶矩阵，且detA=2，则det3A=______（4分）【答案】54

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在该区间上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛时绝对值级数发散

3.若向量场Fx,y是保守场，则其旋度必为0（）（2分）【答案】（√）【解析】保守场定义要求旋度为

04.若函数fx在x0处可导，则fx在x0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

5.若A是可逆矩阵，则detA≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵行列式非零

6.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

7.若级数∑a_n收敛，则∑a_n^2也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】收敛级数平方未必收敛

8.若向量场Fx,y是保守场，则其势函数存在（）（2分）【答案】（√）【解析】保守场等于势函数的梯度

9.若函数fx在x0处取得极值，且fx在x0处可导，则fx0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】费马定理

10.若A是n阶矩阵，且rankA=n，则A是可逆矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】满秩矩阵可逆

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述洛必达法则的适用条件（5分）【答案】洛必达法则适用条件

（1）极限形式为0/0或∞/∞

（2）分子分母在极限点附近可导

（3）导数比的极限存在或趋于无穷

（4）需连续使用直到得到确定极限

2.简述高斯公式的物理意义（5分）【答案】高斯公式物理意义

（1）向量场通量与散度的关系

（2）表述为∮_SF·dS=∭_V∇·FdV

（3）说明封闭曲面上的通量等于体内散度的体积分

（4）是格林公式的三维推广

3.简述泰勒级数收敛定理的条件（5分）【答案】泰勒级数收敛定理条件

（1）函数fx在x0附近n阶可导

（2）余项R_nx满足limn→∞R_nx=0

（3）收敛半径R0

（4）在收敛区间内函数可表示为泰勒级数

4.简述向量场保守性的等价条件（5分）【答案】向量场保守性等价条件

（1）沿任意闭曲线积分为0∮_CF·dr=0

（2）存在势函数φF=∇φ

（3）旋度为0∇×F=0（单连通域）

（4）路径无关∫_A^BF·dr与路径无关

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足fx=∫[0,x]t·ftdt证明fx恒为0（10分）【证明】

（1）令Fx=∫[0,x]ftdt，则Fx=fx

（2）两边积分得Fx=x·fx-∫[0,x]t·ftdt=x·fx-Fx

（3）即2Fx=x·fx=fx=2Fx/x（x≠0）

（4）当x=0时，f0=0

（5）对fx求导得fx=2Fx/x+2fx/x=2fx/x

（6）整理得fx-2fx/x=0

（7）解此微分方程得fx=Cx^2

（8）由f0=0得C=0，故fx≡

02.设R^3中向量场Fx,y,z=x^2+y^2·i+2xy·j+z^3+xz·k求∇×F（10分）【解】

（1）∇×F=det[ijk][∂/∂x∂/∂y∂/∂z][x^2+y^22xyz^3+xz]

（2）=i∂z^3+xz/∂y-∂2xy/∂z-j∂z^3+xz/∂x-∂x^2+y^2/∂z+k∂2xy/∂x-∂x^2+y^2/∂y

（3）=i0-0-j3z^2+x-0+k2y-2y

（4）=-j3z^2+x

（5）故∇×F=-x-3z^2·j

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算三重积分∭_Vx^2+y^2+z^2dV，其中V是由曲面x^2+y^2+z^2=1和z=x^2+y^2所围成的区域（25分）【解】

（1）将区域投影到xOy平面x^2+y^2=1与x^2+y^2=z

（2）采用柱坐标x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，dV=rdzdrdθ

（3）积分区域0≤θ≤2π，0≤r≤1，r^2≤z≤1

（4）原式=∫[0,2π]∫[0,1]∫[r^2,1]r^2+z^2rdzdrdθ

（5）=∫[0,2π]∫[0,1][r^3z+z^3/3]_r^2_1drdθ

（6）=∫[0,2π]∫[0,1]r^5-r^3+1/3drdθ

（7）=∫[0,2π][r^6/6-r^4/4+r/3]_0^1dθ

（8）=∫[0,2π]1/6-1/4+1/3dθ=∫[0,2π]7/12dθ

（9）=7π/

62.考虑曲线L x=t^2，y=t^3，z=t，参数t∈[0,1]计算曲线积分∫_Ly+zdx+xdy+zdz（25分）【解】

（1）dx=2tdt，dy=3t^2dt，dz=dt

（2）原式=∫[0,1][t^3+t·2t+t^2·3t^2+t·1]dt

（3）=∫[0,1]2t^4+2t^2+3t^3+tdt

（4）=[2t^5/5+2t^3/3+3t^4/4+t^2/2]_0^1

（5）=2/5+2/3+3/4+1/2

（6）=2/5+2/3+3/4+1/2=47/20---标准答案页

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、C

3.A、D

4.A、C

5.C、E

三、填空题

1.2,

12.-

23.

24.

115.e^x

6.

0.1/e

7.x^2+z=

18.54

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√

五、简答题（略）

六、分析题（略）

七、综合应用题（略）---。