育英高中数学面试：试题与答案分享

育英高中数学面试全套试题与答案分享

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=log_2x【答案】D【解析】y=log_2x在其定义域（x0）内是增函数

2.如果直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）A.k∈RB.|k|≤1C.|k|1D.k∈-1,1【答案】B【解析】直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径1，即|k|≤

13.设fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）A.-2B.2C.0D.1【答案】A【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-1=-f1=-

24.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则其通项公式为（）A.a_n=2n+1B.a_n=3nC.a_n=n+2D.a_n=4n-1【答案】A【解析】由a_5=a_1+4d得d=2，故a_n=a_1+n-1d=2n+

15.抛掷两个骰子，得到的点数之和为7的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】满足条件的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种

6.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】fx=√2sinx+π/4，故最大值为√

27.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为（）A.5B.√7C.7D.√13【答案】A【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，故c=√

138.若复数z=1+i，则z^2的值为（）A.2B.0C.-2D.1+2i【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=

29.已知圆心为1,2，半径为3的圆，则直线x-y=1与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】C【解析】圆心到直线的距离d=|1-2-1|/√2=√23，故相交

10.若函数fx是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞上单调递增，则f-2与f3的大小关系是（）A.f-2f3B.f-2f3C.f-2=f3D.无法确定【答案】B【解析】由偶函数性质f-2=f2，且f2f3，故f-2f3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】A错，如a=2，b=-3；B错，如a=-2，b=1；C对，倒数性质；D对，对数函数单调性

2.已知函数fx=x^3-ax+1，且f1=0，则下列说法正确的有（）A.fx有且仅有三个零点B.fx在-∞,1上单调递减C.fx在1,+∞上单调递增D.f20【答案】B、C、D【解析】fx=3x^2-a，f1=0得a=2，fx=3x+1x-1，故B、C对；f2=50，D对；A错，三个零点需更严格条件

3.在△ABC中，下列条件中能确定唯一三角形的有（）A.a=3，b=4，C=60°B.c=5，A=45°，B=60°C.a=5，b=7，c=10D.R=2，a=4，b=6【答案】A、B、C【解析】A由正弦定理和余弦定理唯一；B由内角和唯一确定C=75°，唯一；C满足三角形不等式，唯一；D由正弦定理得sinA=2/3，A可能为锐角或钝角，不唯一

4.下列函数在其定义域内是周期函数的有（）A.y=sinx^2B.y=cos2xC.y=tanx/2D.y=|sinx|【答案】B、C、D【解析】A非周期函数；B周期T=π；C周期T=π；D由sinx周期性得周期T=π

5.已知命题p存在x∈R使x^2+x+10，则下列说法正确的有（）A.命题p的否定是∀x∈R，x^2+x+1≥0B.命题p是假命题C.命题p的否定是∃x∈R使x^2+x+1≥0D.命题p的否定是假命题【答案】A、B、D【解析】x^2+x+1=x+1/2^2+3/40恒成立，故p为假命题；其否定为∀x∈R，x^2+x+1≥0，为真命题

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_3=______【答案】18【解析】由a_4=a_2q^2得q=3，故a_3=a_2q=6×3=

182.若直线y=ax+b与圆x-1^2+y+2^2=4相切，则a^2+b^2=______【答案】5【解析】圆心1,-2到直线距离d=|a-2b|/√a^2+1=2，平方得a^2+4b^2-4ab=4，结合a^2+b^2=

53.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3【解析】分段fx={x+3x-2,-2x-1-2≤x≤1,-x+3x1}，最小值为3（当x=1时）

4.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a×b的模长是______【答案】10【解析】a×b的模为|a||b|sinθ=√1^2+2^2√3^2+-4^2sinθ=√10√25sinθ，最大为10（θ=90°）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上一定有最大值（）【答案】（×）【解析】如fx=x在-∞,+∞上单调递增，但无最大值

2.若ab0，则√a√b（）【答案】（√）【解析】平方根函数在0,+∞上单调递增

3.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC一定是直角三角形（）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，由勾股定理逆定理得

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是正实数（）【答案】（×）【解析】如z=i，z^2=-1，为负数

5.若命题p∧q为真命题，则命题p和q都是真命题（）【答案】（√）【解析】合取命题的真值表，p真且q真时为真

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-ax+1，若fx在x=1处取得极值，求a的值【答案】a=3【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0得a=3，验证f1=60，确为极小值

2.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，求cosA的值【答案】cosA=3/5【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=3/

53.已知函数fx=sin2x+1，求其最小正周期和单调递增区间【答案】T=π，kπ-π/4,kπ+π/4，k∈Z【解析】周期T=2π/2=π；由2kπ-π/2≤2x≤2kπ+π/2得递增区间

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_n的通项公式【答案】a_n=2^n-1【解析】方法一迭代法a_n=2^n-1-1；方法二构造等比数列b_n=a_n+1，b_n=2b_n-1，b_n=2^n-1，故a_n=2^n-

12.已知函数fx=|x^2-2x+3|，讨论其单调性【答案】在-∞,1和3,+∞上递增，在1,3上递减【解析】fx=x-1^2+2，对称轴x=1；在-∞,1递减，1,3递增，3,+∞递减，故结论得

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，已知a=2，b=√7，C=60°，求

（1）边c的长度；

（2）角A的正弦值；

（3）△ABC的面积【答案】

（1）c=3

（2）sinA=2/3

（3）S=√7【解析】

（1）余弦定理c^2=4+7-4√7cos60°=13-2√7，c=3；

（2）正弦定理sinA/a=sinC/c得sinA=2×sin60°/3=2/3；

（3）S=1/2absinC=1/2×2×√7×√3/2=√

72.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求

（1）fx的极值点；

（2）fx的单调区间；

（3）画出fx的大致图像【答案】

（1）极值点x=0，x=2

（2）增区间-∞,0，2,+∞；减区间0,2

（3）图像略（需画出三次函数特征）标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.A

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.C、D

2.B、C、D

3.A、B、C

4.B、C、D

5.A、B、D

三、填空题

1.

182.

53.

34.10

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.a=

32.cosA=3/

53.T=π，（kπ-π/4,kπ+π/4，k∈Z

六、分析题

1.a_n=2^n-

12.递增-∞,1，3,+∞；递减1,3

七、综合应用题

1.

（1）c=3

（2）sinA=2/3

（3）S=√

72.

（1）x=0，x=2

（2）增-∞,0，2,+∞；减0,2。