肇庆一中竞赛试题及答案

肇庆一中竞赛试题及答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列哪个数不是实数？（）A.πB.√4C.-

3.14D.i^2【答案】D【解析】i是虚数单位，i^2=-1属于纯虚数，不是实数

2.函数fx=2x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是？（）A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】fx=6x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-14，f-1=5，f1=-1，f2=8，最大值为

83.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，则a_4的值是？（）A.16B.24C.32D.64【答案】A【解析】公比q=a_5/a_3^1/2=2，a_4=a_3q=

164.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα的值是？（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=-√1-sin^2α=-√3/

25.抛掷两个均匀的六面骰子，点数之和为7的概率是？（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】满足条件的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，概率为6/66=1/

66.已知直线l的方程为3x-4y+12=0，则点P1,2到直线l的距离是？（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】d=|31-42+12|/√3^2+4^2=

47.若复数z满足z^2=1，则z的值是？（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】z=±

18.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则角C的度数是？（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由a^2+b^2=c^2得△ABC为直角三角形，∠C=90°

9.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是？（）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】当x=1时，y取最小值

110.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b的值是？（）A.-5B.5C.-7D.7【答案】A【解析】a·b=13+2-4=-

511.在直角坐标系中，圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是？（）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心为-b/2a,-c/2a，即2,

312.若函数fx是奇函数，且f1=2，则f-1的值是？（）A.-2B.2C.0D.1【答案】A【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-

213.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=11，则公差d的值是？（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】a_5=a_1+4d，得4d=10，d=

2.5，选项无

2.5，重新计算a_1=1，a_5=11，4d=10，d=

2.5，选项无

2.5，题目有误

14.若直线l1与l2平行，l1的斜率为2，则l2的斜率是？（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2【答案】A【解析】平行直线斜率相等

15.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是？（）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】角C=180°-60°-45°=75°

16.若函数fx=x^2-4x+3，则fx的最小值是？（）A.-1B.0C.1D.4【答案】A【解析】fx=x-2^2-1，最小值为-

117.在直角坐标系中，点P2,3到直线x+y-5=0的距离是？（）A.1B.√2C.√3D.√5【答案】D【解析】d=|2+3-5|/√1^2+1^2=√

518.若向量a=1,1，b=1,-1，则向量a+b的模长是？（）A.√2B.√4C.√6D.√8【答案】C【解析】a+b=2,0，|a+b|=√2^2+0^2=√

619.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q的值是？（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】q^2=a_4/a_2=54/6=9，q=

320.若直线l过点1,2，且与直线x-3y+5=0垂直，则直线l的方程是？（）A.3x+y-5=0B.3x+y+5=0C.x-3y+7=0D.x-3y-7=0【答案】A【解析】垂直直线斜率乘积为-1，斜率为3，方程为3x+y-5=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数E.反三角函数【答案】A、B、C、D、E【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

2.以下哪些命题是真命题？（）A.若x^2=1，则x=1B.若x^2=-1，则x=iC.若|a||b|，则a^2b^2D.若ab，则a^2b^2E.若ab，则a+cb+c【答案】E【解析】A错，x=±1；B错，实数范围内无解；C错，如a=2，b=-3；D错，如a=2，b=-3；E对

3.以下哪些函数是偶函数？（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=x^3E.fx=|x|【答案】A、C、E【解析】偶函数满足f-x=fx，A、C、E为偶函数

4.以下哪些数属于无理数？（）A.πB.√4C.√2D.-

3.14E.0【答案】A、C【解析】无理数不能表示为分数，π、√2为无理数

5.以下哪些命题是真命题？（）A.若ab，则a+cb+cB.若ab，则a-cb-cC.若ab，则acbcD.若ab，则a/cb/c（c0）E.若ab，则a/cb/c（c0）【答案】A、B、D、E【解析】A对；B对；C错，如a=2，b=-3；D对；E对

三、填空题（每题4分，共40分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,0，2,3，且对称轴为x=1/2，则a=______，b=______，c=______【答案】-4，4，-3【解析】由f1=0得a+b+c=0；由f2=3得4a+2b+c=3；由对称轴x=-b/2a=1/2得b=-a解得a=-4，b=4，c=-

32.若向量a=3,4，b=1,2，则向量2a-3b的坐标是______【答案】3,2【解析】2a-3b=23,4-31,2=6,8-3,6=3,

23.若等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，则a_10=______【答案】25【解析】公差d=a_5-a_1/4=10/4=

2.5，a_10=a_5+5d=15+

12.5=

27.5，选项无

27.5，题目有误

4.若函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值是______【答案】3【解析】分段函数，当x=-2时，fx取最小值

35.若直线l1与l2垂直，l1的方程为2x+y-1=0，则l2的斜率是______【答案】-1/2【解析】垂直直线斜率乘积为-1，l2斜率为-1/

26.若复数z=1+i，则z^2的值是______【答案】2i【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i

7.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则其面积为______【答案】6【解析】直角三角形面积=1/234=

68.若函数fx=x^2-5x+6，则其图像的顶点坐标是______【答案】5/2,-1/4【解析】顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a，即5/2,-1/

49.若向量a=2,3，b=4,5，则向量a·b的值是______【答案】23【解析】a·b=24+35=

2310.若直线l过点1,2，且与直线x-y+1=0平行，则直线l的方程是______【答案】x-y+1=0【解析】平行直线斜率相等，方程为x-y+1=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=2，b=-3，ab但a^2b^

22.若函数fx是奇函数，且f0=0，则fx必过原点（）【答案】（√）【解析】奇函数图像关于原点对称，f0=0即过原点

3.若直线l1与l2平行，则它们的斜率相等（）【答案】（√）【解析】平行直线斜率相等

4.若向量a=1,0，b=0,1，则向量a+b=1,1（）【答案】（√）【解析】a+b=1,0+0,1=1,

15.若三角形ABC的三边长分别为5，12，13，则它是直角三角形（）【答案】（√）【解析】5^2+12^2=13^2，是勾股数，为直角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值【答案】最大值5，最小值0【解析】fx=x-2^2-1，对称轴x=2在区间内，f2=-1，f1=0，f4=5，最大值5，最小值

02.求过点1,2且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程【答案】4x+3y-10=0【解析】垂直直线斜率乘积为-1，斜率为4/3，方程为4x+3y-10=

03.求等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10的值【答案】29【解析】a_n=a_1+n-1d，a_10=2+93=

294.求向量a=3,4和向量b=1,2的夹角余弦值【答案】8/√97【解析】cosθ=|a·b|/|a||b|=24/5√17=8/√

975.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径【答案】圆心2,-3，半径√13【解析】圆心-b/2a,-c/2a=2,-3，半径√[2^2+-3^2+3]=√13

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间【答案】增区间-∞,0和2,+，减区间0,2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0，2，fx符号表x0增，0x2减，x2增

2.已知向量a=1,2，b=3,4，求向量a+b的坐标及模长【答案】a+b=4,6，|a+b|=√52【解析】a+b=1,2+3,4=4,6，|a+b|=√4^2+6^2=√52

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求其图像的顶点坐标、对称轴方程，并画出简图【答案】顶点2,-1，对称轴x=2【解析】fx=x-2^2-1，顶点2,-1，对称轴x=2，图像为开口向上的抛物线，顶点2,-

12.已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求其面积，并验证是否为直角三角形【答案】面积6，是直角三角形【解析】面积S=1/234=6，勾股数3^2+4^2=5^2，是直角三角形---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.C

7.A、B

8.D

9.B

10.A

11.C

12.A

13.（题目有误）

14.A

15.A

16.A

17.D

18.C

19.A

20.A

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.E

3.A、C、E

4.A、C

5.A、B、D、E

三、填空题

1.-4，4，-

32.3,

23.（题目有误）

4.

35.-1/

26.2i

7.

68.5/2,-1/

49.

2310.x-y+1=0

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值5，最小值

02.4x+3y-10=

03.

294.8/√

975.圆心2,-3，半径√13

六、分析题

1.增区间-∞,0和2,+，减区间0,

22.a+b=4,6，|a+b|=√52

七、综合应用题

1.顶点2,-1，对称轴x=

22.面积6，是直角三角形。